- •1. Общее представление об экономико-математическом моделировании
- •1.1. Определение экономико-математической модели
- •1.2. Классификация экономико-математических моделей
- •1.3. Основные этапы экономико-математического моделирования
- •2. Основы финансовой арифметики
- •2.1. Простой процент
- •Наращенная сумма при простом проценте
- •Текущая стоимость при простом проценте
- •Номинальная годовая процентная ставка
- •3. Математически методы анализа последовательностей платежей
- •3.1. Текущая стоимость последовательности платежей
- •3.2. Будущая стоимость последовательности платежей
- •3.3. Стоимость последовательности платежей в произвольный момент времени
- •4. Моделирование инвестиционных проектов
- •4.1. Дисконтирование денежных потоков инвестиционного проекта
- •4.2. Модель с постоянным процентным ростом свободных денежных потоков
- •4.3. Задача оптимального финансирования проекта
- •4.4. Задача оптимального выбора инвестиционных проектов
- •4.5. Анализ чувствительности денежных потоков проекта
- •4.6. Анализ безубыточности проекта
- •4.7. Влияние инфляции на денежные потоки проекта
- •4.8. Анализ финансового риска инвестиционного проекта
- •4.9. Имитационное моделирование денежных потоков проекта
- •5. Математические методы анализа платежей облигаций
- •5.1. Платежи облигаций
- •5.2. Доходность к погашению облигации
- •5.3. Текущая стоимость облигации
- •5.4. Продолжительность облигации
- •5.5. Чистые доходности
- •5.6. Использование чистых доходностей для оценки рыночной стоимости купонных облигаций
- •5.7. Синтетические бескупонные облигации
- •5.8. Описание оценки рыночной стоимости облигации в общем случае
- •5.9. Условия существования имитирующего портфеля и однозначности оценки рыночной стоимости облигации
- •5.10. «Чистые» коэффициенты дисконтирования, их нахождение и использование для оценки рыночной стоимости облигации
- •5.11. Нахождение чистых доходностей методом наименьших квадратов
- •5.12. Форвардные доходности
- •6. Моделирование процентного риска
- •6.1. Продолжительность и выпуклость портфеля облигаций
- •6.2. Чувствительность текущей стоимости портфеля облигаций к изменению доходности
- •6.3. Чувствительность собственного капитала финансовой организации к изменению доходности облигаций
- •6.4. Иммунизация будущих платежей от процентного риска
- •7. Моделирование кредитного риска
- •7.1. Использование линейной модели вероятности для оценки кредитного риска
- •8. Теория инвестиционного портфеля
- •8.1. Инвестиционный портфель и его основные характеристики
- •8.2. Диверсификация риска
- •8.3. Множество инвестиционных возможностей
- •8.4. Оптимизация инвестиционного портфеля
- •8.5. Множество инвестиционных возможностей при наличии безрисковой доходности
- •8.6. Оптимизация инвестиционного портфеля при наличии безрискового актива
- •8.7. Рыночная модель
- •8.8. Разложение общего риска финансового актива на систематическую и собственную составляющие
- •8.9. Модель оценки финансовых активов
- •9. Математические методы анализа финансовых производных
- •9.1. Основные виды финансовых производных
- •9.2. Рыночная стоимость форвардного контракта
- •9.3. Соотношение между рыночной стоимостью форвардного контракта и форвардной ценой базового актива
- •9.4. Форвардные контракты на покупку валюты
- •9.5. Форвардные контракты на процентные ставки
- •9.6. Фьючерсные контракты
- •9.7. Микрохеджирование с помощью фьючерсных контрактов
- •9.8. Макрохеджирование с помощью фьючерсных контрактов
8.6. Оптимизация инвестиционного портфеля при наличии безрискового актива
Оптимизация инвестиционного портфеля при наличии безрискового актива заключается в нахождении портфеля , такого, что луч– самый верхний луч множества инвестиционных возможностей комбинаций безрискового актива и портфелей.
С помощью портфеля можно построить комбинацию, соответствующую любой точке луча.
Заметим, что луч имеет самый большой угол наклона, а следовательно и, среди всевозможных лучей,.
Вспомним, что равен параметру(который определяется формулой). Следовательно, задача нахождения оптимального портфелясводится к максимизации параметра.
Математически задача максимизации параметра записывается следующим образом:
, (60)
, (61)
(62)
В этой оптимизационной задаче в качестве переменных выступают доли ,, финансовых активов в портфеле. В качестве целевой функции выступает параметр, который в конечном счете зависит от долей,, (посколькуи).
8.7. Рыночная модель
Заметим, что при решении задач оптимизации портфеля (44)-(47), (48)-(51), (60)-(62) используются ожидаемые доходности финансовых активов, дисперсиии ковариации. При достаточно большом числевидов финансовых активов, общее количество этих параметров становится очень большим (ожидаемых доходностей,дисперсий иковариаций). При этом основную роль в увеличении количества этих параметров при возрастании числавидов финансовых активов играет количествоковариаций. (Например, при.) Следовательно, решения задач оптимизации портфеля становятся очень громоздкими и трудоемкими при больших количествах видов финансовых активов.
Рыночная модель, рассматриваемая в данном параграфе, позволяет существенно уменьшить количество параметров, используемых при решении задач оптимизации портфеля.
Для того, чтобы описать рыночную модель, нам потребуется понятие рыночного портфеля.
Рыночный портфель – это портфель, в котором присутствуют финансовые активы всех видов, имеющихся в экономике, и в котором доли финансовых активов (в денежном выражении) равны долям финансовых активов в экономике в целом.
Будем обозначать рыночный портфель буквой , доходность рыночного портфеля – через, и стандартное отклонение доходности рыночного портфеля – через.
В соответствии с формулой (17), доходность рыночного портфеля определяется следующим образом:
, (63)
где количество всех видов финансовых активов в экономике,– доля финансового активаi-го вида в экономике в целом.
Замечание 10. На практике рыночный портфель часто заменяют индексным портфелем, содержащим достаточно большое количество финансовых активов, и под рыночной доходностью понимают доходность соответствующего индексного портфеля (например, доходность индекса ).
Рыночная модель имеет следующий вид:
, (64)
где и– константы, зависящие от вида финансового актива,– случайная величина, также зависящая от вида финансового актива.
Основные предположения рыночной модели – следующие:
1) ;
2) ;
3) .
Замечание 11. Первые два предположения рыночной модели – это стандартные предположения линейной регрессии.
Предположения рыночной модели интерпретируются следующим образом. Доходность финансового актива зависит от рыночной доходности (причем ожидаемая доходность финансового актива однозначно определяется ожидаемой рыночной доходностью по формуле: ). Однако, есть факторы, влияющие на доходность финансового актива, которые зависят только от специфики данного финансового актива, причем эти факторы для разных финансовых активов – независимы. Эти факторы описываются случайным отклонением.
Покажем, что в условиях рыночной модели для ковариации между доходностями финансовых активов видови() справедлива формула:
. (65)
Ковариация по определению равна. Из равенства (64) и условия (1) рыночной модели вытекает, чтои. Следовательно,
(66)
Здесь обозначение обозначает дисперсию соответствующей случайной величины. В силу условий (2) и (3) рыночной модели последние три слагаемые правой части равенства (66) равны нулю. Следовательно, равенство (66) сводится к равенству (65).
Формула (67) позволяет значительно уменьшить количество параметров в задачах оптимизации портфеля: вместо ковариацийиспользуетсякоэффициентов.
Покажем, что в условиях рыночной модели для ковариации доходностей финансового актива и рыночного портфеля справедлива формула:
. (67)
Действительно, из равенства (64) и свойств (1) и (2) рыночной модели следует, что
Из соотношения (67) вытекает, что
. (68)
Замечание 12. С помощью формулы (64) можно определить коэффициент финансового актива также в тех случаях, когда условия рыночной модели не выполняются.