Chuprigin_O_A_-_Matematicheskiy_analiz_predel_nepreryvnost_differentsiruemost_pdf

x

	венство, получаем	1	loga (1 E), откуда õ 1 / loga(1 Å). Òà-
		x

ким образом, E 0 1/ loga (1 E) : x | a1/x 1 | E. Следовательно, lim a1/x 1 по определению.

б) Надо показать, что Å 0 (Å) 0 : õ àõ Å. Возьмем Å 0 и найдем те õ, для которых àõ Å. Логариф-

мируя неравенство, получаем õ logaÅ. Следовательно, в качестве можно взять logaÅ. Èòàê,

Å 0 logaÅ : õ àõ Å,
что и требовалось доказать.

2.13. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ

В этом параграфе будут вычислены два предела, которые не-

обходимо запомнить.
Теорема 1 (первый замечательный предел).
lim	sin x	1.	(2.8)
x 0 x

Предварительно установим одно неравенство, имеющее самостоятельный интерес. Рассмотрим круг радиуса R (ðèñ. 2.4). Åñëè ÎÀ R, ÀÎÂ õ, 0 õ /2 ÀÑ ÎÀ, то площадь ÎÀÂ площа-

	ди сектора ÎÀÂ площади ÎÀÑ, ò. å.	1	2	sin x		1	2	1	2	tg x,
			R				R x		R
		2				2		2
	следовательно,
	sin x x tg x (0 õ /2).									(2.9)

Ðèñ. 2.4

Для доказательства (2.8) достаточно показать (см. п. 2.12.1), что

lim	sin x	1 (I) è	lim	sin x	1 (II).
x 0 0 x			x 0 0 x

122

Докажем сначала первое соотношение. Из (2.9) получаем, по-

делив на sin x 0,

1

x

1

, следовательно, 1

sin x

cos x.

sin x

cos x

x

Вычитая из единицы все части полученного неравенства,

имеем

0 1

sin x

1 cos x.

x

Тогда, в силу (2.9), получим

1 cosx 2 sin

2 x

2 sin

x

2

x

x.

2

2

2

Таким образом,

0 1

sin x

x (0 õ 2).

x

Перейдя к пределу в последнем неравенстве, получаем

lim

sin x

1.

x 0 0

x

Докажем теперь соотношение (II). Пусть /2 x 0. Положим t x, тогда 0 t /2 è x 0 0 t 0 0. А тогда

lim	sin x		lim	sin ( t)		lim	sin t	1. Таким образом, равен-
x 0 0 x			t 0 0	t		t 0 0 t
ство (2.8) полностью доказано.
Теорема 2 (второй замечательный предел).
				lim (1 x)1/x e.							(2.10)
				x 0
									1 n
Известно (см. п. 2.6.3), что lim 1											e. Более того, из
							n		n

замечания 1 (см. п. 2.8.1) следует, что для любой последовательности ïk , ïk , также имеет место равенство

	1 nk			(2.11)
lim 1			e.
k	nk
Равенство (2.10) равносильно двум утверждениям:
lim (1 x)1/x e (III) è lim (1 x)1/x e (IV).
x 0 0	x 0 0

123

Докажем сначала равенство (III). Пользуясь определением предела функции «на языке последовательностей», нам нужно показать, что

(õ	) : õ	ï	0, õ	ï	0 lim (1	x	)1/xn	e.
ï					n	n

Можно считать, что все õï 1. Положим [1/õk] ïk, ãäå

[1/õk] — целая часть числа 1/õk. Тогда ïk 1/õk ïk 1 è 1/(ïk 1) õk 1/nk. Поскольку õk 0, òî ïk . Следовательно,

	1 nk
1
	nk 1

В силу (2.11), имеем:

	1 nk
lim 1
k	nk 1

(1 xk)1/xk								1 nk 1
					1
								nk
			1			nk 1
	1
lim			nk 1									e
					1						1
k		1

nk 1

. (2.12)

e,

Следовательно, применив теорему о сжатой переменной к неравенству (2.12), получим

lim (1 x)1/x e.

x 0 0

Пусть теперь õk 0 è õk 0. Положим ók õk, тогда ók 0 è ók 0. Будем без ограничения общности считать ók 1. Тогда

1

1/yk

lim (1 xk)1/xk lim (1 yk) 1/yk

lim

k

k

k

1 yk

1/y

1 yk

1

1

k

y

y

y

yk

k

k

k

lim

lim

1

.

1 yk

k

k

1 yk

Положим теперь z

yk

. Очевидно, z

0, z

0, поэтому,

k

k

k

1 yk

в силу доказанного равенства (III),

124

lim 1 xk 1/xk

1

1

lim 1 zk

zk

k

k

1

lim 1 zk

lim 1 zk e 1 e.

zk

k

k

Отсюда следует равенство (IV).

Следствие. Заменой переменной x

1

получаем

t

1 t

lim

1

e.

t

t

Таким образом, второй замечательный предел записывают в

âèäå

1

x

lim (1 x)1/x e

èëè

.

lim 1

e

x 0

x

x

2.14. КРИТЕРИЙ КОШИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ

Сформулируем теперь общий признак существования предела функции, аналогичный критерию Больцано — Коши существования предела последовательности (см. п. 2.9). Определение предела функции для этой цели не подходит, поскольку в нем уже фигурирует тот предел, о существовании которого идет речь.

Для краткости формулировки основной теоремы предварительно дадим следующее определение.

Определение. Функция f(x) называется удовлетворяющей условию Коши в точке à, åñëè

0 ( ) 0 : x , x : 0 | x a | , 0 | x a | | f(x ) f(x ) | .

Теорема (критерий Коши). Для того чтобы существовал предел (конечный) функции f(x) в точке à, необходимо и достаточ- но, чтобы f(x) удовлетворяла условию Коши в этой точке.

Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть lim f(x) A. Тогда (по опреде-

x a

лению предела функции)

0 ( ) 0 : x , x : 0 | x a | , 0 | x a | | f(x ) A | è | f(x ) A | .

125

x

Но в таком случае

|f(x ) f(x ) | |f(x ) A A f(x ) |

| f(x ) A | | f(x ) A | 2 ,

что и требовалось доказать.

Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть f(x) удовлетворяет условию

Коши в точке à и 0 найдено соответствующее 0. Возьмем любую последовательность (õï), сходящуюся к à,

причем õï à ï. По определению предела последовательностиN : n N | õï à | . Тем более p | xn p a | .

А тогда, в силу выбора (напоминаем, что взято из условия Коши) будет выполняться неравенство | f(xn p ) f(xn) | .

Это означает, что последовательность значений функции (f(xn))

является фундаментальной (см. п. 2.9), следовательно, сходящей-

ся. Пусть lim f(xn) A. Осталось доказать, что этот предел À íå çà-

n

висит от выбора последовательности (õï).

Пусть ( ~ ) — другая последовательность, сходящаяся к . Со- xn à

ответствующая ей последовательность ( ( ~ )), по доказанному, f xn

	~
будет сходиться. Пусть lim f(xn) B. Нужно показать, что À Â.
n
Для этого составим новую последовательность
~	~	~
x1, x1, x2	, x2, ...,	xn, xn, ...,

которая, очевидно, также сходится к à. Поэтому соответствующая последовательность значений функции

f(x1 ),	~	f(x2 ),	~	~
	f(x1 ),		f(x2 ), ..., f(xn),	f(xn), ...,

по доказанному, является сходящейся. Отсюда вытекает, что ее

~
подпоследовательности (f(xn)) è (f(xn)) имеют один и тот же пре-
äåë (ñì. ï. 2.8.1), ò. å. À Â.
Замечание. Аналогично доказывается признак существова-
ния конечного несобственного предела при õ ( , ):
Для того чтобы существовал конечный	lim f(x), необходи-

мо и достаточно, чтобы

0 ( ) 0 : x , x : x , x

| f(x ) f(x ) | .

126

	Пример. Доказать, что lim sin	1	не существует.
		x
	x 0			1
	Достаточно показать, что функция f(x) sin				не удовле-
				x

творяет условию Коши в точке à 0, ò. å.

0 : 0 õ , õ : 0 | õ | , 0 | õ | ,

		íî | f(x ) f(x ) | ! .
Возьмем	1	, à x	1			, x	1	. Для любого 0 за
2			2n				2n
				2

счет выбора ï мы можем удовлетворить неравенства 0 x è 0 x . А тогда

| f(x ) f(x ) |	sin	2n			sin (2n )	1 ,
			2
что и требовалось доказать.

2.15. ЧАСТИЧНЫЕ ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ

Аналогично рассмотренным ранее (см. п. 2.8.3) частичным пределам последовательностей определяются частичные пределы функций.

Определение. Число А называется частичным пределом функции f(x) ïðè õ à, если существует последовательность (õï),

õï " à ï, сходящаяся к а, такая, ÷òî lim f(xn) A.

n

Аналогично определяются бесконечные и односторонние частичные пределы.

Очевидно следующее утверждение: если существует lim f(x) A,

x a

то все частичные пределы f(x) ïðè õ à будут совпадать с À. Îäíà-

ко функция может не иметь предела в точке à (конечного или бесконечного), но иметь частичные пределы.

Наименьший и наибольший частичные пределы функции f(x) ïðè õ à называют соответственно нижним è верхним пре-

делом функции при õ à и обозначают limf(x) è lim f(x).

x a x a

Пример. Найти верхний и нижний пределы функции

f(x) sin ïðè õ 0. x

127

Функция f(x) не имеет предела в точке õ 0. Поскольку

x " 0 sin 1, то верхний предел функции 1. Возьмем по-

x

следовательность xn

2

, очевидно, xn

0. Тогда lim f(xn)

4n 1

n

1. Следовательно, lim f(x) 1. Àíà-

lim sin

2n

lim 1

n

2

n

x a

логично доказывается, что lim f(x) 1.

x a

2.16. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий математического анализа, тесно связанным с понятием предела функции.

2.16.1. Понятие непрерывности функции в точке

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена в некоторой окрестности этой точки и

lim f(x) f(x0 ).

x x0

Поскольку в определении фигурирует f(x0 ), то можно говорить о непрерывности функции лишь в отношении тех точек, где функция определена. Когда же речь шла о пределе функции в точке x0, то этого не требовалось, ибо существование и величина предела не зависят от значения функции в предельной точке.

Как следует из определения, для вычисления предела непрерывной функции в точке x0 достаточно вычислить значение функции в этой точке.

Дадим еще несколько определений непрерывности функции, эквивалентных приведенному выше. Для краткости формулировок везде будем предполагать, что f(x) определена в некоторой

окрестности точки x0.

Используя очевидное равенство lim x x0, получаем новое
определение.	x x0

Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точ- ке x0, åñëè

lim f(x) f( lim x)

x x0 x x0

128

x x0

x 0

(т. е. можно переходить к пределу под знаком непрерывной функции).

Если раскрыть понятие предела функции на языке « - » и на языке последовательностей (см. п. 2.10.2), то получим два новых определения непрерывности.

Определение 3. Функция f(x) называется непрерывной в точ- ке x0, åñëè

0 ( ) 0 : õ : | õ õ0 | | f(x) f(x0 ) | .

Определение 4. Функция f(x) называется непрерывной в точ- ке x0, åñëè

(õï) : õï õ0 f(xn) f(x0 ).

Заметим, что в определениях 3 и 4, в отличие от определений предела функции по Коши и по Гейне, излишне требовать выполнение неравенств 0 | õ õ0 | è õï õ0 ï.

Наконец, дадим еще одно определение непрерывности функции на языке приращений. Величину õ õ0 назовем приращением аргумента õ и обозначим õ, тогда x x0 x. Соответствен-

но разность f(x) f(x0 ) f(x0 x) f(x0 ) называют приращением функции в точке x0 и обозначают f(x0). Тогда условие lim f(x) f(x0 ) равносильно lim f(x0 ) 0.

Таким образом, определение 1 можно перефразировать следующим образом.

Определение 5. Функция f(x) называется непрерывной в точ- ке x0, åñëè

lim f(x0 ) 0.

x 0

2.16.2. Геометрическая интерпретация

Дадим геометрическую иллюстрацию понятия непрерывности функции, основываясь на определении 3. Рассмотрим график функции y f(x) (ðèñ. 2.5).

Выбираем любое 0 и проведем две горизонтальные прямые y f(x0 ) è y f(x0 ) , получим полосу шириной 2 . Исследуем теперь, найдется ли интервал (x0 , x0 ) îñè ÎÕ, èìåþ-

щей ширину 2 , чтобы соответствующая этому интервалу часть графика функции лежала целиком в вышеупомянутой полосе. Если функция непрерывна в точке x0, то такой интервал всегда

129

можно отыскать. Обратно, если такой интервал можно отыскать

0, то функция непрерывна в точке x0.

Ðèñ. 2.5

2.16.3. Односторонняя непрерывность и непрерывность на промежутке

Пусть функция f(x) определена в правой (левой) полуокрестности точки x0, т. е. на некотором полуинтервале [x0, x0 h) (соответственно (x0 h, x0]).

Определение 6. Функция f(x) называется непрерывной в точ-

ке x справа (слева), åñëè	lim	f(x) f(x		lim
			)		f(x) f(x ) .
0	x x 0	0	x x 0		0
	0			0

Из связи между пределом функции и односторонними пределами (см. п. 2.12.1) вытекает следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы функция была непрерывной в точ- ке x0, необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывной в

этой точке справа и слева.

Таким образом, если функция непрерывна в точке x0, то имеют место равенства f(x0 0) f(x0 0) f(x0 ).

Определение 7. Функция f(x) называется непрерывной на некотором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

В частности, функция называется непрерывной на интервале (à, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала;

130

та же точка x 0 является точкой разрыва функции f(x)

не определена при x 0, следо-

Например, функция f(x)

функция называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на интервале (à, b) и, кроме того, непрерывна в точке à справа, а в точке b слева.

2.17. КЛАССИФИКАЦИЯ РАЗРЫВОВ

Как известно, функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена в некоторой окрестности этой точки, в

том числе и в самой точке x0, è lim f(x) f(x0 ). Последнее равен-

x x0

ство равносильно тому, что существуют оба односторонние пределы f(x0 0) è f(x0 0) такие, что f(x0 0) f(x0 0) f(x0 ).

Определение. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может, самой точки x0.

Тогда x0 называется точкой разрыва функции f(x) в следующих

случаях:

1) åñëè f(x) определена в точке x0, но не является в ней не-

прерывной;

2) åñëè f(x) не определена в самой точке x0. 1

x

вательно, точка x 0 является точкой разрыва данной функции;

1 ïðè x

x 0 è f(0) 0, так как в этом случае, хотя функция и определе-

íà ïðè x 0, но она не непрерывна в точке x 0.

Если в точке разрыва x0 существуют конечные пределы f(x0 0) è f(x0 0), íî f(x0 0) f(x0 0), то эту точку называют

точкой разрыва первого рода, а величину f(x0 0) f(x0 0) —

скачком функции в точке x0.

Точка x0 называется точкой устранимого разрыва, åñëè ñó-

ществует lim f(x), но либо этот предел не равен f(x0 ), ëèáî ïðè

x x0

x x0 функция f(x) не определена. Очевидно, что в этом случае, изменив (или доопределив) функцию в точке x0, положив

f(x0 ) lim f(x), мы получаем функцию, непрерывную в точке x0,

x x0

иначе говоря, мы устраним разрыв.

Если у функции f(x) не существует правостороннего или левостороннего предела в точке x0, или не существует как право-

131