Chuprigin_O_A_-_Matematicheskiy_analiz_predel_nepreryvnost_differentsiruemost_pdf

3.2.4. Геометрический и физический смысл дифференциала

Геометрический смысл дифференциала нетрудно уяснить исходя из геометрического смысла производной (см. п. 3.1.5).

На рис. 3.11 изображен график функции y f(x) и касательная M0T к графику функции в точке M0 (x0, f(x0 )).Исходя из геометрического смысла производной, имеем tg " f 1(x0 ). Тогда dy f 1(x0 ) dx tg" 2x.

Ðèñ. 3.11

Таким образом, дифференциал функции y f(x) в точке x x0 равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику этой функции в точке M0 (x0, f(x0 )), при изменении аргумента от

x0 äî x0 2x.

Из соотношения (3.15) следует, что BC 2y dy o(2x) ïðè

2x . 0.

Мы определили дифференциал как линейную часть приращения функции, поэтому можно подумать, что дифференциал всегда меньше приращения функции. Однако это не так. Если график функции лежит ниже касательной (такая ситуация имеет место, например, в точке C (рис. 3.11), то дифференциал функции будет больше приращения. Для линейной функции y Ax B и только для нее дифференциал и приращение функции равны между собой в любой точке x: 2y A 2x dy.

Из геометрических соображений последнее обстоятельство очевидно, поскольку график линейной функции и касательная к нему в любой точке совпадают.

212

Дифференциалу функции можно дать и механическое толкование. Пусть f(t) — путь, пройденный материальной точкой за время t от начала движения. Тогда f (t) есть мгновенная скорость точки в момент времени t. Следовательно, дифференциал df(t) f (t) t равен расстоянию, которое прошла бы точка за промежуток времени от t äî t t, если бы она двигалась с постоянной скоростью, равной скорости в момент времени t. Поскольку скорость материальной точки на отрезке времени [t, t t] меняется, то путь, пройденный за время t, равный f(t) f(t t) f(t), не совпадает, вообще говоря, с дифференциалом df(t). Однако при малых промежутках времени t изменение скорости незначительно, следовательно, f(t) df(t) f (t) t.

3.2.5. Таблица дифференциалов и правила нахождения дифференциалов

Исходя из таблицы производных (см. п. 3.1.8) и связи между производной и дифференциалом df(x) f (x) dx, легко составить таблицу дифференциалов основных элементарных функций.

1. dc 0 (c const);

9. d(tg x)

dx

;

2

x

cos

2. dxp pxp 1dx;

10. d(ctg x)

dx

;

sin2 x

3. dax ax ln adx;

11. d(arcsin x)

dx

;

1 x2

4. dex exdx;

12. d(arccos x)

dx

;

1 x2

5. d(loga x)

dx

;

13. d(arctg x)

dx

;

x ln a

1 x2

5 . d(loga | x | )

dx

;

14. d(arcctg x)

dx

;

x ln a

1 x2

6. d(ln x)

dx

;

15. d(sh x) ch xdx;

x

6 . d(ln | x | )

dx

;

16. d(ch x) sh xdx;

x

7. d(sin x) cos xdx;

17. d(th x)

dx

;

ch2x

8. d(cos x) sin xdx;

18. d(cth x)

dx

.

sh2x

213

Имеют место следующие правила дифференцирования, являющиеся непосредственным следствием правил нахождения производных (см. п. 3.1.9):

1.d(u v) du dv;

2.d(c u) c du (c const);

3.d(u v) v du u dv;

u				v du u dv
4. d					(v 0),
				v2
v

ãäå u u(x) è v v(x) — дифференцируемые функции.

3.2.6. Использование дифференциала в приближенных вычислениях

Если функция y f(x) дифференцируема в точке x0, òî ïðè-

ращение функции y f(x0 ) f(x0 x) f(x0 ) можно представить в виде (3.15)

y df(x0 ) o( x).

Следовательно, при x 0 разность между приращением функции и ее дифференциалом есть величина бесконечно малая, причем более высокого порядка чем x. Это обстоятельство позволяет записать приближенное равенство

y dy f (x0 ) x

èëè

f(x0 x) f(x0 ) f (x0 ) x.

(3.18)

Полученное соотношение широко используется в приближенных вычислениях значений функции в точке x0 x, если известны (или легко находятся) значения функции и ее производной f(x0 ) è f (x0 ) в начальной точке x0.

Понятно, что приближенное значение f(x0 x), найденное по формуле (3.18), тем точнее, чем меньше приращение x. Однако точную оценку абсолютной погрешности формулы (3.18) мы, к сожалению, сейчас получить не можем (см. далее (п. 3.4.4)).

Формулу (3.18) часто удобнее записать в другом виде. Положив x x0 x, следовательно, x0 x x, получаем

f(x) f(x0 ) f (x0 ) (x x0 ).

(3.19)

Формула (3.19) дает возможность приближенно заменять функцию, имеющую производную в точке x0, линейной функцией. Геометрически эта замена означает, что участок кривой

214

y f(x) в окрестности точки (x0, f(x0 )) заменяется отрезком касательной к кривой в этой точке: y y0 k(x x0 ), ãäå y0 f(x0 ),

àугловой коэффициент k f (x0 ).

Âчастности, если x0 0, то формула (3.19) примет вид

f(x) f(0) f (0) x.

(3.20)

Подставляя в (3.20) вместо f(x) различные конкретные функции, получим для x, достаточно близких к нулю, следующие полезные на практике приближенные формулы:

		ln (1 x) x;														ln (1 x) x;
	ex 1 x;															sin x x;
		tg x x;													(1 x)p 1 px,
	в частности:
	1								1 x;						1								1 x;
	1 x														1 x
	1								1 2x;						1								1 2x;
					2														2
		(1 x)														(1 x)
								1		x			;									1		x			;
			1 x														1 x
									2														2
	1								1		x			;	1								1		x			;
				1 x					2								1 x						2
	3					1				1		x;			3					1				1		x.
				1 x													1 x
									3														3

Замечание. Åñëè f (x) 0, то из соотношения y dy o( x) следует, что

lim y 1,

x 0 dy

т. е. приращение функции и ее дифференциал являются эквивалентными бесконечно малыми при x 0. Подчеркнем еще раз, что y è dy являются величинами только эквивалентными, но разными по сути. Это особенно важно отметить, поскольку в приложениях дифференциального исчисления указанные понятия нередко смешивают. Такая подмена понятий не обязательно ведет к противоречивому результату, ибо в теории пределов мы

215

уже отмечали случаи, когда бесконечно малые можно (и даже полезно) заменять эквивалентными.

Пример 4. Заменяя приращение дифференциалом, найти приближенное значение sin 30 1 .

Пусть f(x) sin x. Значение f(x) и производной f (x) в точке

x0 , что соответствует 30 в радианной мере угла, нам извест- 6

íû:

f(x ) sin					1		,	f (x ) cos												3	.
0	6			2				0							6					2
Изменению угла от 30				äî 30 1									соответствует в радианной
мере приращение аргумента								x									. Тогда по формуле
											180 60
(3.18) имеем
	sin 30 1					1			3										.
				2				2					180 60

Òàê êàê x в данном случае достаточно мало, то найденное приближенное значение sin 30 будет мало отличаться от истинного значения. Можно показать, что абсолютная погреш-

ность в рассмотренном примере не превышает 10 7 .

3.2.7. Инвариантность формы дифференциала

Пусть задана дифференцируемая функция y f(x), ãäå x —

независимая переменная. Тогда (см. п. 3.2.2)
dy f (x) dx.	(3.21)
Если мы имеем сложную функцию
y f(x), ãäå x x(t),

то в соответствии с правилом нахождения производной сложной функции (требуется выполнение условий теоремы (п. 3.1.11)) имеем

dy y dt y x dt f (x) x (t) dt.
t	x t

Из последнего соотношения, учтя то обстоятельство, что dx x (t) dt, получаем окончательно

dy f (x) dx.

(3.22)

216

Сравнивая формулы (3.21) и (3.22), приходим к выводу, что и в случае, когда õ — независимая переменная, и в случае, когда

х — функция некоторой независимой переменной t, внешний вид дифференциала один и тот же. Указанное свойство дифференциала называют инвариантностью формы дифференциала. В дальнейшем мы рассмотрим дифференциалы высших (второго, третьего и т. д.) порядков и убедимся в том, что эти дифференциалы указанным свойством не обладают. Поэтому доказанное свойство дифференциала называют обычно инвариантностью формы первого дифференциала.

Отметим, что формулы (3.21) и (3.22) имеют лишь внешнее сходство (совпадение), но между ними имеется существенное отличие: в формуле (3.21), когда x — независимая переменная, дифференциал dx равен произвольному приращению x, а в формуле (3.22), когда x — функция независимой переменной t, dx уже не произвольное приращение x, а дифференциал функции x x(t), ò. å. dx x (t) dt (здесь произвольным приращением является dt).

Замечание 1. Производная функции (в отличие от дифференциала) не обладает свойством инвариантности формы. Действительно, если y f(x), òî y f (x); åñëè æå y f(x), ãäå x x(t), òî y f (x) x (t).

Замечание 2. Исходя из инвариантности формы первого дифференциала, мы можем рассматривать производную функции y f(x), как дробь, в числителе которой стоит дифференциал функции dy, а в знаменателе — дифференциал аргумента dx,

ò. å. f (x) dy , независимо от того, является ли õ независимой dx

переменной, или õ есть функция другого аргумента. Применение замечания 2 проиллюстрируем на примере. Пусть

y f(x) задана в параметрической форме x (t), y (t), ãäå (t) è (t) удовлетворяют условиям п. 3.1.12.3. Найдем производную

y f (x). В соответствии с замечанием 2 получаем

x

f (x) dy (t) dt (t) , dx (t) dt (t)

т. е. мы легко получили известную нам формулу производной функции заданной параметрически.

Следствие. Основываясь на свойстве инвариантности формы дифференциала, можно записать таблицу дифференциалов сле-

217

дующих сложных функций (u u(x) — произвольная дифференцируемая функция):

1. d(up ) pup 1du;

9. d(arcsin u)

1

du;

1 u2

2. d(ln u)

1

du;

10. d(arccosu)

1

du;

u

2

1 u

3. d(au ) au ln adu;

11. d(arctgu)

1

du;

2

1 u

4. d(eu ) eudu;

12. d(arcctgu)

1

du;

1

2

u

5. d(sin u) cosudu;

13. d(sh u) ch udu;

6. d(cosu) sin udu;

14. d(ch u) sh udu;

7. d(tgu)

1

du;

15. d(th u)

1

du;

2

ch

2

u

cos u

8. d(ctgu)

1

du;

16. d(cth u)

1

du.

sin2 u

sh2u

Заметим, что указанную таблицу можно было бы получить из таблицы производных сложных функций (см. п. 3.1.11) (для этого каждую из приведенных там формул надо умножить на dx и воспользоваться равенством u dx du).

Пример 5. Найти дифференциал функции y (arcsin x)5.

I с п о с о б. Находим производную данной функции

	y 5(arcsinx)4	1			,
		1 x2

тогда
	5(arcsinx)4
dy y dx				dx.
	1 x2
II с п о с о б. Находим непосредственно дифференциал,									èñ-
пользуя формулы 1 и 9, приведенные выше:
dy 5(arcsin x)4 d(arcsin x) 5(arcsin x)4					1			dx.
					1 x2

218

íàÿ f(n 1)

3.3. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

3.3.1. Производные высших порядков

Пусть функция y f(x) имеет производную в каждой точке множества X. Если функция y f (x), определенная на множестве X, также имеет производную, то ее называют второй производной функции f(x) èëè производной второго порядка и обозна- чают y , f (x), f(2) (x).

Таким образом,

f (x) lim f (x x) f (x) .

x 0 x

Бывают случаи, когда целесообразно указать переменную

дифференцирования, тогда пишут f èëè f 2.

xx x

Аналогично определяются производные третьего, четвертого и т. д. порядков. Если определена производная (n 1)-го порядка, то производной n-ãî порядка называют производную от производной (n 1)-го порядка, т. е.

f(n) (x) (f(n 1) (x)) (n 1, 2, ...),

(3.23)

причем считают, что f (0) (x) f(x), f(1) (x) f (x), т. е. функцию f (x) называют производной первого порядка, а под производной нулевого порядка f(0) (x) понимают функцию f(x). Последнее со-

глашение (о производной нулевого и первого порядков) позволяет рассматривать формулу (3.23) для n 1.

Для того чтобы существовала f(n) (x) в точке x a, производ- (x) должна существовать в окрестности точки à è áûòü

дифференцируемой в точке à. Ïðè ýòîì

f(n) (a) lim	f (n 1) (a x) f (n 1) (a)	.
x 0	x

Функцию, имеющую в каждой точке множества X производные до n-го порядка включительно, называют n раз дифференцируемой на множестве Х.

Все производные функции, начиная со второй производной, называют производными высших порядков.

219

3.3.2. Пример функции, имеющей производные не выше n-го порядка

Существуют функции, имеющие производные любого порядка во всех точках. Такими функциями являются, например, ex, sin x, cos x. Однако можно указать функции, имеющие в некоторой точке x0 производные до данного n-го порядка включительно и не имеющие производной (n 1)-го порядка в этой точке.

Примером такой функции является

f(x) | x x0 | (x x0 )n.

Проверим это утверждение для n 2 è x0 0, т. е. для функции f(x) | x | x2 | x3 |.

Очевидно, что при x 0

	В точке x 0 имеем по определению производной
	f (0) lim	f(0 x) f(0)	lim	| x |3 0		0.
	x 0		x 0
		x		x

Таким образом, первая производная данной функции существует при всех x, и ее, очевидно, можно записать в виде f (x) 3 | x | x.

Подобным образом легко показать, что

ò. å. f (x) 6 | x |.

Функция f (x) 6 | x |, как известно, не имеет производной в точке x 0, следовательно, в этой точке производная третьего порядка функции f(x) | x | x2 не существует.

Можно проверить, что функция

имеет в точке x 0 производные до n-го порядка включительно и не имеет производной (n 1)-го порядка.

220

3.3.3. Производные n-го порядка некоторых элементарных функций

Задача о вычислении производных n-го порядка элементарных функций не вызывает принципиальных трудностей и связана только с большей или меньшей продолжительностью последовательного вычисления производных первого, второго и т. д. порядков. Однако задача приобретает принципиальные трудности, если требуется найти общую формулу n-й производной функции при любом n. Рассмотрим некоторые элементарные функции, для которых весьма просто получить общий вид производной любого порядка.

1.f(x) ex, f (x) ex, ..., f (n) (x) ex.

2.f(x) ax, f (x) ax ln a, f (x) ax ln2 a, ..., f(n) (x) ax lnn a.

3. f(x) xp , f (x) pxp 1, f (x) p( p 1)xp 2, ..., f (n) (x) p( p 1) ...( p n 1) xp n.

В частности, если p — натуральное число, то, очевидно,

Следовательно, производная n-го порядка от многочлена Q(x), имеющего степень меньше чем n, равна нулю: Q(n) (x) 0 x.

Легко заметить, что для функции f(x) (1 x)p производная

f (n) (x) p( p 1) ...( p n 1)(1 x)p n.
4.	1					1		( 1) ( 2)
	f(x)			, f (x)			, f (x)		, ...,
		x a				(x a)2		(x a)3
	f (n) (x)		( 1)n n !		.
			(x a)n 1

5. f(x) sin x, f (x) cos x, f (x) sin x, f (3) (x) cosx, f (4) (x) sin x.

Мы нашли первые четыре производные функции f(x) sin x и получили, что f(4) (x) sin x. Понятно, что продолжать процесс

221