Свободные затихающие колебания

Реально любое свободное колебание системы является затухающим. Пусть на колеблющееся тело действует лишь одна сила сопротивления среды

,

где r-коэффициент сопротивления среды.

Для этого случая второй закон Ньютона можно записать

Разделим на mи обозначим,. Тогдадифференциальное уравнение свободных затухающих колебанийлинейной системы будет иметь вид:

, (4.9)

где х-колеблющаяся величина;β-коэффициент затухания;ω₀-собственная циклическая частота колебаний. Решение уравнения (4.9) будем искать в виде:

(4.10)

Найдя и, подставим в (4.8) и получим:

или

Обозначая , запишем:

- уравнение гармонических колебаний типа (4.4)

Решением его будет:

(4.11)

Период

Подставляя (4.11) в уравнение (4.10), получим решение уравнения (4.9):

,

где (4.12)

это уравнение изменения амплитуды со временем tдля затухающих свободных колебаний. Скорость затухания определяется коэффициентом:

Отношение двух амплитуд, отличающихся по времени на величину Т, называется декрементом затухания:

Логарифмический декремент затухания

,

где τ-время релаксации (время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается ве раз);

N-число колебаний за времяτ.

Логарифмический декремент величина постоянная для данной системы. Системы характеризуются такжедобротностью:

При затухающих колебаниях энергия системы расходуется на преодоление сопротивления среды. Если восполнять эту убыль энергии, то колебания станут незатухающими. Пополнение энергии может осуществляться за счет периодических толчков извне в такт с собственной частотой системы, тогда достигается механический резонанс. Особый технический интерес представляют устройства, имеющие возможность самой колеблющейся системе управлять этим процессом (анкерный механизм часов, ламповый генератор и др.). Такие системы называютсяавтоколебательными.

В электрическом колебательном контуреприR≠0 колебания также будут затухающими, и описываются уравнением (4.8). Обозначая черези, получим для контура дифференциальное уравнение второго порядка:

, (4.13)

решением его будет ,

где частота меньше собственной.

Добротность контура при этом:

Вынужденные колебаниявозникают в системе под действием внешней периодически меняющейся силы. Рассмотрим это на примере электрического колебательного контура, в котором роль вынуждающей силы будет играть внешняя ЭДС периодически изменяющаяся по гармоническому закону. Тогда уравнение (4.13) запишется:

(4.14)

Общее решение неоднородного уравнения (4.14) позволяет для установившегося режима колебаний получить для тока в контуре:

,

где и.

При постоянном Rамплитуда токаI₀будет максимальна при. Тогдаиω=ω₀. Наблюдается явление резонанса. Зависимость амплитуды вынужденных колебанийI₀от частоты ω вынуждающей силы и коэффициента затухания β показана на рис.4.5.

Рис. 4.5

Изменение амплитуды колебаний в системе в результате периодического изменения какого-либо параметра системы (R,Lили С) называютпараметрическим резонансом.