Chuprigin_O_A_-_Matematicheskiy_analiz_predel_nepreryvnost_differentsiruemost_pdf

последовательного нахождения производных нет необходимости, ибо f (5) (x) f (x), f (6) (x) f (x) и т. д. Очевидно, чтобы вы-

числить производную n-го порядка (для n 4), нужно определить остаток от деления n на четыре (пусть этот остаток равен k), тогда n

f(n) (x) f(k) (x) (k 0, 1, 2, 3).

Чтобы найти общий вид формулы для n-й производной, заме-

òèì, ÷òî
f (x) sin x			, f (x) sin x 2			, f	(3) (x) sin x 3			...,
	2			2				2

следовательно,
f	(n) (x) sin x n			.
			2
Очевидно, что (sin x)(n) n sin		x n					, ãäå const.
			2

6. f(x) cos x.

Аналогичным образом, как и в предыдущем примере, имеем:

f	(n) (x) cos x n			, (cos x)(n) n cos	x n		.
		2				2

7. f(x) ln x, f (x) 1 , x

следовательно, используя результат примера 4, будем иметь

f (n) (x)		( 1)n 1 (n 1) !				.
					xn
8. f(x) loga x, f (x)	1			1	, следовательно,
	ln a
				x

f (n) (x) ( 1)n 1 (n 1) ! . xn ln a

Замечание. Внимательный читатель может быть неудовлетворен приведенным доказательством формул 1—8 и справедливо потребует использования метода математической индукции в доказательстве каждой формулы. Но в данном случае положение

222

дел столь ясно, что формальное доказательство является ненужным педантизмом.

Сведем полученные результаты (табл. 3.3).

Таблица 3.3

f(x)

f (n) (x)

f(x)

f (n) (x)

ex

ex

cosx

cos x n

2

ax

ax lnn a

lnx

( 1)n 1(n 1) !x n

xp

p(p 1) ... (p n 1)xp n

loga x

( 1)n 1(n 1) !x n (ln a) 1

(x

a)

1

(

1)

n

n !(x

a)

n 1

an sin

x n

sin x

2

sinx

sin x n

cos x

an cos

x n

2

2

Пример 6. Найти производную f (n) (x), åñëè:

à) f(x) sin2 x;								á) f(x)								1			.
														2
																	1
															x
à) Òàê êàê f(x) sin2 x				1					1	cos2x, то, применив формулу
				2			2
производной cos x, получим (sin2 x)(n)												2n 1
																		cos		2x	n		.
																						2
á) Òàê êàê f(x)	1			1			1							1				, то на основании
	x2 1
				2			x 1						x 1

формулы для производной (x a) 1 имеем

Отступление. Сделаем небольшое отступление, чтобы проиллюстрировать, как с помощью приведенной выше таблицы производных получить простое доказательство формулы бинома Ньютона.

Очевидно, что функция f(x) (1 x)n, ãäå n — натуральное, представляет собой многочлен n-й степени, т. е.

f(x) (1 x)n a	a x a x2		... a xn.	(*)
0	1	2	n

223

Коэффициенты a0, a1, a2, ..., an как раз и подлежат определению. Очевидно, что a0 f(0) 1.

Найдем производные левой и правой частей формулы (*), используя приведенную выше таблицу производных. Получим

f (k) (x) n(n 1) ...(n k 1)(1 x)n k

k ! ak (k 1) k ... 2ak 1x ... n(n 1) ...(n k 1) anxn k

(k 1, 2, ..., n).

Полагая в полученных тождествах x 0, будем иметь

ak

n(n 1) (n k 1)

n !

Cnk (k 1, 2, ..., n).

k !

k ! (n k) !

Таким образом,

n

(1 x)n Cnkxk.

k 0

Следовательно,

n

b

n

n

k

n

n

n

C

k b

C

k k n k

(a b)

a

1

a

b a

,

a

k 0

n a

k 0

n

что и требовалось доказать.

3.3.4. Правила нахождения производных высшего порядка

Åñëè U U(x) è V V (x) имеют производные n-го порядка, то:

1)(C U)(n) C U(n), ãäå Ñ const;

2)(U V )(n) U(n) V (n);

		n
3) (U V )(n) CnkU(k)V (n k),
		k 0
ãäå Cnk	n !		— биномиальные коэффициенты и, как обыч-
	k ! (n k) !

но, полагаем U(0) U, V (0) V.

Первые две формулы являются непосредственным следствием правил дифференцирования функций (см. п. 3.1.9). Третье соотношение (n-я производная произведения), называемое форму-

224

лой Лейбница, обычно доказывается методом математической индукции. Известно другое доказательство формулы Лейбница, которое мы приведем.

Доказательство формулы Лейбница:

n

(U V )(n) CnkU(k)V (n k). k 0

Допустим, что

(U V )(n) A U V		(n) A U(1)	V (n 1)
	0	1
A U(2)	V (n 2)	... A U(n)		V,	(3.24)
2		n

ãäå A0, A1, ..., An — численные коэффициенты, нуждающиеся в определении.

Пусть U e x ( — константа), V ex, UV e(1 )x. Тогда

(U V )(n) (1 )ne(1 )x,

U(k) V (n k) ke x ex ke(1 )x (k 0, 1, ..., n).

Подставив полученные выражения производных в формулу (3.24) и сократив на общий множитель e(1 )x, получим

(1 )n A0 A1 ... An n.

Но в последнем равенстве есть произвольная величина, поэтому числа A0, A1, ..., An должны быть ничем иным, как биномиальными коэффициентами, что и требовалось доказать.

Пример 7. Найти f (n) (x), åñëè f(x) x3ex.

Приняв в формуле Лейбница U x3, V ex è ó÷òÿ, ÷òî

V (k) ex k, U 3x2, U 6x, U(3) 6, U(k) 0 k 4,

получаем
(x3ex )(n) x3ex n 3x2ex	n(n 1)	6xex	n(n 1)(n 2)	6ex
	1 2		1 2 3
ex (x3 3nx2 3n(n 1)x n(n 1)(n 2)).

Подчеркнем, что формула Лейбница особенно эффективна в случае, когда один из множителей есть многочлен небольшой степени.

225

3.3.5. Производные высших порядков сложных функций и функций, заданных параметрически

Пусть функция x (t) имеет вторую производную в точке t0, а функция y f(x) имеет вторую производную в точке x0 (t0 ).

Вычислим вторую производную ytt сложной функции y f( (t)). Имеем (для сокращения записи аргумент писать не будем)

y (y )
tt	t	t
= y		x
xx		t

(yx xt)t (yx )t xt yx (xt)t

x y		x y		x 2	y	x .	(3.25)
t	x	tt	xx	t	x	tt

Аналогично вычисляются производные более высоких порядков.

Рассмотрим теперь производные функций, заданных параметрически. Пусть функция y f(x) задана в параметрической форме x (t), y (t), ãäå (t) è (t) имеют вторую производную в точке t è (t) 0, кроме того, функция x (t) имеет обратную

t1 (x). Найдем вторую производную y y (x). Известно (см. п. 3.1.12.3), что

yx (t) .(t)

Используя правила дифференцирования сложной и обратной функции, получим

	(y )	(y ) t	(t) 1					(t) (t) (t) (t)	.
y
xx	x x	x t x						3 (t)
			(t) t			xt

Заметим, что явные выражения всех участвующих здесь

функций, в том числе и yxx, зависят от t. Но они дают возмож-

ность получить значение yxx в конкретной точке x после подстановки вместо t значения t 1 (x), отвечающего заданному зна-

чению x.
Производная третьего порядка y					y(3) найдется из соотно-
			xxx		x	3
шения
y(33)		(y	)
		xx	t	.
x		xt

Аналогичным образом можно найти производную любого порядка.

226

Выведенные формулы производных сложных функций и параметрически заданных функций не предназначены для запоминания, достаточно лишь усвоить методы их получения.

3.3.6. Дифференциалы высших порядков

Пусть функция y f(x) имеет производную n-го порядка. Известно (см. п. 3.2.2), что

dy f (x) dx èëè dy y dx,

причем, так как x — независимая переменная, то dx x, ò. å. dx есть величина, не зависящая от x, и, следовательно, при дифференцировании dx рассматривается как константа.

Дифференциалом второго порядка функции y f(x) èëè вторым дифференциалом этой функции называют дифференциал от дифференциала функции d(dy) и обозначают d2y.

Вообще, дифференциал n-го порядка или n-й дифференциал

функции определяется соотношением

dny d(dn 1y) (n 1, 2, ...),

причем условились считать d0y y, d1y dy, т. е. дифференциал dy называют дифференциалом первого порядка, а под дифференциалом нулевого порядка d0y понимают саму функцию y f(x).

Установим связь между дифференциалами и производными высших порядков. Например, для второго дифференциала имеем

d2y d(dy) d(y dx) d(y ) dx y dx dx y (dx)2.

Условимся для удобства записи выражение (dx)2 записывать

без скобок в виде dx2, ò. å. (dx)2 dx2, тогда
	d2y y dx2 èëè d2y f (x) dx2.									(3.26)
Методом математической индукции легко получить, что
	dny y(n) dxn			èëè	dny f (n) (x) dxn			(n 1, 2, ...), (3.27)
ãäå dxn (dx)n.
Из формулы (3.27) следует, что
	y(n)	dny		èëè f (n) (x)		dny	(n 1, 2,		...).	(3.28)
		dxn
						dxn

227

Таким образом, зная дифференциал n-го порядка функции y f(x), можно найти n-ю производную этой функции с помо-

щью арифметической операции (деления на dxn), и наоборот, зная f (n) (x), можно найти dny путем умножения на dxn.

Âсилу формул (3.27) и (3.28) высказывания «функция имеет

âточке производную n-го порядка» и «функция n раз дифференцируема в этой точке (т. е. у нее существует дифференциал n-го порядка)» равносильны.

Из правил нахождения производных высшего порядка

(см. п. 3.3.4) путем умножения на dxn получим:

1.dn(C U) C dnU (C — const);

2.dn(U V ) dnU dnV;

n

3. dn(U V ) CnkdkU dn kV,

k 0

ãäå U U(x) è V V (x) — n раз дифференцируемые функции.

3.3.7. Нарушение инвариантности формы y дифференциалов высшего порядка

Рассмотрим сложную функцию

y f(x), ãäå x x(t), ò. å. y f(x(t)),

причем f(x) è x(t) — дважды дифференцируемые функции.

В этом случае дифференциал dx уже нельзя считать константой, так как dx x (t) dt.

Следовательно, используя инвариантность формы первого дифференциала и правило дифференцирования произведения, получаем

d2y d(dy) d(f (x) dx)

d(f (x)) dx f (x) d(dx) f (x)dx dx f (x)d2x.

Таким образом,
d2y f (x)dx2 f (x)d2x èëè d2y y dx2	y d2x. (3.29)
xx	x

Сравнивая (3.29) с формулой (3.26), приходим к выводу, что второй дифференциал не обладает свойством инвариантности формы из-за наличия слагаемого f (x) d2x в равенстве (3.29). По-

228

нятно, что дифференциалы более высокого порядка сложной функции также инвариантностью формы не обладают. Например, третий дифференциал в таком случае имеет вид

d3y f (x) dx3 3f (x) dxd2x f (x)d3x.

Из соотношения (3.29) получаем следующие выражения для второй производной сложной функции через дифференциалы:

dx

2

dy

2

dx

dy

1

y

d y

d x

.

dx3

d2x d2y dx3

Для производной третьего порядка имеем более сложное вы-

ражение, которое удобнее записать в виде

dx

dy

dx

dy

1

2

.

y

dx

3d x

d3x d3y

d2x d2y dx5

Очевидно, если õ — независимая переменная, то из приведен-

ных выше формул будем иметь

y

d2y

, y

d3y

,

2

dx

3

dx

поскольку d2x d3x 0.

Заметим, что если обе части формулы (3.29) поделить на dt2, то в силу (3.28) получим формулу (3.25).

Пример 8. Найти d3y, åñëè y 3x5 x3 3.

Находим производную y :

y 15x4 3x2, y 60x3 6x, y 180x2 6.

Тогда d3y y dx3 (180x2 6)dx3.

Можно было бы найти третий дифференциал путем последовательного дифференцирования:

	d3y d(d2y) d(d[(15x4 3x2 )dx])
	d ((60x3 6x)dx2 ) (180x2 6)dx3.
Пример 9. Найти d2y, åñëè y sin x, ãäå x
			t.
I	ñ ï î ñ î á. Òàê êàê t — независимая	переменная,			òî
d2y y	dt2.
tt

229

в полученное выражение для d2y.

Находим y11:

tt

y1 x1

cos x

1

cos

1

,

y1

t

t

x

t

2

t

2

t

1

cos

1

1

y11 sin t

t

( t sin

t cos

t).

tt

4t

4t t

4t t

Таким образом,

1

d2y

(

t sin

t cos

t)dt2.

4t

t

II с п о с о б. Используя формулу (3.29), получаем

d2y (sin x)11dx2 (sin x)1d2x sin xdx2 cos xd2x.

Осталось подставить dx x1dt

1

dt è d2x x11dt2

1

dt2

t

2

t

tt

4t

t

3.4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ

3.4.1. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши

Теорема Ферма. Пусть функция f(x) определена на некотором отрезке [a, b] и во внутренней точке c этого отрезка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Тогда если в этой точ- ке существует производная f 1(c), òî f 1(c) 0.

Пусть f(c) есть наибольшее значение функции, следовательно, f(x) f(c) 0 x [a, b].

По определению производной f 1(c) lim f(x) f(c) , причем x

x.c x c

стремится к ñ произвольным образом. Если x стремится к ñ слева, то x c 0 è f(x) f(c) 0; åñëè æå x стремится к ñ справа, то

		x c
x c - 0 è		f(x) f(c)	0. Осуществив в этих неравенствах пре-
		x c
дельный переход, соответственно				получим f 1(c) 0 è f 1(c) 0,
ò. å. f 1(c)	0.

Понятен геометрический смысл теоремы Ферма: касательная к графику функции y f(x) в точке (c, f(c)) параллельна оси OX (ðèñ. 3.12).

230

Ðèñ. 3.12

Сейчас мы рассмотрим некоторые свойства функций, дифференцируемых на интервале (a, b). Эти свойства составляют содержание следующих трех теорем, важнейшей из которых является теорема Лагранжа ввиду многочисленности случаев ее применения как в теории, так и на практике.

Теорема Ролля. Если функция f(x):

1)непрерывна на отрезке [a, b],

2)дифференцируема на интервале (a, b),

3)принимает равные значения на концах отрезка [a, b], ò. å.

f(a) f(b),

то существует точка c (a, b) такая, что f (c) 0.

Теорема Лагранжа. Если функция f(x):

1)непрерывна на отрезке [a, b],

2)дифференцируема на интервале (a, b), то существует точка c (a, b) такая, что

f(b) f(a) f (c) (b a)	.	(3.30)

Формулу (3.30) называют формулой Лагранжа. Из нее оче- видным образом вытекает следствие.

Следствие. Непрерывная на отрезке [a, b] функция постоянна на этом отрезке тогда и только тогда, когда ее производная равна нулю в каждой точке интервала (a, b).

Теорема Коши. Если функции f(x) è g(x):

1)непрерывны на отрезке [a, b],

2)дифференцируемы на интервале (a, b),

3)производная g (x) 0 x (a, b),

то существует точка c (a, b) такая, что

	f(b) f(a)		f (c)	(формула Коши).	(3.31)
	g(b) g(a)		g (c)

231