6.4. Иммунизация будущих платежей от процентного риска

Пример 4. Финансовая организация должна выплатить 150 000 д.е. через два года.

На финансовом рынке имеются трехлетние 20%-ые облигация номинальной стоимостью 100 д.е. Купонный период облигаций – 1 год, годовая эффективная доходность к погашению – 11,4% Требуется определить, сколько облигаций надо купить в текущий момент времени, чтобы получить 150 000 д.е. через 2 года.

Решение. Обозначим через требуемый платеж, а через– срок требуемого платежа. В нашем примеред.е.,года.

Временная диаграмма платежей облигации – следующая:

20 20 120

0 1 2 3

Обозначим через – количество облигаций в портфеле. Одна облигация через год выплачивает 20 д.е. Следовательно, через год портфель выплачиваетденежных единиц. Эту сумму финансовая организация вкладывает в покупку облигаций.

Если доходность к погашению облигаций за год не изменится, то цена одной облигации в начале второго года составит д.е. Следовательно, финансовая организация купитоблигаций. Таким образом, в начале второго года портфель будет состоять изоблигаций.

В конце второго года портфель выплатит д.е. купонных платежей. Кроме того, в конце второго года финансовая организация продаст портфель. Если доходность к погашению облигаций к конце второго года не изменится, цена одной облигации составитд.е. Поскольку в портфелеоблигаций, доход, который финансовая организация получит в результате продажи портфеля облигаций, составитд.е. Таким образом, суммарный доход, который фирма получит в конце второго года, составитд.е.

Поскольку, доход, который финансовая организация получит в конце второго года, должен равняться требуемому платежу, равному 150000 д.е, имеет место равенство:

. Отсюда получим .

В условиях примера 4 доход, который получит финансовая организация через два года, можно найти по формуле: . Действительно,.

Заметим, что формула совпадает с формулой (9) главы 2.

Имеет место более общий результат: если купонные платежи облигаций, выплачиваемые до момента времени , реинвестируются в покупку облигаций, а в момент временивыплачиваются, во-первых, купонные платежи (если они есть) и, во-вторых, все облигации портфеля продаются, то суммарный доходсоставит:

. (24)

Эта формула совпадает с формулой (10) главы 2.

Формула (24) имеет место, если, во-первых, доходности к погашению всех видов облигаций входящих в портфель, одинаковы, и во-вторых, доходности к погашению остаются постоянными до момента времени включительно.

Предположим, что в условиях примера 4 количество . В этом случае, как следует из решения примера, если в течение двух лет, доходность к погашению остается постоянной (равной 11,4%), суммарный доход, получаемый через два года, равен 150 000 д.е. (и, следовательно, он полностью обеспечивает требуемый платежд.е.).

Теперь, предположим, что доходность к погашению меняется в течение первого года на (и не меняется в течение второго года). Тогда

.

В случае, когда .

В случае, когда .

Следовательно, при в случае, когда,д.е., а в случае, когда,д.е.

Таким образом, в условиях примера 4 процентный риск связан с повышением доходности к погашению облигаций. Однако, в некоторых случаях, процентный риск может быть связан с понижением доходности облигаций.

Попытаемся найти условия, при выполнении которых отсутствует процентный риск, связанный как с повышением, так и с понижением доходности облигаций. Для этого исследуем, как будет меняться при изменении доходности облигаций. (Будем считать, что доходности к погашению всех видов облигаций, входящих в портфель, одинаковы, и они могут меняться только до выплаты первого купонного платежа.)

Заметим, что . Продифференцируем формулу (24) по:

Итак, мы доказали, что Подставим эту формулу в формулу. Получим:. Отсюда имеем:

(25)

Из формулы (25) следует, что процентный риск, связанный как с повышением, так и с понижением доходности облигаций, отсутствует, если выполняется условие , т.е. продолжительность портфеля облигаций равна сроку выплаты требуемого платежа. (Если, то процентный риск связан с повышением доходности облигаций, если, то процентный риск связан с понижением доходности облигаций.)

Пример 5. Финансовая организация должна выплатить 150 000 д.е. через два года.

На финансовом рынке имеются трехлетние 20%-ые облигации с номинальной стоимостью 100 д.е., купонный периодом – 1 год и годовой эффективной доходностью к погашению – 11,4% . Также на финансовом рынке имеются однолетние бескупонные облигации с номинальной стоимостью 100 д.е. и годовой эффективной доходностью к погашению – 11,4%. Требуется построить портфель из трехлетних и однолетних облигаций, доход от которого через два года составит 150 000 д.е. и защищен от процентного риска.

Решение. Продолжительность портфеля, состоящего из облигаций двух видов, определяется по формуле: . Поскольку, доход, получаемый через два года, должен быть защищен от процентного риска, должно выполняться условие:.

Найдем продолжительность трехлетней облигации:

лет.

Продолжительность однолетней бескупонной облигации – один год: год.

Заметим, что . Следовательно (с учетом того, что), долиитрехлетних и однолетних облигаций в портфеле находятся из системы уравнений:

(26)

Подставив в (26) ,и, получим

Решив эту систему уравнений, получим: и.

Для того, чтобы найти количества облигаций в портфеле и, вначале найдем рыночную стоимость портфеля, рыночную стоимость трехлетних и однолетних облигаций в портфеле и цены облигаций в начальный момент времени.

,

,

, .

Теперь найдем количества облигаций в портфеле и.

, .