Chuprigin_O_A_-_Matematicheskiy_analiz_predel_nepreryvnost_differentsiruemost_pdf

Получим асимптотическое разложение знаменателя:

									2																2
ln cos3x ln 1							(3x)				o(9x2 ) ln 1											9x							o(x2 )
								2															2
	9x2								9x2											9x2
			o(x2 ) o											o(x2 )									o(x2 ), x 0.
	2									2									2
Таким образом,
		sin sin		x2								x2			o(x2 )											x2
																															1
lim		2				lim						2						lim							2							.
x 0		ln cos 3x					x 0					9			2	2				x 0					9			2		9
														x		o(x	)										x
												2													2

Пример 2. Найти lim	(неопределенность вида 1 ).
n

Используя асимптотические формулы (2.15), (2.17), (2.22)

èсвойства символа «î малое», можно записать при n :

А тогда

162

		x	3		x		1
Пример 3. Вычислить lim x2 7						cos			(неопределен-
				3
		x			1
x							x

ность вида 0).

Проведем вычисления коротко, без комментариев. При

xимеем:

							x3 x																							1										1																																	1 1
																																								2																				1																																1
1)																																								x										1													1																						1
							x3 1																													1																							x2													x3																			x2
																													1
																																							x3
			1																			1																											1											1									1										1													1								1
1														o																											1																																o																							o
				x3																																														x2										x3									x5																						x2
																						x3																																																									x3																			x3
1			1									o													1								;
			2																						2
			x																					x
																																																																			1
									x3										x																						1														1
2)																																																																	7
			7																																1															o
										x3									1																							x2
																																																							x2
	1 1																															1																1															1																		1 1														1
1																				o																					o																o																1																	o											;
	7
							x2																					x2																				x2															x2																			7 x2													x2
														1																						1 1																		1
3) cos																						1																								o														.
																																				2 x2
															x																																					x2
Таким образом,
																		x3 x																												1																													1 1																	1 1											1
lim x2 7																																				cos																					lim x2													1															1															o
																						3																																																											2														2										2
																		x								1																															x
x																																															x																												7 x																		2 x										x
																																																	2						9								1										1														9
																																				lim x																															o																							.
																																																							14 x2
																																								x																																	x2												14

Г л а в а 3 ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

3.1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

3.1.1. Определение производной

Пусть функция y f(x) определена в окрестности точки x0. Если аргумент x получит в точке x0 приращение x 0, òî ñîîò-

ветствующее приращение функции в этой точке будет равно

y f(x0 ) f(x0 x) f(x0 ).

Заметим, что поскольку точка x0 фиксирована, то величинаf(x0 ) зависит только от x.

Определение. Если существует предел

lim	y		lim	f(x0 )		lim	f(x0 x) f(x0 )	,	(3.1)
x 0		x			x		x
			x 0			x 0

то его называют производной функции y f(x) в точке x0.

Для обозначения производной функции y f(x) в точке x0 употребляют следующие символы:

y èëè f (x0 ) (Лагранж);

dy	,	df(x0 )	èëè	d	f(x ) (Лейбниц).
dx dx				dx	0

В английской литературе встречается обозначение производной по Коши: Df(x0 ).

Заметим, что обозначения производной по Лейбницу dy , df dx dx

(читается: «дэ игрек по дэ икс, дэ эф по дэ икс») рассматриваются пока как цельный символ, заменяющий слово «производная». В дальнейшем мы припишем определенный смысл выражениям

164

dy, df, dx, что позволит рассматривать dy è df не просто как dx dx

цельный символ, а как обычную дробь.

В механике, кроме указанных символов, для обозначения производной функции (t) по времени t используют символ · (t).

Таким образом,

f (x )	lim	f(x0 x) f(x0 )		.	(3.2)
0	x 0
		x

Очевидно, что условию (3.2) можно придать следующий вид:

	f (x0 ) lim	f(x) f(x0 )		.
		x x
	x x0
		0

Если указанный предел не существует, то говорят, что данная функция в точке x0 производной не имеет. Если же производная существует в каждой точке x некоторого интервала (a, b),

то можно говорить о функции f (x), определенной на этом интервале.

Термин «производная» впервые употребили в конце XVIII в. Арбагаст и Лейбниц; Ньютон пользовался термином «флюксия». Определение производной, основанное на понятии предела, было дано Коши; со времен Коши «существование производной, в которое до тех пор можно было только верить, становится вопросом, изучаемым обычными средствами анализа» (Бурбаки). Заметим, что еще раньше такое же определение производной встречалось у Люилье (1786), но его работа, хотя и была отмечена премией Берлинской Академии наук, не нашла последователей.

Пример 1. Найти производную функции f(x) sin x в точке x0 0.

Сначала найдем приращение функции в точке x0:

f(x0 ) f(x0 x) f(x0 ) f(0 x) f(0) sin x.

А тогда, используя первый замечательный предел, получим

lim	f(x0 )	lim	sin x	1.
x 0 x		x 0 x

Пример 2. Найти производную функции f(x) xn (n ) в точке x0 .

165

представляет собой при x 0

По определению производной функции в точке x0 имеем

		f(x	x) f(x )		(x	x)n xn
f (x )	lim	0	0	lim	0		0
			x
0							x
	x 0			x 0

	n
lim	Cnkx0n k( x)k 1	lim [Cn1x0n 1 Cn2x0n 2 x Cn3x0n 3 ( x)2
x 0 k 1			x 0
	... Cnx0		( x)n 1 ]	C	1xn 1	nxn 1.
	n	0			n 0	0

Нахождение производных, или, иначе говоря, дифференцирование функций, является важнейшей операцией математического анализа. Если использовать только определение производной, то для ее вычисления необходимо найти предел (3.1). Для непрерыв-

ной функции f(x) выражение f

x

неопределенность типа 0. Как известно, раскрытие таких неопре- 0

деленностей является обычно довольно сложной задачей. В дальнейшем мы познакомимся с другими методами практического нахождения производных элементарных функций, не связанных непосредственно с необходимостью перехода к пределу в неопре-

деленностях вида 0. Более того, не нахождение производных реа- 0

лизуется на практике через раскрытие неопределенностей, а, на-

оборот, раскрытие неопределенностей типа 0 достигается обычно 0

путем использования производных. Однако в некоторых конкретных случаях, о которых речь будет идти ниже, при вычислении производной нельзя обойтись без соотношения (3.1).

3.1.2. Односторонние производные

В определении производной функции y f(x) существенно, что приращение аргумента x стремится к нулю произвольным образом, т. е. x может пробегать только положительные или только отрицательные значения или значения того и другого знака. Мы придем к понятию односторонних производных, если рас-

166

смотрим односторонние пределы разностного отношения

f ïðè

x

стремлении x к нулю справа ( x 0 0) или слева ( x 0 0).

Если существует предел f(x0 ) ïðè x 0 0, т. е. прираще-

x

íèå x стремится к нулю, оставаясь все время положительным, то получаем правостороннюю производную (èëè правую производную) функции f(x) в точке x0, которую обозначают f (x0 ).

Аналогично определяют левостороннюю производную (èëè левую производную) f (x0 ).

Таким образом,

f (x )

lim

f(x0

x) f(x0 )

èëè f (x )

lim

f(x) f(x0 )

;

0

x 0 0

x

0

x x0 0

x x

0

f (x )

lim

f(x0

x) f(x0 )

èëè f (x )

lim

f(x) f(x0 )

.

0

x 0 0

x

0

x x0 0

x x

0

Естественно, для того чтобы вести речь о левосторонней (правосторонней) производной функции в точке x0, достаточно потребовать, чтобы функция была определена только при x x0 (x x0).

Весьма часто мы будем рассматривать функции, заданные на отрезке [a, b] и имеющие производную во всех внутренних точ- ках этого отрезка, в точке a имеющие правую производную, а в точке b — левую. В таких случаях будем говорить, что функция имеет производную на отрезке [a, b], не оговаривая особо, что на самом деле в точке a она имеет только правостороннюю производную, а в точке b — левостороннюю. Аналогичным образом понимают утверждение, что функция имеет производную на полуинтервалах [a, b) è (a, b].

Замечание 1. В учебной литературе можно встретить следующие обозначения для левосторонней f (x0 ) и соответственно правосторонней f (x0 ) производных: f (x0 0) è f (x0 0). Однако, согласно определению и обозначению односторонних пределов,

f (x0 0) lim f (x) есть левый предел производной f (x) è îí

x x0 0

может не совпадать с левой производной в точке x0. Может слу- читься и так, что, например, левая производная f (x0 ) существует, а левый предел производной в точке x0, ò. å. f (x0 0), íå ñó-

ществует. То же можно утверждать и относительно взаимосвязи правой производной с правым пределом производной. Таким об-

167

разом, односторонние производные функции нельзя отождествлять с соответствующими односторонними пределами производной. Но во многих случаях (см. далее п. 3.4.3) f (x0 ) f (x0 0) è

f (x0 ) f (x0 0).

Простым следствием связи между пределом функции в точке и односторонними пределами является следующее утверждение.

Утверждение. Для того чтобы существовала производная f (x0 ), необходимо и достаточно, чтобы существовали обе одно-

сторонние производные в этой точке, причем f (x0 ) f (x0 ).

Понятно, что в случае существования производной f (x0 ) имеет место равенство

f (x0 ) f (x0 ) f (x0 ).

Åñëè æå f (x0 ) f (x0 ) или одна из односторонних производных не существует, то функция в точке x0 не имеет производной. Указанное обстоятельство часто используют, чтобы доказать отрицание существования производной в данной точке.

Пример 3. Найти односторонние производные функции f(x)| x x0 | в точке x0. Имеет ли f(x) производную в точке x0?

Åñëè x 0, то приращение функции в точке x0 равно

f(x0 ) f(x0 x) f(x0 ) | x0 x x0 | | x0 x0 | | x | x,

следовательно,
f	(x )		lim	f(x0 )		lim	x	1.
		0	x 0 0			x 0 0
				x			x

Åñëè æå x 0, òî

f(x0 ) | x0 x x0 | | x0 x0 | | x | x.

Тогда
f (x )		lim	f(x0 )		lim	x	1.
	0	x 0 0			x 0 0
			x			x

Òàê êàê f (x0 ) f (x0 ), то производная f (x0 ) не существует.

Пример 4. Имеет ли функция f(x) | sin x | производную в точке x0 0?

Найдем приращение функции в точке x0 0:

f(x0 ) | sin (x0 x) | | sin x0 | | sin x |.

168

Тогда

f (x )

lim

f(x0 )

lim

| sin x |

lim

sin x

1.

0

x 0 0

x

x 0 0

x 0 0

x

x

Аналогично имеем

f (x )

lim

f(x0 )

lim

| sin x |

lim

sin x

1.

0

x 0 0

x

x 0 0

x 0 0

x

x

Сравнивая односторонние производные f (0) è f (0), приходим

к выводу, что производная f (0) не существует.

Пример 5. Доказать, что функция

x2, åñëè x 0,

f(x)

0, åñëè x 0,

имеет производную в точке x0 0 и найти f (x0 ).

Рассмотрим односторонние производные f (x0 ) è f (x0 ).

Имеем:

f (0)

lim

f(0 x) f(0)

lim

( x)2 0

0;

x 0 0

x

x 0 0

x

f

(0)

lim

f(0 x) f(0)

lim

0 0

0.

x 0 0

x

x 0 0 x

Условие f (0) f (0) выполняется, следовательно, производ-

ная в точке x0

0 существует и f (0) 0.

3.1.3. Замечания о бесконечной производной

Если для непрерывной функции f(x) предел отношения f(x0 )

x

ïðè x 0 ( x 0 0 èëè x 0 0) равен бесконечности, то, в соответствии с определением, производная (односторонняя производная) функции f(x) в точке x0 не существует. Однако в этом слу-

чае условились говорить, что функция f(x) имеет в точке x0 бесконечную производную (бесконечную одностороннюю производную) или производную, равную .

Например, функция f(x) 3x имеет в точке x0 0 производную f (0) . В самом деле,

f(0)			f(0	x) f(0)		3 x				.
	x							x
										x 0
				x

169

Легко заметить, что функция f(x) 3x2 имеет в точке x0 0

правостороннюю производную f (0) и левостороннюю производную f (0) ; это видно из равенства

f(0)		f(0 x) f(0)	3		( x)2			1		.
x		x			x
						3
								x

Целесообразность введения понятия бесконечной производной мы увидим ниже (например, в п. 3.1.5).

Замечание. В дальнейшем под производной будет всегда пониматься конечная производная, если специально не оговорено противное.

3.1.4. Производная и непрерывность функции

Непосредственным следствием определения производной является следующее утверждение.

Утверждение. Всякая функция, имеющая производную (конечную) в точке x0, непрерывна в этой точке.

Действительно, нужно показать, что lim f(x) f(x0 ) èëè

x x0

lim [f(x) f(x0 )] 0. Используя определение производной f(x) â

x x0

точке x0, имеем

lim [f(x) f(x0 )]

x x0

lim f(x) f(x0 )

x x0	x x
	0

	f(x) f(x0 )
lim		(x x0 )
x x0	x x
	0
lim (x x0 ) f (x0 ) 0 0.
x x0

Заметим, однако, что обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной в точке, но не иметь производной в этой точке. Примером такой функции может служить f(x)

| x x0 |. В точке x x0 эта функция непрерывна, так как

lim f(x) f(x0 ) 0, производной же в этой точке не существует

x x0

(см. пример 3).

3.1.5. Геометрический смысл производной

Пусть кривая задана уравнением y f(x) (a x b), причем f(x) непрерывна на интервале (a, b).

170

x 0

Возьмем на кривой точку M0 (x0, f(x0 )). Выберем x 0 и построим точку M(x0 x, f(x0 x)). Случай x 0 изображен на

ðèñ. 3.1, à, случай x 0 — íà ðèñ. 3.1, á. Прямая, проходящая через точки Ì0 è Ì, называется секущей. Угол, образованный секущей с положительным направлением оси ÎÕ, обозначим че- рез . Очевидно, что зависит от выбора x, ò. å. ( x). Будем

считать, что . При 0 угол отсчитывается от оси ÎÕ 2 2

против часовой стрелки, а при 0 — по часовой стрелке. Легко видеть, что независимо от знака x

tg	f(x0 x) f(x0 )		y	èëè arctg	y	.
	x		x		x

Åñëè x 0, то точка Ì, двигаясь вдоль кривой, стремится к точке Ì0, при этом секущая Ì0Ì будет поворачиваться вокруг точки Ì0, соответственно будет изменяться и угол ( x).

Если существует		lim , причем отлично от						è		, òî,
									2
		x 0				2
пользуясь непрерывностью тангенса, можем записать
lim	y		lim tg tg lim ( x)			tg .
x 0		x	x 0	x 0
Левая часть последнего равенства есть f (x0 ), т. е. из сущест-
вования предела		lim следует существование производной

f (x0 ) и равенство f (x0 ) tg .

Обратно, предположив существование производной f (x0 ), легко получить существование предельного значения угла ( x) ïðè x 0. В самом деле, используя непрерывность arctgx, имеем

		y			y
lim	lim arctg		arctg lim					arctgf (x0 ).
		x				x
				x 0
x 0	x 0

Определение. Прямая с угловым коэффициентом k tg , проходящая через точку M0 (x0, f(x0 )), называется касательной к графику функции y f(x) в точке M0.

Таким образом, производная функции f(x) в данной точке x0

представляет собой угловой коэффициент касательной к кривой y f(x) в точке (x0, f(x0 )), т. е. является тангенсом угла ме-

жду касательной и положительным направлением оси ОХ.

171