- •1. Общее представление об экономико-математическом моделировании
- •1.1. Определение экономико-математической модели
- •1.2. Классификация экономико-математических моделей
- •1.3. Основные этапы экономико-математического моделирования
- •2. Основы финансовой арифметики
- •2.1. Простой процент
- •Наращенная сумма при простом проценте
- •Текущая стоимость при простом проценте
- •Номинальная годовая процентная ставка
- •3. Математически методы анализа последовательностей платежей
- •3.1. Текущая стоимость последовательности платежей
- •3.2. Будущая стоимость последовательности платежей
- •3.3. Стоимость последовательности платежей в произвольный момент времени
- •4. Моделирование инвестиционных проектов
- •4.1. Дисконтирование денежных потоков инвестиционного проекта
- •4.2. Модель с постоянным процентным ростом свободных денежных потоков
- •4.3. Задача оптимального финансирования проекта
- •4.4. Задача оптимального выбора инвестиционных проектов
- •4.5. Анализ чувствительности денежных потоков проекта
- •4.6. Анализ безубыточности проекта
- •4.7. Влияние инфляции на денежные потоки проекта
- •4.8. Анализ финансового риска инвестиционного проекта
- •4.9. Имитационное моделирование денежных потоков проекта
- •5. Математические методы анализа платежей облигаций
- •5.1. Платежи облигаций
- •5.2. Доходность к погашению облигации
- •5.3. Текущая стоимость облигации
- •5.4. Продолжительность облигации
- •5.5. Чистые доходности
- •5.6. Использование чистых доходностей для оценки рыночной стоимости купонных облигаций
- •5.7. Синтетические бескупонные облигации
- •5.8. Описание оценки рыночной стоимости облигации в общем случае
- •5.9. Условия существования имитирующего портфеля и однозначности оценки рыночной стоимости облигации
- •5.10. «Чистые» коэффициенты дисконтирования, их нахождение и использование для оценки рыночной стоимости облигации
- •5.11. Нахождение чистых доходностей методом наименьших квадратов
- •5.12. Форвардные доходности
- •6. Моделирование процентного риска
- •6.1. Продолжительность и выпуклость портфеля облигаций
- •6.2. Чувствительность текущей стоимости портфеля облигаций к изменению доходности
- •6.3. Чувствительность собственного капитала финансовой организации к изменению доходности облигаций
- •6.4. Иммунизация будущих платежей от процентного риска
- •7. Моделирование кредитного риска
- •7.1. Использование линейной модели вероятности для оценки кредитного риска
- •8. Теория инвестиционного портфеля
- •8.1. Инвестиционный портфель и его основные характеристики
- •8.2. Диверсификация риска
- •8.3. Множество инвестиционных возможностей
- •8.4. Оптимизация инвестиционного портфеля
- •8.5. Множество инвестиционных возможностей при наличии безрисковой доходности
- •8.6. Оптимизация инвестиционного портфеля при наличии безрискового актива
- •8.7. Рыночная модель
- •8.8. Разложение общего риска финансового актива на систематическую и собственную составляющие
- •8.9. Модель оценки финансовых активов
- •9. Математические методы анализа финансовых производных
- •9.1. Основные виды финансовых производных
- •9.2. Рыночная стоимость форвардного контракта
- •9.3. Соотношение между рыночной стоимостью форвардного контракта и форвардной ценой базового актива
- •9.4. Форвардные контракты на покупку валюты
- •9.5. Форвардные контракты на процентные ставки
- •9.6. Фьючерсные контракты
- •9.7. Микрохеджирование с помощью фьючерсных контрактов
- •9.8. Макрохеджирование с помощью фьючерсных контрактов
3. Математически методы анализа последовательностей платежей
3.1. Текущая стоимость последовательности платежей
Текущая стоимость последовательности платежей – это первоначальный капитал, обеспечивающий выплату заданной последовательности платежей. (Таким образом, данное определение обобщает понятие текущей стоимости отдельно взятого платежа.)
Найдём формулу для текущей стоимости последовательности платежей. Для простоты предположим, что последовательность платежей состоит из трёх платежей и, выплачиваемыми через равные промежутки времени (причем первый платёж выплачивается в конце первого промежутка времени). Временная диаграмма такой последовательности платежей имеет вид:
Платежи
Время 0 1 2 3
Пусть – начальный капитал, обеспечивающий выплату такой последовательности платежей. Обозначим черезэффективную процентную ставку для периода времени между двумя платежами. Тогда наращенная сумма к концу первого периода составит. После выплаты первого платежа капитал уменьшится на величину первого платежаи составит. Следовательно, в конце второго периода капитал составит. После выплаты второго платежа капитал составит. Следовательно, к концу третьего года капитал составит. После выплаты третьего платежа капитал составит. Приравняв последнее выражение к нулю, получим следующее уравнение:. Из этого уравнения легко выразить:
. (1)
Пример 1. Пусть три платежа, размером 200, 300 и 150 д.е. выплачиваются в конце первого, второго и третьего года, соответственно. Эффективная годовая процентная ставка равна 12%. Требуется определить текущую стоимость такой последовательности платежей.
Решение. Итак, ,,,.
Таким образом, для того чтобы обеспечить выплату такой последовательности платежей, в текущий момент времени нужно положить в банк 524,50 д.е.
В случае, когда последовательность платежей состоит из n платежей, выплачиваемых через равные промежутки времени (причем первый платёж выплачивается в конце первого промежутка времени), текущая стоимость находится по формуле:
, (2)
где r – эффективная процентная ставка для периода времени между двумя платежами.
Рассмотрим более общий случай, когда платежи выплачиваются через любые (не обязательно равные) промежутки времени. Обозначим через срок выплаты платежа. Временная диаграмма такой последовательности платежей имеет вид:
Платежи C1 C2 C3 . . . . . . . . . . . . Cn
Время 0 t1 t2 t3 . . . . . . . . . . . . tn
Несложно показать, что в этом случае текущая стоимость последовательности платежей имеет вид:
, (3)
где r – эффективная процентная ставка для периода, равного единице измерения времени сроков платежей .
Пример 2. Пусть последовательность платежей состоит двух платежей. Первый платёж, равный 250 д.е. выплачивается через 2 месяца, а второй платёж, равный 300 д.е., выплачивается через 7 месяцев. Известно, что эффективная процентная ставка для одного квартала равна 4%. Требуется определить текущую стоимость такой последовательности платежей.
Решение. Итак, года,года,(для одного квартала).
Задачу можно решить двумя способами (в зависимости от того, какой период взять в качестве единицы измерения времени).
Первый способ. Возьмём квартал в качестве единицы измерения времени. Выразим сроки платежей в кварталах: квартала,квартала. Теперь мы можем воспользоваться формулой (3):
Второй способ. Возьмём год в качестве единицы измерения времени. Найдем эффективную процентную ставку для одного года (по формуле (26) главы 1): . Теперь мы можем найти текущую стоимость:
Из формулы (3) следует, что
, (4)
где – коэффициент дисконтирования для срокаплатежа. Таким образом, текущая стоимость последовательности платежей равна сумме дисконтированных платежей.
Заметим, что – текущая стоимость платежа. Обозначим текущую стоимость платежачерез. Поскольку, формулу (4) можно записать в следующем виде:
. (5)
Таким образом, текущая стоимость последовательности платежей равна сумме текущих стоимостей отдельно взятых платежей.
Пример 3. Найдем текущую стоимость последовательности платежей из примера 1 по формуле (5).
Итак, ,,,. Найдём текущие стоимости платежей:д.е.,д.е.,д.е. Теперь мы можем воспользоваться формулой (5):д.е.
Таким образом, мы получили такой же результат как и в примере 1.