Рассматривая эти формулы, можно сделать вывод, что удвоенная площадь участка равна сумме произведений абсциссы каждой точки на разность ординат предыдущей и последующей точек или ординаты каждой точки на разность абсцисс последующей и предыдущей точек. Для контроля вычисления производят по обеим формулам. Перепишем их для полигона из п точек.

				(X.l)
			1
	Площади простых по форме участков вычис-						-У?
	ляют,	разбив их предварительно на элементар-
					Рис.	123.	Вычисление площади
	ные фигуры: треугольники,			четырехугольники.
					полигона по координатам
	Наиболее употребительные формулы для вы-
						При этом высоты, сто-
	числения		площадей этих	фигур приведены в § 52.
	роны	и углы, необходимые для вычисления площадей,					должны быть изме-
	рены	на	местности.

§ 52. ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ

Способ осноБаи на разбивке данной на плане территории на простейшие геометрические фигуры: треугольники, прямоугольники, трапеции. Стороны разбиваемых фигур должны быть прямыми линиями, удобными для измерения. Измерив в масштабе плана величины, необходимые для определения площади

их площади

основание,	высоту, параллельные	стороны, — определяют площадь	каждой
геометрической фигуры и затем берут их сумму.
Найдем формулы для определения площади различных фигур.
1. Для	треугольника (рис. 124, а)
	Р =±-ah = YabsinC	= Vp(p — a) (р — Ъ)(р-с)>	(Х.2)

где а, fc, с — длины сторон; h — высота; С — угол между сторонами а и Ъ треугольника, а

р-—-(а-\-Ь~\-с) — полупериметр.

9*

131

2.

Для

параллелограмма

(рис. 124, б)

Р = ahm

(Х.З)

3.

Для

трапеции

(рис. 124, в)

(Х.4)

4.

Для

четырехугольника

(рис. 124, г)

2Р = ab sin Pi + cd sin

— Ik sin cp,

(X.5)

где l,

к — диагонали;

cp — угол между

ними.

Эти формулы применяются и для вычислений площадей по данным изме-

рений на местности (аналитический способ). Вычисление площади

графическим

способом тем точнее, чем

крупнее

масштаб

плана.

проконтролировать

результаты

Чтобы

определения площади, надо повторить вы-

числение,

меняя исходные

данные.

Все вы-

числения

следует

вести

как

показано в

Рис. 125. Вычисление площади тре-

табл. 16, занося туда длины линий,

опреде-

угольника с контролем

ляемые по плану.

треугольнике (рис. 125)

hx

Например,

в

можно

измерить

две

высоты

= 148 м

и

/г2 =

171 м и

две

стороны, на

которые они опущены

аг = 628 м и а2

=

539 м.

Т а б л и ц а

16

ЛЪ треуголь-

Основание, м

Высота, м

Половина про-

Средняя пло-

ника

изведений

щадь, м2

1

628

148

46 472

46 278

539

171

46084

§ 53. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПАЛЕТКАМИ

Графическим способом определяют площади небольших участков с криволинейными контурами с помощью палеток. Палетка изготовляется из листа прозрачного материала. Различают палетки прямолинейные и криволинейные. Прямолинейная палетка строится на листе бумаги, на который наносится сетка квадратов или параллельных линий (рис. 126). Для определения площади квадратной палеткой ее накладывают на участок, площадь которого нужно определить, и считают число целых квадратов, поместившихся внутри контура; доли неполных квадратов оценивают на глаз.

Зная площадь одной клетки и число клеток, занимаемых контуром, перемножают их и получают площадь контура.

Чаще всего строят сетку квадратов со стороной 2 мм. Длина стороны такого квадрата, например, в масштабе 1 : 10 ООО будет 20 м, а площадь 400 м2 = - 0,04 га.

Чтобы упростить подсчеты и избежать грубых ошибок, проводят утолщенные линии через 5 или 10 квадратов, тогда легко можно подсчитывать группы квадратов.

Оценка долей квадратов на глаз сопряжена с ошибками, а потому и точность этого способа невысокая. Так, площади участков более 2 см2 на плане не рекомендуется определять палеткой.

Для определения площади участка палеткой с параллельными линиями ее накладывают так, чтобы крайние точки контура оказались между ее линиями. Таким образом, участок рассекается линиями палетки на фигуры, близкие к трапециям. Тогда, чтобы получить площадь контура, нужно сложить площади отдельных трапеций, которые определяют как произведение высоты трапеции на ее среднюю линию. Поскольку высоты трапеций одинаковы и известны —

т			-
1		-	1	шV /-
1	I		1
1
1			Г]П
1
Рис. 126.	Палетка с		сеткой квад-	Рис. 127. Определение пло-
		ратов		щади палеткой с параллель-
				ными линиями

это расстояние между линиями палетки, — то задача сводится к определению длины средних линий, которыми являются линии палетки, а границами трапеций — пунктирные линии (рис. 127).

Задача решается суммированием. Сумма средних линий последовательно набирается в раствор измерителя: сначала берут отрезок аб, затем, не сжимая измеритель, совмещают его левую ножку с точкой <2, правая при этом станет вправо от d на расстоянии а 6. Не сдвигая правой ножки, левую перемещают в точку с. Тогда в растворе измерителя будет отрезок аЪ + cd. Затем измеритель переносят ниже и прибавляют отрезок fe и т. д. По масштабной линейке определяют суммарную величину средних линий и умножают на расстояние между линиями палетки, выраженное в метрах на местности.

Палетка с параллельными линиями позволяет определять площади участков точнее, и все же с ее помощью не рекомендуется определять площади участков более 10 см2 на плане.

Криволинейные палетки не находят широкого применения, так как с их помощью площади • участков определяются медленнее.

§ 54. ПОЛЯРНЫЙ ПЛАНИМЕТР И РАБОТА С НИМ

Измерение площадей механическим способом производится с помощью специального прибора — планиметра. Наиболее распространенным является полярный планиметр с рычагом переменной длины (рис. 128, а). Он состоит

из двух рычагов — полюсного 3 и обводного 7. Имеет три точки опоры — колесо дополнительного счетного механизма 2, обводное стекло 6 и колесо 10. На одном конце полюсного рычага закреплен груз в нижней части которого имеется игла, перед началом измерений вдавливаемая в бумагу и служащая полюсом, вокруг которого вращается планиметр. Вторым концом полюсный

6

рычаг шарнирно соединяется с обводным рычагом посредством штифта с шарообразной головкой, вставляемого в гнездо. Этот узел 8 служит осью вращения обводного рычага.

На конце обводного рычага закреплено стекло 6, на нижней поверхности которого выгравирована обводная точка. Удерживая планиметр за ручку 5, точкой обводят контур участка, площадь которого хотят измерить. На обводном рычагепомещается каретка 1 счетного механизма, состоящего из счетного колеса 10 и счетчика целых оборотов 9. Для отсчетов по счетному колесу имеется верньер 11. При обводе контура участка ободок счетного колеса катится или скользит по бумаге.

При измерении площади планиметром обводную точку совмещают с заранее выбранной точкой контура и делают четырехзначный отсчет пн. Первая цифра берется со счетчика целых оборотов (рис. 128, б), две последующие — число целых делений по счетному колесу относительно нулевого штриха верньера

и последняя — чнсло штрихов от куля верньера до штриха, совпавшего с делением счетного колеса.

Затем обводят контур по ходу часовой стрелки до возвращения в исходную

точку и снова берут	отсчет пк. Разность отсчетов выражает площадь		участка
в делениях планиметра. Чтобы получить площадь в гектарах или квадратных
метрах, нужно знать цену деления планиметра		тогда
	S ^ p f a - n J .		(Х.6)
Ценой деления	планиметра является площадь прямоугольника,		равная

произведению длины обводного рычага R (от обводной точки до шарнирного соединения рычагов) на деление планиметра Z, равное тысячной доле длины

ободка счетного колеса,	/
p = Pd.	(Х.7)

Поскольку каретка счетного механизма передвигается, то длина обводного рычага изменяется, следовательно, и цена деления планиметра также изменяется. Этим пользуются для подбора удобной для вычислений цены деления планиметра.

По формуле (Х.6) можно вычислять площадь, если полюс планиметра располагается вне контура. Если же полюс располагается внутри контура, то его площадь равна

S = p(nK-n'B + q),

(Х.8)

Рис. 129. Геометрическая сущность постоянного числа планиметра

где q — постоянное число планиметра.

Для выяснения геометрической сущности постоянного числа планиметра поставим его так, чтобы плоскость ободка счетного колеса проходила через полюс О (рис. 129). Если обвести планиметром, поставленном в такое положение, круг, то счетное колесо не будет вращаться, оно лишь скользит по бумаге. Круг радиуса р, описанный при этом обводной точкой, называется основным кругом планиметра, его площадь планиметром не учитывается. Если участок больше основного круга, то планиметром измеряется лишь площадь за пределами основного круга; если же измеряемая площадь меньше площади основного круга, то второй отсчет будет меньше первого и разность их п^ — п'н выражает дополнение площади контура до площади основного круга.

Определить постоянное число q можно, измерив площадь одного и того же участка дважды с разным положением полюса — внутри и вне его.

Тогда на основании формул (Х.6) и (Х.7) можно записать

S = — = — +

откуда

д = (пк — пи) — (пк — Пн).

Качество результатов измерений планиметром зависит от формы участка, его величины, положения планиметра относительно участка и качества бумаги. Не рекомендуется измерять планиметром площади участков, меньших 10—15 см2 на карте или плане. Площади дорог, рек канав и других протяженных участков надежнее определять графическим или геометрическим способом.