Chuprigin_O_A_-_Matematicheskiy_analiz_predel_nepreryvnost_differentsiruemost_pdf

Ðèñ. 3.1

Предыдущие рассуждения позволяют сформулировать следующее утверждение о связи между существованием касательной к кривой y f(x) и существованием производной.

Утверждение. Кривая y f(x) имеет касательную в точке M0 (x0, f(x0 )) тогда и только тогда, когда функция f(x) имеет производную в точке x0.

Уравнение касательной к кривой y f(x) в точке (x0, f(x0 )) имеет вид

y f(x0 ) f (x0 )(x x0 ).

Прямая, проходящая через точку касания (x0, f(x0 )) перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой в этой

172

точке. Уравнение нормали к кривой y f(x) в точке (x0, f(x0 )) следующее:

	y f(x0 )	1	(x x0 ).
		f (x0 )

Если функция f(x) имеет в точке x0 левую и правую производные, причем f (x0 ) f (x0 ), то в этом случае производная f (x0 ) не существует, следовательно, в точке Ì0(x0, f(x0 )) отсутствует

касательная к кривой y f(x). Но тогда можно говорить о левой и правой касательных в точке Ì0 с разными угловыми коэффициентами:

tg

lim

y

f (x ), tg

=

lim

y

f (x ).

1

x 0 0

x

0

2

x 0 0

x

0

В этом случае точку Ì0 называют угловой точкой кривой (рис. 3.2).

Ðèñ. 3.2

Случай бесконечной производной. В предыдущих рассуждениях мы считали, что угол ( x), образованный секущей к графику функции y f(x) с положительным направлением оси

ÎÕ, имеет предел lim , причем этот предел отличен от и

x 0

2

. Если же производная f (x0 ) бесконечна, т. е. 2

f (x )	lim	y	,
0	x 0
		x

173

то может быть равным или , следовательно, касательная

22

êграфику функции в точке M0 (x0, f(x0 )) будет параллельна оси ординат. Геометрическая иллюстрация возможных случаев приведена на рис. 3.3.

Замечание 1. Иногда касательную к кривой y f(x) в точке Ì0

определяют следующим образом: строим секущую Ì0Ì, затем устремляем вдоль кривой точку Ì к точке Ì0; при этом секущая поворачивается, стремясь занять некоторое предельное положение Ì0Ò, которое и есть касательная к кривой в точке Ì0 (ðèñ. 3.4).

При всей бесспорной простоте и наглядности приведенное определение (назовем его механическо-геометрическим) использует понятие «предельное положение секущей», которое при строгом подходе само нуждается в дополнительном определении.

Ðèñ. 3.3

174

Ðèñ. 3.4

Существует другое (назовем его аналитическим, поскольку здесь не используется геометрическая интерпретация) определение касательной, равносильное приведенному выше:

прямая y f(x0 ) k(x x0 ) называется касательной к графику функции y f(x) в точке M0 (x0, f(x0 )), åñëè

| f(x) f(x0 ) k(x x0 ) | o(x x0 ) ïðè x x0.

Замечание 2. Касательная всегда имеет с кривой общую точ- ку, точку касания. В элементарной геометрии касательную к окружности определяют как прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку. Очевидно, что в случае произвольной кривой такое определение касательной не годится. В окрестности точки касания касательная может многократно пересекать кривую. Более того, касательная может иметь бесконечное множество точек пересечения с кривой в любой окрестности точки касания. Например, функция

		2		1
	x sin					, åñëè x 0,
	y			x
	0, åñëè x 0,
имеет производную в точке x0 0. В самом деле,
					x2 sin		1	0
	f(x) f(0)									1
y (0) lim		lim					x		lim x sin		0.
x 0 x 0		x 0				x			x 0	x

175

Ðèñ. 3.5

Следовательно, в точке (0, 0) график рассматриваемой функции (рис. 3.5) имеет касательную y f(x0 ) f (x0 )(x x0 ), ò. å. y 0. Очевидно, что в любой окрестности точки касания (0, 0) имеется бесконечное множество точек пересечения кривой с ка-

сательной y 0 (абсциссы точек пересечения xn 1 , n ). n

С другой стороны одна и та же прямая может иметь бесконеч- ное множество точек касания с кривой. Например, в любой окрестности точки (0, 1) или (0, 1) прямая y 1, соответственно y 1, имеет бесконечное множество точек касания с кривой

y sin 1 . x

Замечание 3. Задача о построении касательной к кривой сыграла решающую роль в развитии математического анализа. Именно эта задача привела Лейбница к открытию дифференциального исчисления. Свое открытие он обнародовал в форме краткой записки, появившейся на страницах научного журнала в 1684 г. Известно, однако, что еще раньше (1670) существовала рукопись Ньютона о флюксиях и что слухи о ней дошли в то время и до Лейбница. Но впервые учение о дифференциальном ис- числении было обнародовано Ньютоном в 1687 г. в сочинении «Philosophiae Naturalis Principia Mathematica», которое, по словам Лапласа, «навсегда останется самым превосходным из всех

176

t 0

t 0

t 0

t 0

творений человеческого ума». Принятая нынче система обозна- чений была введена Лейбницем. Она оказалась более удобной, чем система обозначений, употреблявшаяся Ньютоном.

3.1.6. Физический смысл производной

Абстрактная математическая форма понятия производной обеспечивает ей широкое поле приложений. В зависимости от того, какой физический смысл придается функции f(x), получа- ет соответствующий физический смысл производная f (x).

Рассмотрим три характерных примера, предполагая, что указанные ниже функции имеют производные.

1. Пусть материальная точка движется по прямой, которую примем за координатную ось, причем в любой момент времени t координата точки есть f(t). Путь, пройденный материальной точ- кой за промежуток времени [t, t t], равен f(t) f(t t) f(t).

Средняя скорость за этот промежуток времени v f . Мгновен-

t

ную скорость в момент времени t естественно определить как предел

v lim v lim f f (t).

t

Åñëè f(t) — линейная функция f(t) at b, òî f(t) f(t t)

f(t) a(t t) b at b a t, следовательно, v f(t) a.

t

А тогда v lim v a, т. е. в этом случае движение равномерное

со скоростью à.

2. Пусть Q f(t) есть количество электричества, проходящее через сечение провода за время t. Тогда

Q f(t t) f(t)

t t

есть средняя сила тока за промежуток времени [t, t t], а предел

I Q (t) lim Q

t

есть сила тока в момент времени t.

3. Пусть функция y f(x) отражает зависимость между каки-

ми угодно физическими величинами. Тогда отношение y

x

177

f(x0 x) f(x0 ) есть средняя скорость изменения y относи-

x

тельно изменения x, à y есть скорость изменения y при заданном значении x x0. Например, если функция V (t) выражает зависимость скорости некоторого движения от времени, то производная (t) будет уже скоростью изменения скорости или ускорением этого движения в момент времени t.

Замечание. Известный физик У. Томсон (он же лорд Кельвин) однажды заметил: «производная — это скорость». Приведенное высказывание рассматривалось им как простое и понятное определение производной, не нуждающееся в дополнительных обоснованиях. Поэтому высказывание Томсона любят цитировать сторонники нестрогого изложения математического анализа. Существенным в определении Томсона является то обстоятельство, что предполагается известным понятие скорости. Очевидно, легко определить это понятие в случае равномерного движения, что, как показано выше, соответствует простейшему случаю линейной зависимости между величинами. А каково определение скорости в данный момент времени для неравномерного движения? Таким образом, назвав производную скоростью, мы, по сути, одно неизвестное понятие пытаемся определить через другое неизвестное понятие. На самом деле, такое понятие как скорость является абстрактным математическим понятием физического происхождения. Именно на математическом языке это понятие и приобретает достаточную определенность и ясность.

После строгого определения производной мы вправе определить понятие скорости, сказав: «скорость — это производная». А противоположное по смыслу высказывание лорда Кельвина утверждает только, что думать о производной как о скорости бывает весьма полезным делом, ибо это помогает интуитивному восприятию абстрактных математических понятий. Следуя Томсону, можно, оче- видно, интерпретировать понятие производной, связывая ее не только со скоростью, но и с силой тока, плотностью распределения массы и т. д.

3.1.7. О функциях, не имеющих производной

В п. 3.1.2 был рассмотрен пример функции y | x x0 |, которая не имеет производной в точке x x0. В отсутствие производной при x x0 легко убедиться, если использовать график функции (рис. 3.6) и геометрический смысл производной.

178

Ðèñ. 3.6

Очевидно, что в точке (x0, 0) график функции y | x x0 | не имеет касательной, следовательно, не существует производной функции в точке x0. Из геометрических соображений легко заметить, что хотя касательная к кривой y | x x0 | в точке (x0, 0) отсутствует, но здесь существуют левосторонняя и правосторонняя касательные, совпадающие, очевидно, с графиком функции. Следовательно, существуют левосторонняя и правосторонняя

производные f 1(x0 ) è f 1(x0 ).

Другой характерный случай отсутствия касательной к кривой y f(x) (а следовательно, и отсутствия производной функции) связан с тем, что в некоторой точке кривой не только касательная, но и односторонние касательные не существуют. Проиллюстрируем указанный случай следующим примером. Пусть

Рассмотрим разностное отношение

2y

в точке x0 0. Имеем

2x

2x sin

1

0

2y y(0 2x) y(0)

2x

1

sin

.

2x

2x

2x

2x

Очевидно, что односторонние пределы в точке x 0

lim sin

1

x

0

2x.0 0

2

è lim sin

1

не существуют, т. е. не существуют односторонние

2

x

2x.0 0

производные, а следовательно, и односторонние касательные. Последнее утверждение легко заметить, воспользовавшись

графиком функции (рис. 3.7).

179

Ðèñ. 3.7

Если, например, x 0 0, то точка M( x, y( x)) стремится вдоль кривой к началу координат, при этом секущая ÎÌ колеблется между прямыми y x è y x и не стремится занять какое-то предельное положение.

Основываясь на рассмотренных примерах, исходя из геометрических соображений, легко построить примеры функций, не имеющих производной в нескольких точках. Графики таких функций испытывают излом в соответствующих точках, иногда говорят «поворот за угол» или «броуновское движение». Например, функция, изображенная на рис. 3.8, не имеет производной в

пяти точках: x1, x2, x3, x4, x5.

Естественно, количество таких точек может быть увеличено за счет введения точек, где функция терпит разрыв и, следовательно, не имеет производной. Известная функция Дирихле

1, åñëè õ — рациональное число, f(x)

0, åñëè õ — иррациональное число,

не имеет производной ни в одной точке, поскольку она всюду разрывна.

Возникает вопрос: существуют ли непрерывные функции y f(x), не имеющие производной при всех значениях аргумен-

òà x? График такой функции, если она существует, должен иметь излом или «поворот за угол» в каждой точке. Интуитивное представление подобной ситуации подсказывает, что вряд ли такое возможно. Недаром в свое время говорили: «Нет движения без скорости, кривой без касательной, функции без про-

180

Ðèñ. 3.8

изводной». В связи с этим понятны те оцепенение и шок в среде математиков, которые вызвал направленный Вейерштрассом в 1872 г. Берлинской Академии наук пример непрерывной функции, нигде не имеющей производной. Пример Вейерштрасса был опубликован в 1875 г. Дюбуа-Реймоном, естественно, со ссылкой на Вейерштрасса.

Еще раньше, в 1830 г., подобный пример был построен Больцано и, примерно в то же время, Шарлем Селирье. Но второй из перечисленных примеров был опубликован лишь в 1890 г., а первый — еще позже (1930).

То обстоятельство, что Вейерштрасс привел свой пример на позднем этапе развития математического анализа, расценивается как удача, ибо, как заметил в 1905 г. Эмиль Пикар, «если бы Ньютон и Лейбниц знали, что непрерывные функции не обязательно обязаны иметь производные, то дифференциальное ис- числение никогда не было бы создано».

У читателя может создаться впечатление, что пример Вейерштрасса — это некая экзотика, интересная лишь математикам и не имеющая ничего общего с практикой. В подтверждение такой мысли можно процитировать следующее эмоциональное высказывание Эрмита, сделанное в конце XIX в.: «Я с ужасом и отвращением воспринимаю эту разрастающуюся язву функций, не имеющих производной». Однако значительно раньше этого высказывания и столь впечатляющих примеров ученые наблюдали именно такие экзотические функции, когда изучали броуновское движение. Сошлемся, например, на книгу «Атомы» (1912) французского физика Ж. Перена, который писал, что наблюдая броуновское движение «видно, что ни в одной точке траектории нельзя зафиксировать касательную, и это как раз тот случай, ко-

181