Chuprigin_O_A_-_Matematicheskiy_analiz_predel_nepreryvnost_differentsiruemost_pdf

В соответствии с определением предела мы должны 0 найти N N( ) такое, чтобы n N выполнялось неравенство

2

. Решив это неравенство относительно n, получим n

2

2.

n 2

Следовательно, за N можно взять N

2

2.

Заметим, что указанное значение N будет наименьшим из

возможных.

Пример 3. Доказать, что lim

n sinn !

0, пользуясь опре-

n n2

4n 5

делением предела последовательности.

Возьмем 0. Требуется указать N такое, чтобы n N

n sinn !

выполнялось неравенство

. Поскольку в определе-

n2 4n 5

нии предела достаточно указать хотя бы одно число N, не обязательно наименьшее, то точное решение полученного неравенства не требуется (заметим кстати, что данное неравенство неразрешимо

n sinn !

n

1

1

относительно n). Очевидно, что

.Åñëè

n2 4n 5 n2

n

n

1

n sinn !

для этого нужно взять n

, òî è | x 0

|

. Òà-

n

n2 4n 5

ким образом, 0 N

1

: n N | x

| , что и требовалось

n

доказать. Заметим, что N

1

найдено с «большим запасом».

2.1.3. Практические рекомендации по использованию определения предела

Для того чтобы доказать, исходя из определения предела последовательности, что lim xn à, поступают следующим образом:

1) решают неравенство | xn à относительно n. Если решение этого неравенства имеет вид n f( ), то в качестве N N( ) берут N f( );

2) если же неравенство (2.5) трудно или невозможно решить относительно n, то целесообразно найти другую последовательность (yn), которая, во-первых, начиная с некоторого номера,

82

удовлетворяет условию | xn a | yn и, во-вторых, неравенство yn просто решается относительно n. Здесь мы используем тот факт, что в определении предела последовательности достаточно указать хотя бы одно число N, не обязательно наименьшее, т. е. точное решение неравенства (2.5) не требуется.

2.1.4. Геометрическая интерпретация

Как известно, неравенство | xn a | эквивалентно двум неравенствам à õï à , что в свою очередь равносильно принадлежности точек õï -окрестности точки à (ðèñ. 2.1):

õï (à , à ).

Ðèñ. 2.1

Следовательно, определению предела можно придать следующий вид.

Определение 2. lim xn à, если в любой -окрестности точки à находятся все члены последовательности (xn), начиная с некоторого номера, èëè, что то же самое, вне любой -окрест- ности точки à находится конечное или пустое множество членов последовательности (часто вместо слов «все члены последовательности, начиная с некоторого номера» или «все, за исклю- чением конечного числа» употребляют словосочетание «почти все члены последовательности»).

2.1.5. Расходящиеся последовательности

Сформулируем отрицание определения 1, воспользовавшись правилом де Моргана (см. п. 1.2.2).

Определение 3. Число à не является пределом последовательности (õï) (lim xn a), åñëè

0 : N n N : | x à , или (на языке окрестностей):

lim xn a, если существует -окрестность точки à, вне которой находится бесконечно много членов последовательности.

83

Как указывалось выше (см. п. 2.1.2), последовательность называют расходящейся, если никакое число не является ее пределом, другими словами:

последовательность (xn) является расходящейся, åñëè

a 0 : N n N: | õï a .

Пример 4. Доказать, что lim										3n 1								1	.
						n 4n 2 2
Рассмотрим модуль разности
3n 1			1				n		2							n 2					1
																						.
4n 2 2 4n 2 4n 8 4
Таким образом, получена оценка
		3n 1									1			1
		4n 2									2			4

			1	3n 1			1
äëÿ âñåõ ï. Следовательно, если взять				, òî				n,
			4	4n 2			2
a это и означает, что	1	не может быть пределом последователь-
2
ности.

Пример 5. Доказать расходимость последовательности õï ( 1)ï .

I с п о с о б. Очевидно, что расстояние между двумя соседними точками õï è õï 1 равно | xn 1 xn| | ( 1)n 1 ( 1)n | 2.

Нужно доказать, что никакое число à не является пределом последовательности. Для любого à выберем окрестность единич-

	1		1
ной длины — интервал a		, a			. Если точка 1 попадает в
	2		2

эту окрестность, то точка –1 этой окрестности не принадлежит, так как расстояние между этими точками равно 2, и наоборот. Иначе говоря, при любом à точки 1 и –1 не могут одновременно находиться в указанной окрестности. Таким образом, для любого à существует 0,5 такое, что вне -окрестности точки à находится бесконечное множество членов последовательности — это либо все члены с четными, либо с нечетными номерами. Таким образом, последовательность расходится.

II с п о с о б. Будем вести рассуждение от противного. Предположим, что lim xn a, т. е. 0, в частности и для 0,5

84

N : n N |xn a| |( 1)n a| 0,5. Поскольку õï ( 1)ï принимает попеременно значения –1 и 1, то должно быть

|1 à| 0,5 è |( 1) à| 0,5.

Àтогда 2 1 à à ( 1) 1 à| |( 1) à| 0,5 0,5 1.

Полученное противоречие (2 1) и доказывает утверждение.

2.1.6. О сути определения предела

Понятие предела является важнейшим понятием, требующим усвоения уже на ранней стадии изучения математического анализа. Мы рассмотрели простейший случай предельного перехода — предел последовательности. Но даже в этом случае у на- чинающего существуют, без сомнения, трудности в глубоком овладении и понимании определения предела (см. п. 2.1.2). Возникает ощущение, что « -N» рассуждения, на которых построено определение, слишком сложны, что можно дать иное определение, более простое и понятное. Ведь мы интуитивно понимаем смысл утверждения: õï стремится к à. Наше интуитивное представление заключается в следующем: мы мысленно пробегаем последовательность номеров 1, 2, 3, ..., n, ... и следим за поведением элементов последовательности (õï), оценивая уклонение xn a.

К глубокому сожалению, такой естественный подход не допускает точной математической формулировки. Конечно, можно сказать, что выражение «õï стремится к à» означает, что при «больших n» разность xn a «сколь угодно мала». Но тогда необходи-

мо объяснить смысл терминов — «больших n», «сколь угодно мала». Как это сделать?

Суть приведенного выше (см. п. 2.1.2) определения предела последовательности заключается в обращении порядка рассмотрения: сначала выбирают сколь угодно малую окрестность точки à, а затем, пробегая последовательность номеров 1, 2, ..., n, ..., проверяют, попадают ли элементы õï в указанную окрестность при всех достаточно больших n. Так мы и получаем строгое определение предела последовательности, присваивая выражениям «сколь угодно малая окрестность» и «достаточно больших n» символические имена и N.

85

2.1.7. Ì-лемма

Весьма полезным в дальнейшем окажется следующее утверждение, названное М-леммой*.

Утверждение. Åñëè

0 N N( ) : n N | xn a | M ,

где M не зависит ни от , íè îò ï, òî lim xn à.

Åñëè Ì 0, òî xn à n N è lim xn à (см. пример 1).

Пусть M 0. Взяв любое 0, построим 1		0. Äëÿ 1 ïî
	M

условиям утверждения N : n N xn à M 1 , à ýòî è

есть определение предела (lim xn à).
Таким образом, Ì-лемма позволяет нам при « -N» рассужде-
ниях ограничиться оценками типа | xn a | M ,	не стремясь

обязательно получить оценку | xn a | . Указанное обстоятель-

ство будет постоянно использоваться нами в дальнейшем при решении примеров и изложении теории.

2.2. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Укажем некоторые свойства сходящихся последовательностей, базирующиеся на определении предела.

Теорема 1 (единственность предела).

Сходящаяся последовательность имеет лишь единственный предел.

Предположим от противного, что xn à è xn b, причем

àb. Выберем 0 таким, чтобы -окрестности точек à è b íå ïå-

ресекались, например возьмем 1 (b a) (ðèñ. 2.2). 4

Ðèñ. 2.2

Òàê êàê xn à, то вне -окрестности точки à находится конечное число членов последовательности, следовательно, - окрестность точки b содержит лишь конечное число членов по-

* Ñì.: Богданов Ю. С. Лекции по математическому анализу. Минск, 1974.

86

следовательности. А тогда число b не может быть пределом последовательности (xn). Полученное противоречие и доказываeт

теорему.

Теорема 2 (об ограниченности сходящейся последовательности).

Сходящаяся последовательность ограничена.

Пусть xn à. По определению предела: для 1 N :

n N a 1 xn a 1. В полученном двойном неравенстве

не содержатся члены последовательности с номерами n N, но таких элементов лишь конечное число — x1, x2, ..., xN. Среди них есть наибольший элемент (обозначим его Ì) и наименьший (обозначим его ò). Тогда ï

min(a 1; m) xn max(a 1; M).

Заметим, что ограниченность последовательности является лишь необходимым условием ее сходимости, но не является достаточным, как показывает пример 5 (см. п. 2.1.5).

Теорема 3 (о предельном переходе в неравенствах).

Åñëè xn à, yn b è xn yn n, òî à b (èëè limxn limyn).

Допустим от противного, что à b. Возьмем a b 0. 4

При выбранном имеет место неравенство b a .

По определению предела последовательности при выбранномимеем:

òàê êàê xn à, òî N1 : n N1 a xn a ; òàê êàê yn b, òî N2 : n N2 b yn b .

Следовательно, ï max(N1; N2) одновременно выполняются неравенства yn b a xn. Мы пришли к противоречию, ведь по условию теоремы xn yn n.

Следствие. Åñëè xn à è, начиная с некоторого номера

xn ñ (xn ñ), òî à ñ (à ñ).

Замечание 1. Из строгого неравенства xn yn n не следует, вообще говоря, неравенство limxn limyn, ò. å. åñëè xn yn n, òî

limxn limyn. Например, xn 1, yn 1, íî limxn limyn 0. n n

Точно так же если xn ñ (xn ñ), òî limxn ñ (limxn ñ).

87

Теорема 4*(о сжатой переменной).

Если последовательности (xn) è (yn) сходятся, причем lim xnlim yn à è xn zn yn n, то последовательность (zn) также сходится и lim zn à.

Òàê êàê xn à, yn à, òî

0 N1 : ï N1 à xn à ;

N2 : ï N2 à ón à .

Следовательно, ï N max(N1; N2) будем иметь

à xn zn yn à .

Отсюда, à zn à ï N, что равносильно утвержде-

íèþ lim zn à.
Замечание 2. Теоремы 3 и 4 наглядно могут быть представле-
ны следующими схемами:
xn yn	xn yn	xn zn yn
à b	à b	à

Теорема 5. Если последовательности (xn) è (yn) сходятся, то их сумма (xn yn), разность (xn yn), произведение (xn yn) и частное (xn / yn) (для частного yn 0 ï è lim yn 0) будут также сходиться, причем:

1)lim (õn yn) lim õn lim yn;

2)lim (õn yn) lim õn lim yn;

3)lim (õn yn) (lim õn) (lim yn);

4)lim (õn / yn) (lim õn) / (lim yn).

Докажем утверждения 1) и 3). Пусть xn à, yn b.

Тогда 0 N1, N2 : ï N1 xn à ,

ï N2 ón b . Следовательно, ï N màõ (N1, N2) будем иметь

| (õn yn) – (à — b) | | xn à | | ón b | 2 ,

тем самым, согласно Ì-лемме, первое утверждение доказано. Доказательство утверждения 3) проводится аналогично, если

воспользоваться неравенством

| õn yn àb | | õnyn àyn àyn àb | | õnyn – àyn | | àyn àb || yn | | õn à | | à | | yn – b | Ì | õn – à | | à | | yn – b |

(мы использовали неравенство | yn | Ì, согласно теореме 2).

* Теорему 4 иногда называют принципом двух милиционеров.

88

Следствие. lim(õn ñ) limõn ñ, lim(ñõn) ñlimõn. Замечание 3. Методом математической индукции утвержде-

ния 1) и 3) теоремы 5, доказанные для двух последовательностей, легко переносятся на случай любого фиксированного числа последовательностей.

Замечание 4. Пределы суммы, разности, произведения и ча- стного могут существовать и в случае, когда последовательности (xn) è (yn) расходятся. Например, если xn ( 1)ï, yn ( 1)ï 1, òî

lim(õn yn) 0, lim(õn yn) 1, lim(õn / yn) 1, в то время как (õn) è (yn) пределов не имеют.

Åñëè æå (õn) сходится, а (yn) расходится, то последовательность (õn yn), точно так же (õn yn), будет расходящейся (действительно, если бы zï õn yn сходилась, то, согласно теореме 5, сходилась бы последовательность yn zï õn). В этом случае будет расходиться и произведение (õn yn) при дополнительном ограничении õn 0 ï è limõn 0 (в самом деле, если бы последовательность zn xnyn сходилась, то, согласно теореме 5, сходилась бы последовательность yn zn / xn).

Свойства сходящихся последовательностей, установленные в этом параграфе, имеют не только теоретическое, но и большое практическое значение. Если с помощью определения предела мы могли лишь проверить, будет ли заранее угаданное число пределом данной последовательности, то теперь открывается возможность для нахождения пределов.

Пример 1. Найти lim

2n2 3n 2

.

n n2 4n

Воспользовавшись теоремой 5, получим

3

2

lim

2

3

2

2

2n2 3n 2

n2

n

2

n

lim

lim

n

n2

4n

1

4

4

lim 1

n

n

2 lim

3

lim

2

2

n

n

2.

1 lim

4

n

n

1

Пример 2. Найти lim xn, åñëè õn

.

2

n

k

k

1 n

89

Заметим, прежде всего, что предел каждого слагаемого

lim

1

0

2

n

k

n

1

1

это следует из неравенства 0 <

<

. А тогда по теореме

2

k

n

n

о пределе суммы получаем

n

1

n

1

n

lim

lim

0 0.

n k 1 n2 k k 1n n2 k k 1

Но это совсем не так! Читатель был умышленно введен в заблуждение (Wen Gott betrügt, ist Wohl betrogen). Ведь мы не имели права применять теорему о пределе суммы в данном случае, поскольку эта теорема верна для любого фиксированного числа слагаемых, а у нас число слагаемых неограниченно возрастает.

Для нахождения limõn оценим величину õn снизу и сверху

		n					n	1												n							1						n		1
																																									1.
		n2 n k 1 n2 n k 1 n2 k k 1 n
Из полученных неравенств по теореме 4 следует, что
													n							1
									lim																				1,
																2
								n					k 1								k
																		n
òàê êàê
	lim					n					lim									1											1									1
				n2 n												1						1								lim		1		1
																						n												n
																																										1			1
последнее равенство следует из неравенств 1 <																																			1								< 1 +			.
																																										n			n

2.3. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Определение 1. Последовательность ( ï) называется бесконечно малой, åñëè lim ï 0.

Было бы правильнее назвать такую последовательность бесконечно умаляющейся, так как речь идет здесь о процессе приближения к нулю ï при возрастании ï.

90

Отметим, что любая постоянная последовательность (xn c n) будет бесконечно малой только в одном случае, когда ñ 0.

Раскрыв понятие предела на языке « -N», получим:

последовательность ( ï) является бесконечно малой, åñëè

0 N N( ) : ï N | ï | .

Из определений предела и бесконечно малой последовательности следует утверждение:

limxn a xn a n,

ãäå n — бесконечно малая последовательность.

Замечание. Свойства сходящихся последовательностей (см. п. 2.2) естественным образом переносятся на бесконечно малые последовательности. Например, если ( ï) è ( ï) — бесконечно малые последовательности, а последовательность (xn) ограничена, тоï ï, ï ï, ï ï, ï xn будут бесконечно малыми.

Бесконечно малым последовательностям в некотором смысле противопоставляются бесконечно большие.

Определение 2. Последовательность (xn) называется бесконечно большой, åñëè

Å 0 N N(Å) : ï N | xn | Å.

Ñгеометрической точки зрения это означает, что в любой окрестности точки x 0 находится лишь конечное число членов последовательности, а вне ее — бесконечно много.

Условимся в следующих обозначениях:

à) åñëè (xn) — бесконечно большая, то будем писать

limxn èëè xn ;

á) åñëè (xn) — бесконечно большая и, начиная с некоторого номера, xn 0 (xn 0), то будем писать

limxn ( ) èëè xn ( ). Например, очевидно, что

limï2 ; lim(1 ï) ; lim( 1)ï ï .

Следует подчеркнуть, что бесконечно большая последовательность не является сходящейся, и символическая запись limxn ( или ) означает только, что (xn) бесконечно большая, но вовсе не означает, что она имеет предел. Правда, условились говорить (и это весьма удобно), что бесконечно большая по-

91