Chuprigin_O_A_-_Matematicheskiy_analiz_predel_nepreryvnost_differentsiruemost_pdf

y3.

Теорема 4. Если два многочлена f(x) è (x) степени не выше

n имеют одинаковые значения при n 1 различных значениях x, то они тождественны: f(x) (x).

Если бы разность f(x) (x) 0 x, то она имела бы не менее n 1 корней, являясь многочленом степени не выше n. ×òî

невозможно. Таким образом, для равенства соответствующих коэффициентов многочленов степени не выше n достаточно выполнения

равенства f(x) (x) ëèøü â n 1 различных точках x.

1.7.7. Интерполяционная формула Лагранжа

Если известны значения многочлена f(x) n-й степени в n 1

различных точках, то этих данных достаточно для определения коэффициентов многочлена.

Можно построить в общем виде формулу для многочлена степени не выше n, если известны n 1 его значений y1, y2, ..., yn 1

соответственно в точках x1, x2, ..., xn 1. Действительно, рассмотрим выражение

n 1

(x xi)

	n 1 i 1
	f(x)	i k	y		.	(1.40)
		n 1		k

k 1 (xk xi) i 1

i k

Очевидно, что выражение (1.40) определяет многочлен, вообще говоря, степени n (в частных случаях степень может оказаться ниже n). Непосредственной подстановкой можно убедиться, что f(xk) yk (k 1, 2, ..., n 1). Формулу (1.40) называют интер-

поляционной формулой Лагранжа.
Например, для n 2 будем иметь
f(x)	(x x2 )(x x3 )		(x x1 )(x x3 )
		y1		y2
	(x1 x2 )(x1 x3 )		(x2 x1 )(x2 x3 )

(x x1 )(x x2 ) (x3 x1 )(x3 x2 )

Легко видеть, что f(x1 ) y1, f(x2 ) y2, f(x3 ) y3.

72

1.7.8. Разложение многочленов с действительными коэффициентами

Пусть f(x) A0xn A1xn 1 ... An — многочлен с действительными коэффициентами, причем A0 % 0. В силу основной теоремы алгебры и вытекающих из нее следствий этот многочлен имеет n корней (действительных или комплексных).

Теорема 5. Если многочлен f(x) с действительными коэффициентами имеет комплексный корень " a bi (b % 0), то сопряженное комплексное число " a bi также является корнем f(x).

Òàê êàê A0"n A1"n 1 ... An 0, то равно нулю и сопря-

женное число A0"n A1"n 1 ... An 0.

А тогда, используя свойства комплексно-сопряженных чисел (см. п. 1.6.3), получим

A0 "n A1 "n 1 ... An 0.

Поскольку все Ai — действительные числа, то Ai Ai, следовательно,

A0"n A1"n 1 ... An f(") 0,

что и требовалось доказать.

Замечание. Можно показать, что если " является корнем кратности k, то " будет иметь ту же кратность.

Из теоремы 5 следует, что:

1)число комплексных корней многочлена с действительными коэффициентами является четным;

2)всякий многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень.

Перемножая два двучлена, соответствующие сопряженным корням, получим

(x ")(x ") (x (a bi)) (x (a bi)) (x a)2 b2

x2 px q,

ãäå p 2a, q a2 b2 — действительные числа.

Теперь, если в разложении (1.39) многочлена с действительными коэффициентами объединить скобки с сопряженными кор-

73

нями, то получим разложение с действительными коэффициентами вида

f(x) A0 (x x1 )k1...(x xr )kr (x2 p1x q1 )m1...(x2 psx qs )ms ,

ãäå k1 k2 ... kr 2(m1 m2 ... ms ) n.

Линейные множители соответствуют действительным корням многочлена x1, x2, ..., xr , а квадратные трехчлены — комплексным корням. Разумеется, что в частных случаях в разложении многочлена могут отсутствовать либо множители первой степени (все корни многочлена комплексные числа), либо квадратные трехчлены (все корни многочлена действительные).

Итак, имеет место следующее утверждение.

Теорема 6. Всякий действительный многочлен f(x) n-й степени со старшим коэффициентом А0 0 может быть представлен в виде произведения

	r	kj	s		mj
f(x)	A0 (x xj)		2	pjx qj)
			(x
	j 1		j 1
(k1 k2 ... kr 2(m1 m2 ... ms ) n),						(1.41)

где линейные множители (x xj) соответствуют действительным корням многочлена xj кратности kj, а квадратные трех- члены (x2 pjx qj) соответствуют попарно сопряженным комплексным корням многочлена aj bji кратности mj, причем pj 2aj, qj a2j b2j ( p2j 4qj 4b2j 0).

1.7.9. Задача о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах

Из основной теоремы алгебры и теоремы Безу вытекает, что всякий многочлен степени n (n 0) или, иначе говоря, всякое алгебраическое уравнение вида

A0xn A1xn 1 ... An 0 (1.42)

имеет ровно n корней действительных или комплексных (с уче- том их кратностей). Однако эти теоремы утверждают лишь существование корней, но не указывают практических путей к их отысканию.

74

С древних времен известна следующая задача: выразить корни уравнения (1.42) через его коэффициенты Ai с помощью четырех арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операции извлечения корней (радикалов). Поэтому задача часто именуется задачей о разрешимости уравнения (1.42) в радикалах. При n 3 и 4 задача была решена в XVI в. В течение трех следующих веков все попытки решить в радикалах уравнение (1.42) для n 5 были безуспешными. И только в 1824 г. Абель доказал, что общее уравнение (1.42) при n 5 не имеет решения в радикалах. К такому же выводу пришел в 1798 г. итальянский ученый Руффини, но его доказательство оказалось неполным.

Заметим, что теорема Абеля не утверждает отсутствие корней у уравнений степени выше 4-й (это противоречило бы основной теореме алгебры), она утверждает лишь, что эти корни невозможно выразить через коэффициенты посредством алгебраиче- ских действий. С теоремой Абеля не находится в противоречии и тот факт, что некоторые частные виды уравнений (1.42) при n 5 могут быть решены алгебраически. Возник вопрос: каковы необходимые и достаточные условия разрешимости в радикалах того или иного конкретного уравнения вида (1.42). Полный ответ на него был дан Галуа (1830), кроме того, им независимо от Абеля была доказана неразрешимость в радикалах уравнений выше 4-й степени в общем случае. Таким образом, Галуа создал общую теорию решения алгебраических уравнений.

Примером уравнения, неразрешимого в радикалах, может служить

x5 9x 3 0.

1.8. ТОЧНЫЕ ГРАНИЦЫ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ. АКСИОМА ДЕДЕКИНДА

Определение. Множество X называется ограниченным сверху (ограниченным снизу), åñëè

M ( m ) : x X x M(x m).

Числа M è m называют соответственно верхней è нижней границами множества X.

Дадим теперь определение не ограниченного сверху (снизу) множества, воспользовавшись правилом де Моргана (см. п. 1.2.2).

75

Множество X называется не ограниченным сверху (снизу), åñëè

M ( m ) x X : x M (x m).

Множество X , ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным с обеих сторон, или просто ограниченным, ò. å.

M, m : x X m x M.

Данное определение равносильно, очевидно, определению 1 (см. п. 1.2.2).

Примерами ограниченных множеств служат отрезки, интервалы. Очевидно, если число M (соответственно m) является верхней (нижней) границей множества X, то любое число M M (m m) будет также верхней (нижней) границей этого множества. Следовательно, всякое ограниченное множество имеет бесконечно много как верхних, так и нижних границ. В этой связи вызывает интерес вопрос о наименьшей верхней и наибольшей нижней границах данного множества.

Определение 1. Наименьшая из всех верхних границ ограниченного сверху множества X называется точной верхней границей этого множества и обозначается sup X (читается — супремум).

Наибольшая из всех нижних границ ограниченного снизу множества называется точной нижней границей этого множества и обозначается inf X (читается — инфимум).

Можно дать другое определение точных границ, эквивалентное приведенному.

Определение 2. x sup X, åñëè:

1)x X x x;

2)0 x X : x x .

Условие 1) означает, что x — одна из верхних границ множества X, а условие 2) свидетельствует о том, что x — наименьшая из всех верхних границ.

Определение 3. x inf X, åñëè:

1)x X x x;

2)0 x X : x x .

Легко показать, используя определения 2 и 3, что если X [a, b], a Y (a, b), òî sup X sup Y b è inf X inf Y a. Таким образом, точные границы множества могут принадлежать самому множеству, а могут и не принадлежать.

76

Если множество X является конечным, то в нем найдутся наибольшее и наименьшее числа. Очевидно, что именно эти числа будут точными границами множества X.

Если же множество X бесконечно, то оно может не содержать наибольшего или наименьшего чисел (или и того, и другого),

							1				1				íå
	äàæå åñëè X ограничено. Например, множество					1,				,		, ...
							2				3
	имеет наименьшего числа; множество			1			1						1
			1		, 1					, 1				, ...
				2			3						4

не содержит наибольшего числа; среди множества правильных положительных дробей нет ни наименьшей, ни наибольшей дроби. Но это вовсе не означает, что указанные множества не имеют точных верхней и нижней границ.

Представляет интерес следующий вопрос: всегда ли у ограни- ченного множества имеются точные границы. Положительный ответ на этот вопрос дает следующее утверждение*.

Аксиома Дедекинда. Всякое непустое ограниченное сверху (снизу) множество X имеет точную верхнюю (нижнюю)

границó.

Если множество не ограничено сверху (снизу), то условились писать sup X (inf X ).

Поэтому аксиоме можно придать сëедующий вид.

Всякое непустое множество X имеет точную верхнюю и точную нижнюю границы.

Пример. Найти точные границы множества
1			2		3			n			).
X		,		,		, ...				(n
2			3		4		n 1

Так как множество X содержит наименьший элемент 1, òî 2

inf X 1. 2

Наибольшего элемента у множества X íåò, èáî 1 2 3 ....

2 3 4 Покажем, что sup X 1. Действительно, первое условие опреде-

* В других современных аксиоматических теориях действительных чи- сел аксиома Дедекинда является теоремой.

77

ления 2 выполняется:

n

1. Проверим выполнение второго

n 1

условия из определения 2. Нужно убедиться, что

0 n1

:

n1

1 .

n1 1

Если 1, то указанное неравенство выполняется n1 .

Пусть 0 1. Тогда

n1

1

1

1

1

1

1

n1 1

n1 1

n1 1

n1 1

n1 1 1 n1 1 1.

Èòàê, 0 n1 (в качестве n1 достаточно взять любое нату-

ральное число, большее чем	1		1) такое, что	n1		1 , ÷òî è
				n1 1
требовалось доказать.

Г л а в а 2 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Понятие предела является фундаментальным понятием математического анализа. О его значимости не только для математи- ческого анализа, но и для других областей математики можно сказать словами из Евангелия от Иоанна: «Все через него начало быть, и без него ничто не начало быть, что начало быть».

Первое корректное определение предела было дано чешским математиком Больцано в 1817 г. (однако его работы не получили распространения) и французским математиком Коши в сочинении «Алгебраический анализ» (1821). Именно теория пределов была положена Коши в основу строгого построения математиче- ского анализа. «Позиция Коши, развеявшая мистический туман, которым до него были покрыты начала анализа, получила всеобщее признание»*.

2.1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

2.1.1. Последовательности

Если любому натуральному n (номеру) по некоторому правилу поставлено в соответствие число xn, то говорят, что задана чи- словая последовательность (или просто последовательность)

x1, x2, x3, ..., xn, .... (2.1)

Для краткого обозначения последовательности (2.1) используют символ (xn).

Иначе говоря, последовательностью называют функцию, заданную на множестве натуральных чисел, причем вместо символа f(n) пользуются индексным обозначением xn f(n).

Числа, составляющие последовательность, называют ее членами (элементами), число xn называют общим членом (элемен-

* Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. М., 1955.

79

òîì) èëè n-ì членом (элементом) последовательности (xn), à n — номером члена.

В отличие от числового множества, у которого все элементы различны, последовательность среди своих членов может иметь одинаковые, т. е. члены последовательности xn è xm ïðè n % m считаются отличными как элементы последовательности (у них ведь разные номера), хотя не исключено, что xn xm. Таким образом, множество чисел, из которых состоит та или иная последовательность, может быть бесконечным, конечным и, в частности, может состоять даже из одного элемента. Например:

1, 2, 3, ..., n, ....	(2.2)
a, b, a, b, ..., a, b, ... .	(2.3)
a, a, a, a, ..., a, ... .	(2.4)

Все элементы последовательности (2.3) с нечетными номерами равны a, с четными номерами равны b, тем не менее, мы счи- таем, что элементы этой последовательности x1, x3, x5, ..., à òàê-

æå x2, x4, x6, ... различны.

Последовательность может задаваться формулой общего чле-

на. Например:
для последовательности (2.2) — xn n;
для последовательности (2.4) — xn à;
		1 ( 1)n			1 ( 1)n
для последовательности (2.3) — x				a		b èëè
	n	2			2
a,	åñëè n —	нечетное,
xn
b,	åñëè n —	четное.

Существуют и другие способы задания последовательностей. Например, последовательность xn n! может быть задана рекуррентным способом:

xn 1 (n 1) xn, x1 1.

2.1.2. Понятие предела последовательности

Запомним следующее основное определение.

Определение 1. Число à называется пределом последовательности (xn), если для любого , - 0 существует число N N(,),

зависящее от ,, такое, что для всех n - N выполняется неравенство

| xn a | ,.

(2.5)

80

В краткой символической форме определение записывают следующим образом:

число à называют пределом последовательности (xn), åñëè

0 N N( ) : n N | xn à | .

Тот факт, что последовательность имеет своим пределом число à, обозначается так:

lim xn a; lim xn a èëè xn a

n

(символ lim является сокращением латинского слова «limes» — предел).

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, не имеющая предела — расходящейся.

Åñëè lim xn à, то говорят также, что последовательность сходится к à èëè стремится к à.

Замечание. Так как неравенство (2.5) содержит только члены последовательности с номерами n N, то отбрасывание (добавление) конечного числа первых членов последовательности не влияет на ее сходимость и не меняет предела. Указанное свойство последовательности мы будем использовать в дальнейшем, не оговаривая, возможно, этого особо.

Пример 1. Пусть xn à n. Доказать, что lim xn à.

Очевидно, что 0 все члены последовательности удовле-

творяют неравенству		| xn a | | a a | 0 . Следовательно, в
качестве N можно взять N 1 (или любое другое положительное
число).
Таким образом, 0 N 1 : n N | xn a | , ÷òî è
требовалось доказать.
Пример 2. Доказать, исходя из определения, что lim xn 1,
åñëè
		x		(n 1) ! n !					.
			n	(n 1) ! n !
Рассмотрим модуль разности
(n 1) ! n !							n !(n 1 1)
| x 1 |						1					1
n		1) ! n !				n !(n 1 1)
(n
		n					2
						1				.
		n 2					n 2

81