Chuprigin_O_A_-_Matematicheskiy_analiz_predel_nepreryvnost_differentsiruemost_pdf

Пример 15. Найти производную функции y y(x), заданной параметрически:

По формуле (3.11)

		y		2t 9t2		t(2	9t)
y		t						.
x		xt		2 2t		2(1 t)

Таким образом, для производной мы получаем следующее параметрическое представление:

Пример 16. Написать уравнение касательной к окружности

x acost,

y asin t

в некоторой ее точке M0 (x0, y0 ), ãäå y0 0.

Точке M0 соответствует значение параметра t0, иначе говоря, x0 acost0 è y0 asin t0. Следовательно, при y0 0 имеем

x0 ctgt0. y0

Находим угловой коэффициент касательной к окружности в точке M0 (x0, y0 ):

k y	(x	)	yt(t0 )		acost0	ctgt		x0	.
x	0		x (t0 )		asin t0	0		y0

Таким образом, уравнение касательной имеет вид

y y0 k(x x0 ) èëè y y0 x0 (x x0 ). y0

Это уравнение можно записать в виде

yy0 xx0 x20 y20 èëè yy0 xx0 a2, òàê êàê x20 y20 a2.

Условию y0 0 удовлетворяют две точки окружности M1 ( a, 0) è M2 (a, 0), соответствующие значениям параметра t1 0 è t2 .

202

Òàê êàê xt(t1 ) xt(t2 ) 0, то из формулы (3.11) следует, что касательные к кривой в точках M1 è M2 будут вертикальными. Уравнения вертикальных касательных x a è x a.

Заметим, что численные значения параметра t, соответствующие точкам кривой, где касательная является горизонтальной, находят из уравнения yt 0.

3.1.12.4. Производная неявных функций

Функция y f(x) (a x b) называется неявной функцией,

определяемой уравнением

F(x, y) 0, (3.12)

eñëè F(x, f(x)) 0 x (a, b). Говорят также, что функция y f(x)

задана неявно уравнением (3.12).

Не следует думать, что всякое уравнение F(x, y) 0 определяет неявную функцию, а также, что неявная функция единственна, если она существует. Например, не существует неявных функций y f(x), определяемых уравнением x2 y2 1 0. Â òî

же время уравнение x2 y2 1 0 определяет неявно бесконеч-

ное множество функций, заданных на отрезке [ 1, 1]. Такими функциями являются следующие:

y1 1 x2 , y2 1 x2 ( 1 x 1),

а также любая функция y f(x), которая в точке x [ 1, 1] принимает либо значение y1, либо значение y2, например

			1		2		, åñëè 1 x ,
				x
y
				2
	1				,		åñëè x 1,
			x

где — любое число, принадлежащее интервалу ( 1, 1).

Будем считать, что уравнение (3.12) однозначно определяет неявную функцию y f(x) (a x b), которая имеет производную на интервале (a, b) (условия, обеспечивающие существование и дифференцируемость неявной функции, мы здесь не рассматриваем). Подставив y f(x) в уравнение (3.12) и дифференцируя тождество F(x, f(x)) 0 как сложную функцию, находят производную y f (x). Заметим, что полученное после дифференцирования тождества уравнение, из которого определяется y , всегда будет линейным относительно искомой производной, следовательно, легко решается. Формулу для производной не-

203

явной функции в общем случае мы получить пока не можем. Поэтому ограничимся конкретными примерами.

Пример 17. Найти производную функции y y(x), определяемую уравнением

x2 2xy y2 2x 0.

Чему равна производная y1 ïðè x 2, y 4 è ïðè x 2, y 0?

Данное уравнение является уравнением второй степени относительно ó. Очевидно, что оно определяет две дифференцируемые неявные функции y y1 (x) è y y2 (x), причем y1 (2) 4, à y2 (2) 0. Подставим y y(x) в уравнение и, дифференцируя тождество

x2 2xy(x) y2 (x) 2x 0,

получим

2x 2y 2xy1 2yy1 2 0.

Откуда находим y1 1 x y . x y

Заметим, что поскольку мы не находили явную зависимость y y(x), то не удивительно, что выражение производной содержит в правой части и x, è y.

Найдем теперь производные при x 2 è y 4, т. е. производную y11 (2):

y1	(2)	1 x y
				x 2
1		x y
				y 4

Аналогично

1 2 4 5 . 2 4 2

y1(2)	1 x y				1 2		1	.
			x 2
2	x y			2		2
			y 0
Пример 18. Написать уравнение касательной к окружности
x2 y2 a2 в некоторой M0 (x0, y0 ), ãäå y0						% 0.

Точка M0 однозначно задает одну из неявных функций

y y(x), определяемых уравнением. Дифференцируя тождество x2 y2 (x) a2 0, получаем 2x 2y y1 0.

Следовательно, угловой коэффициент касательной к окружности в точке M0

k y1(x0 ) x0 . y0

204

Повторяя далее те же рассуждения, как и в примере 16, полу- чим, что уравнение касательной к окружности x2 y2 a2 â òî÷- êå (x0, y0 ) имеет вид xx0 yy0 a2.

Таким образом, можно сформулировать следующее правило: чтобы записать уравнение касательной к окружности в точке

(x , y ) нужно в уравнении окружности заменить x2		íà xx	è y2
0	0	0
íà yy0.

3.1.13. О некоторых особенностях, возникающих при вычислении производных

В теореме о производной сложной функции f( (t)) требуется существование производной от каждого элемента сложной функции f(x) è (t) в соответствующих точках. Однако, как отмечалось в замечании 5 п. 3.1.11, производная сложной функции f( (t)) может существовать в точке t0, хотя одна из производных f (x0 ) èëè (t0 ) не существует. В такой ситуации правило дифференцирования сложной функции не применимо. Чтобы убедиться в существовании (или не существовании) производной сложной функции f( (t)) в точке t0, требуется дополнительное исследование. Обычно вопрос решается с помощью определения производной.

Подобная ситуация возникает и в случае, когда функция f(x) задана в виде

g(x), åñëè õ à,		g(x), åñëè	õ à,
f(x)		èëè f(x)
	À, åñëè õ à,	(x), åñëè	õ à,

ãäå g(x) è (x) — произвольные элементарные функции. Найти f (a), пользуясь формулами и правилами дифференци-

рования, не предоставляется возможным. Вычисление производной f (a) и исследование ее существования обычно также проводят по определению производной. Точно так же используют определение производной при нахождении в точке x0 производной произведения f(x) g(x), если в этой точке производная хотя бы одного из сомножителей не существует. Рассмотрим соответствующие примеры.

Пример 19. Найти производную функции

f(x) xsin x2 ( 3 x 3).

205

Òàê êàê ïðè 1 производная степенной функции x îïðå- 2

делена для x 0, то производную сложной функции

sin x2 ìû

можем найти по общим правилам при sin x2

0, ò. å. íà âñåì èí-

тервале (

3, 3), исключая точку x 0. Ïðè x 0 имеем

1

x2 cos x2

.

f (x)

sin x2 x

cos x2

2x

sin x2

2 sin x2

sin x2

Исходя из определения производной, в точке x 0 получим

f (0) lim

f(0 x) f(0)

lim

x

sin ( x)2

0.

x 0

x 0

x

x

Пример 20. Найти производную функции

2

sin

1

, åñëè

õ 0,

f(x)

x

x

õ 0.

0, åñëè

Åñëè x 0, òî

f (x) 2x sin

1

x2 cos

1

1

2x sin

1

cos

1

.

x

x

x2

x

x

Значение f (0) вычисляем по определению производной

( x)2 sin

1

f (0) lim

f(0 x) f(0)

lim

x

0.

x

x 0

x

x 0

Итак, функция имеет производную на всей оси и

2x sin

1

cos

1

, åñëè

õ 0,

f (x)

x

x

0, åñëè

õ 0.

Пример 21. Найти f (0), åñëè f(x) | x | (1 cos x).

Так как функция | x | не имеет производной в точке x 0, òî

мы не можем воспользоваться формулой для производной произведения. По определению производной имеем

f (0) lim	f(0 x) f(0)		lim	| x | (1 cos x)	0.
x 0		x	x 0
				x

206

Пример 22. Найти f (a), åñëè f(x) (x a) (x), где функция(x) непрерывна в точке x a.

Åñëè (x) имеет производную, то легко получаем

f (a) [ (x) (x a) (x)] x a (a).

Однако в условии задачи сказано, что (x) является лишь непрерывной, но, как известно, непрерывная функция может не иметь производной ни в одной точке. Следовательно, правилом дифференцирования произведения пользоваться нельзя. По определению производной

f (a) lim	f(a x) f(a)		lim	(a x a) (a x) 0
	x				x
x 0			x 0
	lim	(a x) (a)
	x 0

(в последнем равенстве мы использовали непрерывность функции в точке x a).

3.2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ

3.2.1. Определение дифференцируемости функции

Определение 1. Функция f(x), определенная в некоторой окрестности точки x0, называется дифференцируемой в точке

x0, если ее приращение в этой точке f(x0 ) f(x0 x) f(x0 ) можно представить в виде

f(x0 ) A x x,

(3.13)

ãäå A A(x0 ) не зависит от x, à ( x) зависит от x, ïðè- ÷åì ( x) 0 ïðè x 0.

Условие (3.13), очевидно, можно записать	следующим образом:
f(x0 ) A x o( x).	(3.13 )

Если функция f(x) дифференцируема в различных точках некоторого множества, то при переходе от одной точки к другой величины A и могут меняться. Указанное обстоятельство можно отметить в формуле (3.13), записав

f(x) A(x) x (x, x) x.

(3.13 )

Пример 1. Доказать, что функция f(x) x3 является дифференцируемой на всей оси.

207

Для любого õ имеем

f(x) f(x x) f(x) (x x)3 x3

3x2 x 3x( x)2 ( x)3 3x2 x [3x x ( x)2 ] x.

Итак, мы получили для приращения функции в любой точке õ представление (3.13 ), где A(x) 3x2, a (x, x) 3x x ( x)2,

что и требовалось доказать. Пример 2. Доказать, что функция f(x) | x | является не диф-

ференцируемой в точке x 0.

Найдем приращение функции f(0):

f(0) f(0 x) f(0) | x | sgn x x.

Очевидно, что представление приращения функции f(0) в виде (3.13) возможно лишь при A sgn x. Но величина A в определении дифференцируемости функции не зависит от x ! Таким образом, данная функция не дифференцируема в точке x 0.

Из формулы (3.13) и определения производной функции следует:

Теорема 1. Для того чтобы функция y f(x) была дифференцируемой в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы эта функция имела производную в точке x0, при этом в формуле (3.13) коэффициент A f (x0 ).

Таким образом, существование производной функции в данной точке равносильно дифференцируемости функции в этой точке. Функцию, имеющую производную в каждой точке интервала (a, b) называют дифференцируемой на интервале (a, b).

Функцию называют дифференцируемой на отрезке [a, b], åñëè

она дифференцируема на интервале (a, b) и имеет односторонние производные на концах отрезка.

Заметим, что из теоремы 1 очевидным образом следует утверждение примеров 1 и 2.

3.2.2. Дифференциал функции

Пусть функция y f(x) дифференцируема в точке x0, т. е. для приращения f(x0 ) имеет место формула (3.13).

Определение 2. Линейную относительно x часть приращения функции в точке x0, ò. å. A x, называют дифференциалом функции y f(x) в этой точке и обозначают dy или df(x0 ).

208

Таким образом, согласно утверждению теоремы 1,
dy A x èëè df(x0 ) f (x0 ) x.	(3.14)
Из равенств (3.13 ) и (3.14) мы получаем тогда, что
f(x0 ) df(x0 ) o( x).	(3.15)

Термин «дифференциал» и обозначение df были предложены Лейбницем в 1684 г.

Åñëè A f (x0 ) 0, то из равенств (3.13 ) и (3.14) следует, что

df(x0 ) 0 ïðè x 0 è f(x0 ) ~ df(x0 ) ïðè x 0. Поэтому говорят, что дифференциал есть главная линейная часть прираще-

ния функции, так как он отличается от приращения на величину o( x) более высокого порядка чем x.

Условились приращение x независимой переменной обозна- чать символом dx и называть дифференциалом независимой переменной, т. е. считать

dx x.

Такое соглашение имеет под собой основание. Действительно, если f(x) x, то дифференциал функции будет одновременно и дифференциалом независимой переменной: df(x) dx. Но поскольку df(x) f (x) x 1 x x, то получаем dx x. Таким образом, выражение дифференциала функции можно представить в следующем окончательном виде:

dy f (x0 )dx èëè df(x0 ) f (x0 )dx.

(3.16)

Замена x íà dx в равенствах (3.14) отнюдь не является необходимой. Однако мы увидим в дальнейшем, что равенства (3.16) имеют более общий смысл; если в равенстве (3.14) õ считается независимой переменной, то равенство (3.16) свободно от этого ограничения, т. е. x может быть и функцией, зависящей от другой независимой переменной (см. далее (п. 3.2.7)).

Из соотношений (3.16) следует, что

f (x )	dy	èëè f (x )	df(x0 )	,	(3.17)
0	dx	0	dx

т. е. производная функции f (x0 ) равна отношению дифференциала функции в точке x0 к дифференциалу независимой переменной. Несмотря на то, что dx в (3.16) можно брать произволь-

íî (âåäü dx x), отношение dy будет постоянным, равным dx

f (x0 ), òàê êàê dy изменяется пропорционально dx.

209

Если известен дифференциал функции, то нахождение производной сводится к арифметической операции (не требуется перехода к пределу). Однако чаще всего не производную находят по известному дифференциалу, а наоборот, дифференциал функции вычисляют по формуле (3.16), предварительно вычислив производную. Процесс нахождения дифференциала функции называют дифференцированием функции, точно так же мы называем (см. п. 3.1.1) операцию нахождения производной. Обе эти операции (нахождение производной функции и нахождение дифференциала) тесно взаимосвязаны. Употребление единого термина (дифференцирование) обычно не приводит к путанице, хотя, например, во французском математическом языке употребляют два термина: derivation — нахождение производной, и differentiation — нахождение дифференциала. Обозначения произ-

водной по Лейбницу dy èëè df , которые до сих пор рассматрива- dx dx

лись нами как цельные символы, заменяющие слово производная, теперь мы можем считать обычными дробями. Символику Лейбница употреблять иной раз удобнее, чем символику Лагранжа f (x). Например, формула производной сложной функции (см. п. 3.1.11) в обозначениях Лейбница принимает понятный естественный вид:

dy dy dx . dt dx dt

Пример 3. Найти приращение и дифференциал функции y x2 в произвольной точке x 0 при некотором значении x 0. Дать им геометрическое истолкование.

Ðèñ. 3.10

210

Дадим значению õ приращение x. Тогда

y (x x2 ) x2 2x x ( x)2, dy y x 2x x.

Из рис. 3.10 видно, что приращение y есть приращение площади квадрата со стороной x, если ее увеличить на x; дифференциал dy есть часть приращения площади того же квадрата (без

площади маленького квадратика со стороной x).

3.2.3. Понятие дифференциала функции у Коши

Интересный подход к введению понятия дифференциала функции наблюдаем в курсе Коши*. Сделаем пересказ соответствующего места, сохранив стиль автора.

Пусть y f(x), i — бесконечно малое количество, h — конеч-

ная величина. Если принять i h, где — бесконечно малое количество, получим

	f(x i) f(x)		f(x i) f(x)	,	(*)
	i		h
откуда

f(x h) f(x)

f(x i) f(x) h. i

Предел левой части последнего равенства при 0, если h остается постоянным, называется дифференциалом функции f(x), ò. å.

lim f(x h) f(x) df(x).

0
Из равенства (*) следует, что
	df(x) f (x) h.	(**)

Если взять f(x) x, то из соотношения (**) получим dx h. Таким образом,

df(x) f (x) dx.

Как видим, Коши определяет дифференциал функции через предел соотношения (*).

* Ñì.: Êîøè Î. Ë. Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении. СПб., 1831.

211