Chuprigin_O_A_-_Matematicheskiy_analiz_predel_nepreryvnost_differentsiruemost_pdf

Понятно, как обобщить формулу в случае, когда цепочка состоит не из трех, а из большего числа звеньев.

Замечание 3. Формула (3.6) может повлечь вопрос у начи- нающего: как понимать множитель f ( (t0 ))? Опасность состоит в том, что этот множитель содержит два действия: подстановку(t0 ) вместо аргумента и операцию дифференцирования, символизируемую значком штриха. В какой последовательности надо производить указанные действия? Надо твердо усвоить, что первой производится операция дифференцирования, причем дифференцирование ведется по ненаписанному аргументу x, а уже потом, когда дифференцирование произведено, подставляют (t0 ) вместо аргумента x. Результат вычислений зависит от порядка этих действий!

Если сперва делается подстановка, а затем дифференцирование, то такую операцию мы бы записали в виде [f( (t))] , в нашем же случае пишем f ( (t)). Чтобы не было путаницы в порядке действий, формулу (3.6) часто записывают в следующем виде:

	(t0 ).
F (t0 ) f (x)
x (t0)

Замечание 4. Доказательство теоремы обычно проводится с использованием определения и свойств дифференцируемых функций, которые будут рассмотрены в следующем параграфе. Большим искушением к короткому доказательству является переход к

пределу при t 0 в следующем соотношении: y y x, ãäå

t x t

t 0 — произвольное приращение аргумента t, x — соответствующее приращение функции x (t), à y — соответствующее приращение сложной функции y f( (t)). В результате, поскольку существуют производные функций y f(x) è x (t) в соответст-

вующих точках, получим lim	y	y	x . Осталось только засви-
t 0 t		x	t

детельствовать, что левая часть последнего равенства есть F (t0 ). Именно такое короткое доказательство теоремы находим в

конспекте лекций Коши*. В чем состоит существенный недостаток приведенного доказательства? Дело в том, что положенное в

основу доказательства соотношение y y x имеет смысл

t x t

* Ñì.: Êîøè Î. Ë. Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении. СПб., 1831.

192

только тогда, когда x 0. Íî x (t0 t) (t0 ) может обращаться в нуль, даже если t 0! Поэтому доказательство Коши

требует дополнительных рассуждений в этом случае.

Физическое обоснование формулы (3.6). Из физического смысла производной (см. п. 3.1.6) следует, что xt (t0 ) есть скорость изменения переменной x по отношению к изменению переменной t, а производная yx f ( (t0 )) f (x0 ) — скорость из-

менения переменной y по отношению к изменению переменной x. Тогда yt F (t0 ) — скорость изменения переменной y ïî îòíî-

шению к изменению переменной t — равна произведению ско-

ростей f (x0 ) è (t0 ), ò. å. F (t0 ) f ( (t0 )) (t0 ). Например, если x движется быстрее t â n ðàç, à y движется быстрее x â m ðàç, òî

y движется быстрее t â m n ðàç.

Замечание 5. В формулировке теоремы требовалось существование производных f (x0 ) è (t0 ). Если по крайней мере одна из этих производных не существует, то теоремой пользоваться нельзя. Однако отсюда совсем еще не следует, что сложная функция f( (t)) не имеет производной в точке t0.

Например, пусть f(x) | x |, ãäå x t2, t0 0 èëè f(x) x2, ãäå x | t |, t0 0. В первом случае не существует производная функции f(x) в точке x0 (t0 ) 0, во втором — не существует произ-

водная функции x | t | в точке t0 0. Но в обоих случаях сложная функция f( (t)) t2 имеет производную при всех t.

Следствие. Из таблицы производных простейших элементарных функций (см. п. 3.1.8) и правила дифференцирования сложной функции вытекает следующая таблица более общих формул дифференцирования (табл. 3.2).

¹

ï/ï

1

2

3

4

5

Таблица 3.2

	Функция f(u),	Производная fx
	ãäå u u(x)
	up	pup 1 u
	au	au ln a u
	eu		eu u
	loga u	1				u
			uln a
	lnu	1			u
				u

193

Окончание табл. 3.2

¹

ï/ï

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

Функция f(u),

Производная fx

ãäå u u(x)

ln | u |

1

u

u

sin u

cosu u

cosu

sin u u

tgu

u

cos2 u

ctgu

u

sin2 u

arcsinu

u

1 u2

u

arccosu

1 u2

arctgu

u

1 u2

arcctgu

u

1 u2

shu

chu u

chu

shu u

th u

u

ch2u

cth u

u

sh2u

Эти формулы обычно и используют при практическом нахождении производных.

Приведенная выше таблица производных совместно с правилами дифференцирования (см. п. 3.1.9) cоставляют, как пишет Н. Н. Лузин, «канон дифференциального исчисления. После того, как этот канон получен, дифференцирование функций не требует перехода к пределу, не требует никакой изобретательности, а является, по сути, механическим процессом, подчи- ненным строго определенному алгоритму»* (о некоторых слож-

* Лузин Н. Н. Дифференциальное исчисление. М., 1960.

194

ностях и особенностях этого процесса будет сказано далее в п. 3.1.13). Изобретению указанного канона математический анализ обязан Лейбницу (1684). Каких усилий это ему стоило, видно, например, из того, что формула дифференцирования произведения двух функций (uv) u v uv потребовала от Лейбница, по его собственному признанию, шесть недель прилежных поисков и размышлений, тогда как современному студенту для полного доказательства этой формулы достаточно нескольких минут. Пожалуй прав был Гегель, когда заметил: «то, чем в прежние эпохи занимались зрелые умы ученых мужей, в более поздние времена стало доступно пониманию мальчишек».

Рассмотрим теперь несколько примеров вычисления производных сложных функций.

Пример 11. Найти производную функции y (x2 3x 2)6.

Положим u x2 3x 2. Тогда, очевидно, можно записать y u6, ãäå u x2 3x 2. Откуда

y (u6 ) 6u u 6u (2x 3),

или окончательно

y 6(x2 3x 2) (2x 3).

Значительно более громоздко находится производная посредством предварительного преобразования функции — возведения

в шестую степень.

Пример 12. Найти y , åñëè y sin

x2 1.

x

I с п о с о б. Введя обозначение u

x2 1, имеем

y (sin u) cosu u .

Для нахождения u примем t x2 1, тогда

1

1

1

1

1

x

u ( t) (t2 )

t

2 t

t

2 2x

.

2

2

2

1

x

x

Окончательно получаем y cos

x2

1

.

x2 1

II с п о с о б. Выше мы нашли производную в два этапа, кото-

рые можно объединить,

если ввести

обозначения x2 1 t,

u t, y sin u.

195

Применяя трехзвенное правило цепочки (3.7) для производной сложной функции, получим

y

y u t

(sin u)

(

t) (x2

1)

x

u

t x

u

t

x

1

1

x

x2

cosu

t 2

2x cos

1

.

2

2

1

x

Замечание 6. Такую подробную запись при нахождении производных употребляют только на начальной стадии овладения техникой дифференцирования, а в дальнейшем обычно вводят вспомогательные функции u, t и т. д. мысленно. Как эмоционально заметил академик Н. Н. Лузин, «читатель должен пользоваться лишь короткое время своим правом вводить буквы u, t, ...

и должен в дальнейшем поскорее освободиться от этой ненужной привычки, пока еще она не слишком сильно в нем укоренилась. Привычка вводить буквы u, t, … чрезвычайно затягивает выкладки и заставляет терять из виду самый ход вычислений; но, самое главное, она вредна для ума, ослабляя воображение»*. Достаточная практика и приобретенные навыки дифференцирования (что весьма важно!) позволяют не записывать подробные промежуточные выкладки, а сразу писать ответ.

Например,

2	2			1
(2tg (x	x 1) ) 2tg (x	x 1) ln 2				(2x 1).
			cos2	(x2
					x 1)

3.1.12. Приложения теоремы о производной сложной функции

Сейчас мы рассмотрим некоторые приложения теоремы о производной сложной функции.

3.1.12.1. Производная степенно-показательной функции и логарифмическая производная

Пусть требуется найти производную степенно-показательной функции y u(x)v(x), ãäå u(x) è v(x) имеют производные и u(x) 0.

Непосредственно применить в данном случае таблицу производных не предоставляется возможным, поскольку функция одновременно является и степенной и показательной. Представим

* Лузин Н. Н. Дифференциальное исчисление. М., 1960.

196

степенно-показательное выражение в виде y uv evlnu . Откуда находим, используя теорему о производной сложной функции,

v		vlnu	v	v
y (u	) e		(vln u) u v ln u		u .
				u

К тому же результату можно прийти другим путем. Предварительно логарифмируем исходное выражение y uv, а затем дифференцируем полученное соотношение ln y v ln u. Â ðå-

зультате имеем
	y	v ln u v	u			.
	y			u
Умножив обе части полученного равенства на y uv, оконча-
тельно получаем
		v			u			(3.8)
y		u v ln u v					.
					u

Помнить выражение (3.8) производной степенно-показатель- ной функции нет необходимости, ибо всегда можно повторить приведенные выкладки.

Замечание 1. Перепишем формулу (3.8) в виде суммы двух

слагаемых
(uv) uv ln u v vuv 1 u .	(3.9)

Очевидно, что первое слагаемое есть производная показательной функции uv(x) (основание u рассматривается как постоянная), а второе слагаемое равно производной степенной функции (u(x))v (показатель v рассматривается как постоянная). Таким

образом, при дифференцировании степенно-показательных выражений руководствуются следующим мнемоническим правилом: сначала дифференцируют uv как показательную функцию, а затем как степенную, полученные результаты складывают.

Пример 13. Найти f (x) è g (x) åñëè: à) f(x) xx; á) g(x) xxx .

а) По формуле (3.9) имеем

f (x) xx ln x x xx 1 xx (ln x 1); á) òàê êàê g(x) xf(x), òî

g (x) xf(x) ln x f (x) f(x) xf(x) 1.

197

f(x)

Осталось вместо f(x) è f (x) подставить их значения xx			è
xx (ln x 1) соответственно.
Правую часть соотношения
[ln f(x)]	f (x)	,
	f(x)

ãäå f(x) — дифференцируемая функция и f(x) 0, называют логарифмической производной функции f(x).

Очевидно, что логарифмическая производная определена для любой дифференцируемой функции f(x), åñëè f(x) 0, òàê êàê (ln | f(x) | ) f (x) .

Замечание 2. Производная функции y logu v, при понятных ограничениях на функции u(x) è v(x), находится после преобра-

зования logu v ln v . ln u

Практический совет. В некоторых случаях удобнее сначала найти логарифмическую производную функции f(x), а затем уже и саму производную f (x). Вообще, логарифмическую производную выгодно применять при нахождении производных функций, которые имеют вид, удобный для логарифмирования.

Пример 14. Найти производную функции

(x2 1)3

y(x2 2)4 (x2 x 1)2 (2x2 x 2)5 .

Сначала найдем логарифмическую производную. Так как ln | y | 3ln (x2 1) 4ln (x2 2) 2ln | x2 x 1|

5ln (2x2 x 2),

òî

y

3

2x

4

2x

2

2x 1

5

4x 1

,

y

x2 1

x2 2

x2 x 1

2x2 x 2

следовательно,

y

(x2 1)3

2

4

2

x

2 2

x 2)

5

(x

2)

(x

1) (2x

6x

8x

4x 2

5(4x 1)

.

x2 1 x2 2 x2

x 1 2x2

x 2

198

Заметим, что непосредственное дифференцирование дроби требует более трудоемких вычислений.

3.1.12.2. Еще раз о производной обратной функции

Покажем, как совсем просто получить формулу для производной обратной функции (см. п. 3.1.10), используя правило дифференцирования сложной функции.

Действительно, пусть y f(x) è x f 1 (y) суть взаимно обрат-

ные функции, причем существует отличная от нуля производная f (x). Дифференцируем очевидное тождество

f 1 (f(x)) x

и получаем

f 1 (f(x)) f (x) 1.

Следовательно,

f 1 (y)	1	.

f (x)

Приведенное рассуждение выглядит очень простым и кратким. Однако это доказательство имеет существенный недостаток: мы не убедились предварительно в существовании производной обратной функции, без чего не имеем права применять теорему о производной сложной функции!

В частности, только убедившись предварительно в существовании производных обратных тригонометрических функций, мы можем легко найти эти производные, используя формулу для производной сложной функции. Например, если

y arctg x, òî tg y x.

Дифференцируя последнее соотношение по переменной x, получим

y		1, следовательно, y cos2 y			1						1	.
2			1		tg	2			1		2
cos	y						y				x

3.1.12.3. Производная функций, заданных параметрически

Зависимость переменной y от переменной x не всегда дается формулой, связывающей непосредственно эти переменные или, говорят, в явном виде y f(x). Связь между указанными пере-

199

менными может задаваться посредством некоторой третьей переменной t, называемой параметром:

x (t),	(3.10)
y (t) (a t b).

Если функция x (t) имеет обратную t 1 (x), то из системы (3.10) мы получим

y ( 1 (x)) f(x).

Таким образом, переменная y является сложной функцией аргумента x. Задание функции y f(x) посредством уравнений

(3.10) называют параметрическим. Параметрическое задание функции часто используют в механике, где координаты движущейся на плоскости точки M(x, y) рассматриваются как некоторые функции времени t. В каждом промежутке времени, в котором функция (t) строго монотонна (следовательно, имеет обратную), определяется функция y f(x), графиком которой будет траектория движущейся точки.

Например, пусть

x acost, y asin t (0 t ).

Так как функция x a cos t строго убывает на отрезке [0, ], то определив из первого уравнения t и подставив во второе, полу- чим искомую функцию y f(x). Однако проще исключить t и получить явную зависимость y îò x, если заметить, что

x2 y2 a2 (cos2 t sin2 t) a2,

откуда

y a2 x2

(мы выбрали положительный знак у корня, так как функция y asin t 0 ïðè 0 t ).

Åñëè t 2 , то получим y a2 x2 .

Таким образом, когда t [0, 2 ], то система x acost, y asin t определяет две функции переменной x, графики которых образуют окружность.

Если в параметрическом задании функции (3.10) уравнение x (t) легко решается относительно t, т. е. можно найти обрат-

200

ную функцию t 1 (x), то, как указывалось выше, параметриче- ское задание функции сводится к явному заданию y y( 1 (x))

f(x). Получив явное задание функции y f(x), можно вычислить производную f (x).

Наша задача состоит в том, чтобы найти выражение для производной функции y f(x), заданной параметрически посредством системы (3.10), не разрешая первое уравнение системы относительно t, т. е. выражение для производной должно содержать только заданные нам функции (t) è (t).

Если функции (t) è (t) имеют производные (t) 0 è (t) на некотором промежутке (заметим, что, как будет показано в дальнейшем, существование производной (t) определенного знака является достаточным условием существования обратной функции t 1 (x)), то, применив к соотношению

y ( 1 (x)) f(x)

правила дифференцирования сложной и обратной функций, находим

y	y t	y	1	, ò. å. y					(t)	, или короче
x	t x	t	x			x			(t)
			t
				y		yt		.			(3.11)
				x		xt

Заметим, что правая часть (3.11) зависит от t, т. е. для производной f (x) мы получаем параметрическое представление

Обычно в учебной литературе формулу для производной функции, заданной параметрически, записывают кратко в виде (3.11), имея в виду следующее обстоятельство: если функции x (t) è y (t) параметрически задают в окрестности точки x0 (t0 ) функцию y f(x), то производная этой функции в точке x0 может быть найдена по формуле

yx (x0 ) f (x0 ) yt(t0 ) . xt(t0 )

201