4.3. Свойства средней арифметической

Метод исчисления средней арифметической обладает рядом математических свойств, которые используются в статистике для упрощения техники расчетов. Важнейшие из этих свойств следующие:

1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты средней:

. (4.5)

2. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна 0:

. (4.6)

3. Если все осредняемые варианты увеличить или уменьшить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на ту же величину

(4.7)

4. Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в Араз, то средняя также соответственно увеличится или уменьшится вАраз:

. (4.8)

5. Если частоты уменьшить или увеличить в Араз, то средняя арифметическая от этого не изменится:

. (4.9)

Объединяя свойства средней арифметической, можно исчислить ее с помощью способа моментов:

, (4.10)

где А– серединная варианта ряда с наибольшей частотой;

h– величина интервала ряда распределения;

е– произвольная величина.

Пример

Имеются следующие данные о времени горения электроламп для лампового завода (см. табл. 4.1). Необходимо рассчитать среднее время горения электроламп по способу моментов.

Таблица 4.1

Группы электроламп по времени горения, час	Число электроламп, fi	xi	xi–А= =xi–1300
800-1000	20	900	-400	-2	4	80	-4
1000-1200	80	1100	-200	-1	1	80	-8
1200-1400	160	1300	0	0	0	0	0
1400-1600	90	1500	200	1	1	90	9
1600-1800	40	1700	400	2	4	160	8
1800-2000	10	1900	600	3	9	90	3
Итого	400					500	8

А– середина интервала с наибольшей частотой=160;

h– величина интервала.

По формуле (4.10) рассчитываем среднее время горения:

часов.

Средняя гармоническаяприменяется, когда индивидуальные значения выражены в форме обратных показателей. Если вес каждого варианта равен единице, то приnвариантах формула средней гармонической имеет вид

. (4.11)

Формула средней гармонической взвешенной следующая:

. (4.12)

Пример

Издержки производства и себестоимость единицы продукции Апо трем заводам характеризуются следующими данными.

Номер завода	Издержки производства, у.д.е.	Себестоимость единицы продукции, у.д.е.
1 2 3	200000 460000 110000	20 23 22

Исчислить среднюю себестоимость по трем заводам:

Средняя геометрическая применяется для расчетов средних темпов за определенный период, т. е. тогда, когда определяющий показатель (величина, определяющая вид средней) является не суммой значений, а их произведением:

(простая); (4.13)

(взвешенная). (4.14)

Средняя квадратическаяприменяется в тех случаях, когда приходится осреднять величины в виде квадратных функций (например, при расчетах диаметра труб, стволов); в статистике используется как мера вариации. Рассчитывается по формулам:

(простая); (4.15)

(взвешенная).(4.16)

Как было отмечено, применение той или иной средней величины зависит от сущности явления и исходной информации [1, 3–7]. Между средними существует следующее соотношение, названное правилом мажорантности средних:

.