Chuprigin_O_A_-_Matematicheskiy_analiz_predel_nepreryvnost_differentsiruemost_pdf

Легко видеть, что при k 2 полиномиальные коэффициенты превращаются в биномиальные, а полиномиальная формула — в биномиальную (1.9).

В 1826 г. Абель нашел замечательное обобщение биномиальной формулы, которое является тождеством относительно трех переменных x, y è z:

n

(x y)n Cnkx(x kz)k 1 (y kz)n k, x 0.

k 0

Проверим, например, формулу Абеля при n 2. Имеем

2

(x y)2 C2kx(x kz)k 1 (y kz)2 k

k 0

C20xx 1y2 C21x(x z)0 (y z) C22x(x 2z)(y 2z)0

y2 2x(y z) x(x 2z) y2 2xy x2.

1.5.3. Упражнения

1. Найдите n из следующих соотношений:

n

n

n

n

n

à)

45;

á)

;

â)

.

2

8

8

10

12

2. Докажите, что

n

n n 1

,

(j 1, 2, ..., n).

1

j

j j

Верно ли это равенство при произвольном n (не обязательно натуральном)?

3. Запишите формулу бинома Ньютона, используя треугольник Паскаля:

1) (x y)5; 2) (1 a)8; 3) (x y)7 .

4. Запишите биномиальную формулу для (a 2b)n.

5. Используя биномиальную формулу, найдите: 1) (1,01)5; 2) (0,98)4; 3) 114.

6. В выражении (1 x) 1000, записанном по возрастающим степеням x, найдите:

1)200-å слагаемое;

2)коэффициент y 375-го слагаемого;

3)коэффициент при x573.

52

					1				16
									, содержащий õ3.
7.	Найдите член разложения		x
					3 x
					15
8.	Найдите коэффициент многочлена (1 x)k ïðè õ3.
						k 3
	n
9.	Докажите, что Cnk 2n.
	k 0
10. Пусть n — четное число. Используя биномиальную фор-
мулу, докажите, что
	n/2	(n 2)/2
	Cn2k Cn2k 1.
	k 0	k 0

m

11. Докажите, что kCmk m 2m 1, åñëè ò 2.

k 1

У к а з а н и е: используйте упражнение 9 и равенство kCmk

mCmk 11.

12.Пусть a 0 è k n. Докажите, что (1 a)n 1 Cnkak.

13.Докажите, что если | nx | 1, то абсолютная погрешность приближенной формулы

(1 x)n 1 nx (n ) меньше, чем (nx)2.

У к а з а н и е: используйте неравенство 1 21 k, åñëè k 1. k !

14.Получите формулу бинома Ньютона из полиномиальной формулы.

15.Проверьте тождество Абеля при n 3.

16.Докажите равенство (1.7) методом математической индукции.

1.6.КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1.6.1. Определение и условие равенства комплексных чисел

Определение. Комплексным числом будем называть пару действительных чисел a, b, взятых в определенном порядке.

Для обозначения комплексных чисел используют запись

(a, b).

53

Если второй элемент пары b 0, то комплексное число (a, 0) отождествляют с действительным числом a, ò. å.

(a, 0) a.

Следовательно, множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных чисел , т. е. .

Условие равенства комплексных чисел. Два комплексных числа (a, b) è (c, d) считаются равными тогда и только

тогда, когда a c, b d, ò. å.
	a c,			b d.		(1.10)
Например, (1, 2)
	sin		, 2 cos		, íî (2, 3)	(3, 2).
		2

1.6.2. Арифметические операции над комплексными числами

Сложение. Под суммой комплексных чисел (a, b) è(c, d) понимают комплексное число (a c, b d), ò. å.

(à ñ, b d).

(1.11)

Умножение. Под произведением комплексных чиñåë (a, b) è (c, d) понимают комплексное число (ac bd, ad bc), ò. å.

(àñ bd, ad bc).

(1.12)

Убедимся в том, что введенные операции не противоречат операциям сложения и умножения действительных чисел. Ина- че говоря, надо показать, что если взять два действительных числа a è c, представить их в виде a (a, 0) è c (c, 0), затем сложить и перемножить согласно правилам (1.11) и (1.12), то мы получим в результате a c è a c соответственно. Действительно,

(a, 0) (c, 0) (a c, 0 0) (a c, 0) a c, (a, 0)(c, 0) (ac – 0, a 0 0c) (ac, 0) ac.

Легко проверить, что сложение и умножение удовлетворяют законам коммутативности ( , ), ассоциативности (( ) ( )), дистрибутивности ( ( ) ).

Операции вычитания и деления комплексных чисел определяются как действия, обратные сложению и умножению.

Вычитание. Под разностью комплексных чисел (a, b) è (c, d) понимают число z (x, y) такое, ÷òî z .

54

Покажем, что разность всегда существует и единственна. В самом деле, по (1.10) и (1.11) имеем следующую цепочку равенств:

(c, d) (x, y) (a, b) (c x, d y) (a, b)
c x a, d y b x a c, y b d.
Таким образом,
(a c, b d).	(1.13)

Деление. Под частным комплексных чисел (a, b) è

(c, d) ( 0) понимают число z (x, y), удовлетворяющее равенству z .

Существование и единственность частного следует из определения и (1.10), (1.12)

(c, d)(x, y) (a, b) (cx dy, cy dx) (a, b)

cx – dy a, dx cy b x						ac bd			,	y =	bc ad		.
					2			2		2		2
						c	d				c	d
Таким образом,
		ac bd		,	bc ad			,				(1.14)
					c2 d2
		c2 d2

где 0, а следовательно, и c2 d2

0.

Проверим формулу (1.14) для действительных чисел a è ñ 0

(a, 0)

ac 0

0

0

a

a

,

, 0

.

c2

(c, 0)

c2 0

c

c

1.6.3. Алгебраическая форма комплексных чисел

Особую роль в множестве комплексных чисел играет число (0, 1).

Определение. i (0, 1). Теорема 1. i2 1.

Действительно, следуя (1.12), имеем

i2 i i (0, 1)(0, 1) (0 1, 0 0) ( 1, 0) 1.
Теорема 2. Любое комплексное число (a, b) может быть пред-
ставлено в виде
(a, b) a bi.	(1.15)

55

Вычислим предварительно произведение любого действительного числа b íà i:

bi (b, 0)(0, 1) (0, b).

Тогда
(a, b) (a, 0) (0, b) (a, 0) (b, 0)(0, 1) a bi.

Представление комплексного числа (a, b) â âèäå a bi называют алгебраической формой комплексного числа. При этом a называют действительной частью числа (обозначение: a Re ); b называют мнимой частью (обозначение: b Im ); i называют

мнимой единицей.

Такие обозначения следуют от французских слов Reel – действительный и Imagine — мнимый. Таким образом,

Re i Im .

Определение. Комплексные числа a bi и a bi называются комплексно-сопряженными.

Легко видеть, что произведение двух комплексно-сопряжен- ных чисел является действительным числом. В самом деле,

(a bi)(a bi) (a, b)(a, b) (a2 b2, ab ab) a2 b2. (1.16)

Удобства использования алгебраической формы комплексных чисел состоят в следующем:

все введенные выше арифметические операции (1.11)—(1.14) легко записать, если представить комплексные числа в алгебраической форме и оперировать с ними в точности так же, как мы привыкли оперировать с буквенными выражениями в алгебре, учитывая при этом равенство i2 1.

Действительно, пусть a bi, a c di. Тогда по формаль-

ным правилам алгебры имеем:

1.

(a bi) (c di) (a c) (b d)i;

(ñì. (1.11))

2.

(a bi) (c di) (a c) (b d)i;

(ñì. (1.13))

3.

(a bi)(c di) ac adi cbi bdi2

(ac bd) (ad bc)i;

(ñì. (1.12))

4.

a bi

(a bi) (c di)

(ac bd) (bc ad)i

c di (c di) (c di)

c2 d2

ac bd

bc ad

i

(ñì. (1.14))

2

2

2

2

c

d

c

d

56

(для нахождения частного единственное, что нужно запомнить — мы предварительно умножили числитель и знаменатель на число, комплексно-сопряженное знаменателю, и воспользовались соотношением (1.16)).

В дальнейшем нам понадобится следующее утверждение для комплексных (комплексно-сопряженных) чисел.

Утверждение. Для любых комплексных чисел и имеют

место следующие равенства:

à) +

;

â)

;

á) ;

ã)

( 0).

Докажем, например, соотношение в). Пусть a bi,

c di. Тогда

(a bi)(c di) (ac bd) (ad bc)i

(ac bd) (ad bc)i (a bi)(c di)

.

Резюме. Подведем итог сказанному в (пп. 1.6.1—1.6.3). Сначала мы определили комплексные числа как пары (a, b)

действительных чисел, затем рассмотрели арифметику комплексных чисел, ввели число i (0, 1), доказали равенство i2 1 и, наконец, получили алгебраическую форму комплексного числа a bi.

Иногда сразу определяют комплексные числа в виде символов a bi, ãäå i2 1. Такое определение имеет существенные недостатки: во-первых, не ясно, что понимать под произведением b i, во-вторых, не ясно, как трактовать знàê « » в записи a bi, âåäü i есть некий таинственный символ 1. Указанные недостатки, конечно, можно устранить. Достоинство же такого подхода к определению комплексных чисел состоит в том, что вводимые арифметические операции над символами a bi кажутся более естественными.

1.6.4. Тригонометрическая форма комплексных чисел

Поскольку комплексное число определяется как пара действительных чисел, то естественной геометрической интерпретацией является изображение комплексного числа z (x, y) точкой плоскости с декартовыми координатами x Rez è y Imz. Такую

57

плоскость называют комплексной плоскостью, ось абсцисс называют действительной осью, а ось ординат — мнимой осью комплексной плоскости. При этом, очевидно, устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством всех комплексных чисел и множеством точек комплексной плоскости.

Комплексное число z (x, y) может также изображаться вектором с проекциями x è y на координатные оси, который, таким образом, равен радиус-вектору точки z (ðèñ. 1.3).

Ðèñ. 1.3

Термины «комплексное число z и точка z», «комплексное число z и вектор z» употребляются как синонимы.

Целесообразность векторной интерпретации заключается в том, что операции сложения (вычитания) комплексных чисел производятся по правилам сложения (вычитания) векторов: при сложении (вычитании) векторов их соответствующие координаты складываются (вычитаются), что соответствует правилам (1.11) и (1.13) (рис. 1.4).

Ðèñ. 1.4

58

Длина вектора z (x, y) называется модулем комплексного числа z и обозначается | z |. Очевидно,

| z | | x iy | x2 y2 èëè | z | zz .

Угол между положительным направлением оси ÎÕ и вектором z называется аргументом z и обозначается Argz.

Положительным направлением изменения Argz является направление против часовой стрелки, отрицательным — по часовой стрелке. Отметим, что аргумент комплексного числа z 0 (äëÿ z 0 понятие аргумента не имеет смысла) определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2 .

Если на значения аргумента числа z наложить, например, условие – (или 0 2 ), то значение аргумента будет определено однозначно; в этом случае называют главным значением аргумента и обозначают символом argz (ðèñ. 1.5). Èòàê,

argz ,

Argz argz 2k (k ).

								Ðèñ. 1.5
			Очевидно, что угол Argz удовлетворяет равенствам cos
			x		, sin		y		.
			x2 y2				x2 y2

59

Для главного значения аргумента справедливы следующие соотношения:

Действительная и мнимая части комплексного числа z (x, y) 0 (или в алгебраической форме — z x iy) выражаются через его модуль |z| и аргумент Argz следующим образом:

x |z| cos(Argz), y |z| sin(Argz).

Отсюда

z x iy |z| [cos(Argz) i sin(Argz)]

èëè

z r(cos i sin ),

(1.18)

ãäå r |z|, à Argz.

Выражение (1.18) называют тригонометрической формой записи комплексного числа z. Мы будем употреблять ее и для z 0, полагая в этом случае r 0, а может быть произвольным. Следовательно, любое комплексное число может быть записано в тригонометрической форме.

1.6.5. Запись операций умножения, деления и возведения в степень в тригонометрической форме

Пусть два комплексных числа z1 è z2 представлены в тригонометрической форме:

z1 r (cos isin ), z2 (cos isin ),

ãäå r и — модули z1 è z2 соответственно, а и — аргументы. По правилу умножения комплексных чисел получим

z1z2 r (cos cos sin sin ) i(cos sin sin cos ) .

Следовательно,
z1z2 r cos( ) i sin( ) .	(1.19)

60

Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются:

| z1z2 | | z1 | | z2 |, Arg(z1z2 ) Arg(z1 ) Arg(z2 ) (1.20) (второе равенство понимается как равенство двух множеств).

Замечание. Формула (1.20) для главных значений аргумента, т. е. arg(z1 z2) argz1 argz2, не обязана выполняться, так как сумма argz1 argz2 может уже не удовлетворять неравенству –$arg(z1 z2) $, хотя каждое слагаемое этому неравенству удовлетворяет.

Åñëè z z1/z2, z2 % 0, ò. å. z1 z z2, то по (1.20) имеем | z1 | | z | | z2 | è Argz1 Argz Argz2. Следовательно, | z | | z1 |/ | z2 |,

Argz Argz1 Argz2.

Иначе говоря, при делении комплексных чисел их модули де-

лятся, а аргументы вычитаются. Èòàê,
	z1		r	&(cos) *) isin() *)'.	(1.21)
	z2	(

Из правила умножения комплексных чисел (1.19) следует: если z r(cos) isin)), где ) — фиксированное значение аргу-

мента z, то для любого n
zn rn(cosn) isinn)).	(1.22)
Отсюда для комплексного числа, модуль которого r 1, ïîëó-
÷àåì формулу Муавра:
(cos) isin))n cosn) isinn).	(1.23)

Отметим, что в явном виде формула (1.23) впервые встречается у Эйлера (1748).

1.6.6. Извлечение корня

Åñëè n — натуральное число, то корнем n-é степени nz из комплексного числа z называют òакое число +, что +n z.

Когда z 0, все значения + nz, очевидно, совпадают и равны нулю. Пусть z % 0. Запишем + и z в тригонометрической форме:

+ | + | (cos) isin)), z | z | (cos* isin*),

где ) и * — фиксированные значения аргументов + и z соответст-

венно. Из условия +n z в силу (1.22) получаем
| + |n (cosn) isinn)) | z | (cos* isin*).	(1.24)

61