Поток вектора напряженности электрического поля

Число линий вектора , пронизывающих некоторую поверхность, называетсяпотоком N вектора напряженностичерез эту поверхность. Если поверхностьSплоская и перпендикулярна силовым линиям, а поле (Е) однородно (рис.3.2,а), то очевидно, что

N=ES.

а) б)

Рис.3.2

Если нормаль к плоской поверхности составляет угол α с силовыми линиями (рис.3.2, б), то:

N=EScosα=E_n·S (3.5)

Наконец, в случае неоднородного поля и произвольной формы поверхности, разобьем ее на элементарные площадки dS. ПотокdNчерез такую площадкуdSравен:

dN=E_ndS, (3.6)

где E_n=E·cosα– проекция векторана нормаль, а поток через всю поверхность

(3.7)

Теорема Остроградского – Гаусса и ее применение к расчету полей

Определим поток Nвектора напряженности поля зарядовQ₁,Q₂, …Q_nчерез произвольнуюзамкнутуюповерхность, окружающую эти заряды.

Рассмотрим сначала случай сферической поверхности S_сфрадиусомr, в центре которой в вакууме (ε =1) находится точечный зарядQ(рис.3.3)

Рис.3.3

Напряженность Е во всех точках поверхности сферы одинакова, а линии вектора Е перпендикулярны поверхности сферы. Тогда согласно (3.4) и (3.7) поток N_Eв вакууме

Так как площадь поверхности сферы S = 4πr², то

,

и поток вектора напряженности заряда Q

(3.8)

Окружим теперь заряд замкнутой поверхностью Sпроизвольной формы. Как видно из рис. 3.3, каждая силовая линия, пронизывающая сферу, пронижет и поверхностьS. Следовательно, формула (3.8) справедлива и для любой замкнутой поверхности.

Если поток Nсоздаетсяnзарядами, то он равен сумме потоков, создаваемых каждым из зарядов:

или окончательно:

(3.9)

Формула (3.9) выражает теорему Остроградского-Гаусса:поток вектора напряженности N через любую замкнутую поверхность, пропорционален алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности.

В случае равномерного распределения заряда по объему Vтела с объемной плотностьюρформула (3.9) может быть записана.

Поле равномерного заряженной бесконечной прямолинейной нити

Пусть бесконечная нить или тонкий цилиндр (рис3.4) заряжен равномерно с линейной плотностью заряда τ(τ=dQ/dℓ- заряд, приходящийся на единицу длины). Из соображений симметрии следует, что линии вектора Е радиально расходятся от нити перпендикулярно ей: Е=Е_n

Рис.3.4

Окружим участок нити длиной ℓ коаксиальной с ней цилиндрической замкнутой поверхностью радиусом r. ПотокNчерез ее торцы равен нулю и, следовательно, полный поток равен потоку через боковую поверхность:

N_Е=ES=E2πrℓ

По теореме Остроградского-Гаусса (3.9)

Приравняв правые части, получим

. (3.10)

Если у нас цилиндр радиуса Rи зарядQсосредоточен на поверхности, то для точекr<R(т.е. внутри цилиндра) Е=О.