Chuprigin_O_A_-_Matematicheskiy_analiz_predel_nepreryvnost_differentsiruemost_pdf

ном примере. Например, если пробегает числовую последова-

	1				1			Понятно, что фак-
тельность			, òî	lim cos			limcos2 n 1.
	2n			0 0		n

тическая зависимость (x) нам неизвестна.

Пример 3. Доказать, что для f(x) Ax2 Bx C промежуточ- ный пункт в формуле Лагранжа f(b) f(a) f ( )(b a) лежит

точно на средине отрезка [a, b], ò. å. a b .

						2
Действительно,
f(b) f(a) A(b2 a2 ) B(b a) ( A(b a) B) (b a)
		b a			a b
	2 A			B	(b a) f		(b a).
	2					2

Пример 4. Доказать неравенство

x x2 ln(1 x) x ïðè x 0. 2

Докажем сначала правую часть неравенства ln(1 x) x.

Рассмотрим функцию (x) x ln (1 x) на произвольном отрезке [0, x]. По формуле Лагранжа (все условия теоремы Лагранжа выполнены)

	(x) (0) ( ) (x 0),
	где точка (0, x). Òàê êàê (0) 0,	( ) 1			1			0,
					1		1
	x 0, то из равенства (x) ( )x	получаем (x) 0,						ò. å.
	ln (1 x) x.
	Докажем теперь неравенство x	x2	ln(1 x). Рассмотрим
		2

функцию (x) ln(1 x) x x2 снова на произвольном отрезке 2

	[0, x]. Òàê êàê	(0) 0, (x)	1		1 x, то по формуле Ла-
			1 x
	гранжа имеем
					2
		(x) (x) (0)				x 0,
				1
	òàê êàê x 0, (0, x).Следовательно, ln(1 x) x						x2	.
				2

242

Пример 5. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема внутри этого отрезка. Проверьте, что функция

x	f(x) 1
F(x) a f(a)		1
b	f(b)	1

удовлетворяет условиям теоремы Ролля, и получите формулу Лагранжа, пользуясь правилом дифференцирования определителя (см. п. 3.1.9).

Очевидно, что F(x) непрерывна на [a, b] и дифференцируема

на интервале (a, b), кроме того, F(a) F(b) 0. Тогда по теореме Ролля существует точка (a, b) такая, что F ( ) 0. Дифферен-

цируя определитель, получим
1 f ( )	0 1				f ( )	0
0 F ( ) a f(a)	1			a	f(a)	1

b f(b) 1 b a f(b) f(a) 0

f ( ) (b a) [f(b) f(a)],

что и требовалось доказать.
Пример 6. Пусть f(x) è g(x) удовлетворяют условиям теоремы
Коши. Проверьте, что функция
f(x) g(x) 1
F(x) f(a) g(a) 1

f(b) g(b) 1

удовлетворяет условиям теоремы Ролля, и получите формулу Коши, пользуясь правилом дифференцирования определителя (см. п. 3.1.9).

Функция F(x), очевидно, непрерывна на отрезке [a, b] è äèô-

ференцируема внутри этого отрезка, кроме того, F(a) F(b) 0. Тогда по теореме Ролля существует точка (a, b) такая, что F ( ) 0.

Следовательно,
f ( ) g ( )		0		f ( )	g ( )	0
0 F ( ) f(a)	g(a)	1		f(a)	g(a)	1
f(b)	g(b)	1	f(b) f(a) g(b) g(a) 0
[f(b) f(a)] g ( ) [g(b) g(a)] f ( ),
а это и есть формула Коши.

243

3.5. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ — БЕРНУЛЛИ

Сейчас мы рассмотрим один весьма полезный прием, позво-

ляющий раскрыть неопределенность типа 0 , т. е. вычислить 0

предел отношения f(x) , когда числитель и знаменатель дроби g(x)

одновременно стремятся к нулю. Этот метод обычно называют правилом Лопиталя, хотя имеется больше оснований связать его с именем И. Бернулли. Действительно, двадцатичетырехлетний И. Бернулли, находясь в Париже, принял предложение владельца богатейшего майората маркиза Лопиталя, имевшего репутацию одного из крупнейших французских математиков, прочитать ему курс лекций. Это был, вероятно, уникальный в истории математики случай, когда систематический курс дифференциального и интегрального исчисления, который до сих пор никто не преподавал, впервые был прочитан одному слушателю. При этом, по договоренности, Бернулли передавал Лопиталю заранее написанные тексты лекций. Вероятно, он думал воспользоваться записями впоследствии для создания своего курса, так как снимал копии лекций. Однако Лопиталь опередил своего учителя и издал в 1693 г. «Анализ бесконечно малых» — первый учебник по дифференциальному исчислению, в котором изложена часть лекций Бернулли, посвященная дифференциальному исчислению. И только через 50 лет, в 1742 г., увидели свет «Математические лекции о методе интегралов и других вопросах, написанные для знаменитейшего маркиза Лопиталя», где Бернулли начинает первую лекцию словами: «Выше мы видели, как находятся дифференциалы коли- честв...». Слово «выше» снабжено сноской, поясняющей, что автор имел в виду лекции по дифференциальному исчислению, «которые он счел нужным выбросить, так как все содержание их было включено знаменитым Лопиталем в пользующуюся всеобщим распространением книгу». Заметим, что «Лекции по исчислению дифференциалов» И. Бернулли были изданы только в 1922 г. Таким образом, правило Лопиталя, безусловно, следует называть правилом Лопиталя — Бернулли. Отметим, что в учебнике Лопиталя это правило высказано в геометрической форме и в весьма простом случае.

244

3.5.1. Раскрытие неопределенностей вида 0 0

Напомним, что lim f(x) представляет собой неопределен-

x.a g(x)

ность вида 0 , если предел числителя и предел знаменателя дроби 0

равны нулю. Раскрыть неопределенность — это значит найти указанный предел. Раскрытие неопределенностей сопряжено за- частую со значительными трудностями, так как при вычислении

предела отношения f(x) нельзя воспользоваться теоремой о пре- g(x)

деле частного.

Теорема 1 (правило Лопиталя — Бернулли).

Åñëè

1)функции f(x) è g(x) определены и дифференцируемы в окрестности точки a, кроме быть может, самой точки a,

2)lim f(x) lim g(x) 0,

x.a x.a

3)g 1(x) % 0 в указанной окрестности,

4)существует lim f 1(x) ,

x.a g 1(x)
тогда существует lim	f(x)	, причем lim	f(x)	lim	f 1(x)	.
x.a g(x)		x.a g(x)		x.a g 1(x)

Доказательство теоремы легко провести, воспользовавшись теоремой Коши (см. п. 3.4.1).

Практическая ценность правила Лопиталя заключается в том, что во многих случаях (мы убедимся в этом на многочисленных примерах) предел отношения производных находится легче, чем соответствующий предел отношения функций.

Обычно используют следующую краткую, но не вполне точ- ную формулировку правила Лопиталя:

предел отношения функций равен пределу отношения их производных, если последний существует.

Предостережение. Обращаем внимание читателя на весьма неосмотрительную, но довольно обычную ошибку, когда вместо дифференцирования отдельно числителя и знаменателя находят

производную всего выражения f(x) по правилу дифференциро- g(x)

вания дроби.

245

g 1(a)

имеем более простое утверждение.

Заметим, что в формулировке теоремы не требуется дифференцируемости и даже определенности функции в точке à, ведь, согласно определению предела функции при x . a, в самой точке à функция может быть и неопределенной. В частном случае, если функции f(x) è g(x) и их производные определены в точке

à, òî äëÿ lim f(x)

x.a g(x)

Теорема 11. Åñëè f(x) è g(x) определены в окрестности точки à, f(a) g(a) 0, cуществуют производные f 1(a) è g 1(a) % 0, тогда

lim	f(x)		f 1(a)	.	(3.37)
x.a g(x)			g 1(a)

Действительно, используя условие f(a) g(a) 0 и опреде-

ление производной, имеем

lim	f(x)	lim	f(x) f(a)	lim
x.a g(x)		x.a g(x) g(a)		x.a

f(x) f(a)

x a

g(x) g(a)

x a

	f 1(a)	.
	g 1(a)

Геометрический смысл равенства (3.37) заключается в том, что предел отношения ординат графиков функций y f(x) è y g(x) равен отношению ординат их касательных y f 1(a) (x a) è y

g 1(a) (x a), так как последнее отношение постоянно и равно f 1(a) .

Теорема 1 обобщается на односторонние пределы, когда x . a 0 èëè x . a 0, а также на случаи, когда x . /, x . /. Сформулируем одну из теорем подобного типа.

Теорема 2. Åñëè

1)функции f(x) è g(x) определены и дифференцируемы при

xc,

2)	lim f(x) lim g(x) 0,
	x. /	x. /
3) g 1(x) % 0 x [c, /],
4)	существует lim			f 1(x)		,
		x. / g 1(x)
то существует lim			f(x)		, причем lim			f(x)	lim	f 1(x)	.
		x. / g(x)					x. / g(x)		x. / g 1(x)

Замечание 1. Если условие 4) в теоремах 1 и 2 заменить условием lim f 1(x) / (a — число или символ /), то lim f(x) /, ò. å.

x.a g 1(x)

x.a g(x)

246

Пример 1. Найти lim

x 0

утверждение теорем имеет место и в этом случае несобственного предела.

sin x . x

Предложенный пример нам хорошо знаком — это первый замечательный предел. Вычислим его, используя правило Лопиталя.

Функции f(x) sin x è g(x) x удовлетворяют условиям теоремы 1.

Действительно:

1) f(x) è g(x) определены и дифференцируемы в окрестности точки a 0.

2) lim sin x lim x 0,

x 0 x 0

3) g (x) 1 0 x,

4) lim f (x) lim cosx 1.

x 0 g (x) x 0

Таким образом, по теореме 1 получаем lim sin x 1.

x 0 x

В данном случае можно было использовать теорему 1 , поскольку существуют производные f (0) g (0) 1. Тогда сразу получаем

lim sin x f (0) 1. x 0 x g (0)

Как видим, первый замечательный предел мы нашли совсем просто. Может сложиться впечатление, что нахождение первого замечательного предела по правилу Лопиталя действительно имеет неоспоримое преимущество перед другими методами вы- числения указанного предела. Однако это преимущество лишь кажущееся, поскольку применение правила Лопиталя требует нахождения производной функции f(x) sin x, а для нахождения этой производной как раз и используется первый замеча- тельный предел.

Может случиться, что после однократного применения прави-

ла Лопиталя отношение f (x) будет снова представлять собой не- g (x)

определенность типа 0 . Тогда при выполнении соответствующих 0

247

условий, применяют правило Лопиталя повторно и получают равенство

lim

f(x)

lim

f (x)

lim

f (x)

.

x a g(x)

x a g (x)

x a g (x)

Пример 2. Найти lim

sin x x

.

x 0

x3

Выражение

sin x x

ïðè x 0 является неопределенностью

x3

òèïà 0 . Условия 1), 2), 3) теоремы 1 удовлетворяются. Если рас- 0

смотреть предел отношения производных
lim	(sin x x)	lim	cosx 1	,
x 0 (x3 )		x 0 3x2

то снова получим ту же неопределенность, причем условия теоремы 1 также удовлетворяются. Применив теорему 1 еще раз, получим

lim

cosx 1

lim

(cosx 1)

lim

sin x

1

.

x 0 3x2

x 0 (3x2 )

x 0 6x

6

Таким образом, lim

sin x x

1

.

x 0

x3

6

Обычно при многократном использовании правила Лопиталя

записывают цепочку равенств

lim

f(x)

lim

f (x)

lim

f (x)

....

x a g(x)

x a g (x)

x a g (x)

Все эти равенства носят условный характер до тех пор, пока мы не получим отношение производных, предел которого существует. По смыслу эта цепочка равенств должна читаться с конца: так как если предел последнего отношения существует, то на основании теоремы 1 существует и равен ему предел предпоследнего отношения и так далее.

Иной раз, перед тем как применить правило Лопиталя, соот-

ношение f(x) преобразовывают, заменяя числитель (или знаме- g(x)

натель) эквивалентной величиной, с тем расчетом, чтобы произ-

248

водная от новой величины была менее сложной. Понятно, что та-

кое преобразование не меняет предел lim f(x) . g(x)

Пример 3. Найти lim (ex 1) (arcsin x)2 . x 0 x arctg x

В данном случае имеем неопределенность вида 0 . Производ- 0

ная числителя будет довольно сложным выражением. Поэтому воспользуемся следующими соотношениями при x 0: ex 1 ~ x, arcsin x ~ x.

Тогда, заменив предварительно отдельные множители эквивалентными величинами, а затем применив правило Лопиталя,

получим

lim

(ex 1) (arcsin x)2

lim

x3

x 0

x arctg x

x 0 x arctg x

lim

3x2

lim

3x2 (1 x2 )

3.

1

x 0

1

x 0

x2

1 x2

Замечание 2. Было бы грубой ошибкой, используя соотношение arctg x ~ x ïðè x 0, заменить в знаменателе arcctg x íà õ.

3.5.2. Раскрытие неопределенностей вида

Правило Лопиталя можно применять и для раскрытия неоп-

ределенностей вида (в таком случае его называют правилом

Штольца).

Теорема 3 (правило Штольца). Если выполняются условия 1), 3), 4) теорем 1 è 2, а вместо условия 2) выполняется

условие lim f(x) lim g(x) (a — число или символ ), òî ñó-

x a x a

ществует

lim	f(x)	, причем lim	f(x)	lim	f (x)	.
x a g(x)		x a g(x)		x a g (x)

249

x 0 0

Пример 4. Найти lim	ln x	( p 0).
x xp
Ïðè x отношение lim			ln x		( p 0) представляет собой
	x xp

неопределенность типа . Рассмотрим предел отношения произ-

водных

1

(ln x)

1

lim

lim

x

lim

0.

1

x (xp )

x pxp

x pxp

Тогда по теореме 3 имеем

lim

ln x

0

( p 0).

x xp

Замечание 3. Из теоремы Лагранжа (см. п. 3.4.1) следует, что

åñëè lim f(x) (a — конечное число), то lim f (x) также равен

x a x a

бесконечности, если он существует. Поэтому однократное применение правила Штольца приводит чаще всего снова к неопреде-

ленности вида . Однако и в этом случае правило Штольца ока-

зывается полезным на практике, если отношение производных получается более простым, чем отношение функций.

Пример 5. Найти lim ln sin x ( 0, 0). ln sin x

Очевидно, мы имеем неопределенность вида . Рассмотрим

предел отношения производных

lim	(ln sin x)		lim
x 0 0 (ln sin x)			x 0 0

cos x sin x . cos x

sin x

Âсвязи с предыдущим замечанием нет ничего удивительного

âтом, что мы снова получили неопределенность вида . Но отно-

шение производных проще, чем отношение функций, и после оче-

250

видных преобразований все сводится к неопределенности вида 0 , 0

которую раскрываем без использования правила Лопиталя:

cos x

cos x sin x

lim

sin x

lim

cos x

x 0 0

x 0 0

cos

sin

x

x

sin x

lim

cos x

sin x

x

1.

sin

cos

x

x

x

x 0

0

Таким образом, по теореме 3 имеем

lim

ln sin x

1 ( 0, 0).

x 0 0 ln sin x

1

Пример 6. Найти lim

e

x2

.

x 0 x20

Мы имеем здесь неопределенность вида

0

. Если применить

0

правило Лопиталя, то получим

1

1

1

lim

e

x2

lim

e x2

2x

3

1

lim

e

x2

.

x 0 x20

x 0 20 x19

10 x 0 x22

1

x2

Новое отношение

e

снова есть неопределенность того же

22

x

òèïà ïðè x , но оно «хуже» предыдущего, так как степень знаменателя возросла. Очевидно, что повторное применение правила Лопиталя ведет к еще большей степени в знаменателе и со-

хранению все той же неопределенности. Чтобы этого избежать,

сделаем предварительно замену переменной y

1

. Тогда

2

x

1

e y

y10

lim

e x2

lim

lim

,

x 0 x20

y

1

y ey

y10

251