6. Статистическая физика и термодинамика

6.1. Элементы молекулярно-кинетической теории

Молекулярно-кинетическая теорияизучает физические свойства тел, исходя из представления об их молекулярном строении. Она пользуется статистическим методом, изучая не движение отдельных молекул, а те средние величины (скорость, давление, температура, энергия и т.д), которые характеризуют это движение, и макроскопические процессы, с которыми они связаны.

Термодинамикарассматривает наиболее общие свойства макроскопических тел, находящихся в состоянии термодинамического равновесия, и процессы изменяющие эти состояния, не вдаваясь в микроскопическое строение тел. В основе термодинамики лежит несколько фундаментальных законов, установленных опытным путем и имеющих весьма общий характер.

Модель идеального газа

Молекулярно-кинетическая теория рассматривает модель идеального газа, удовлетворяющую следующим условиям:

1. размеры молекул пренебрежимо малы, их принимают за материальные точки;

2. не учитываются силы взаимодействия между молекулами;

3. столкновение молекул друг с другом и со стенками сосуда считаются абсолютно упругими.

Этим условиям удовлетворяют обычные газы при невысоких давлениях и температурах (например, воздух в комнате).

Состояние некоторой массы газа определяется значением основных параметров:

Р – давление, в СИ – системе измеряется в Па;

V– объем, в СИ – системе измеряется в м³;

Т – температура, в СИ измеряется в Кельвинах. Температура– физическая величина, характеризующая состояние термодинамического равновесия системы, обусловленная движением молекул.

Соотношения, устанавливающие связь между параметрами, называются уравнениями состояния.

Поведение идеальных газов описывается рядом законов, являющихся обобщением экспериментальных данных:

1. Закон Авогадро: моли любых газов при одинаковых температурах и давлениях занимают одинаковые объемы (моль – это такое количество вещества, масса которого численно равна его молекулярной массе). При нормальных условиях (Р=1,013333·10⁵Па, Т=273,15 К) объем моля равен 22,4·10^-3м³.

По определению в одном моле различных веществ содержится одинаковое количество молекул, называемое числом Авогадро:

N_А=6,022·10²³моль^-1.

2. Закон Дальтона: давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси:

Здесь Р_i– парциальное давление, т.е. давление, которое оказывал бы один из газов смеси, если бы он один занимал весь объем, в котором находится смесь.

3. Уравнение Менделеева – Клапейрона, илиуравнение состояния, связывающее между собой параметры идеального газа:

(6.1)

Здесь m– масса газа; μ – его молярная масса,- число молей,R= 8,31 Дж/моль · К – универсальная газовая постоянная.

Из формулы (6.1) можно выразить плотность вещества газа:

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов

С позиций молекулярно-кинетической теории, находящийся в сосуде газ является совокупностью множества хаотически движущихся молекул. В процессе движения молекулы, ударяясь о стенки сосуда, действуют на них с некоторой силой. Отнесенная к единице площади, эта сила определяет давление газа. Итак, давление газа объясняется тепловым движением молекул и проявляется вследствие их ударов о стенки сосуда.

Рассмотрим сосуд объемомV, в котором находитсяNмолекул, и определим давление, которое они оказывают на одну из стенок при направленном движении вдоль оси Х. При каждом упругом столкновении молекула массойm₀передаст стенке импульс Δр_i=2m₀V_x(рис.6.1).

Рис.6.1

Молекула проходит расстояние L, двигаясь свободно вдоль оси Х, за времяL/V_x. Следовательно за времяdtмолекула столкнется со стенкойV_xdt/2Lраз и передаст ей импульс, а всеNмолекул

По второму закону Ньютона (см. формулу 2.14) dp/dt=F. В нашем случае сила, с которой молекулы действуют на стенку, равна

Введем обозначение

,

называемое средней квадратичной скоростью молекул. Тогда

или, разделив на площадь стенки S, найдем давлениеNмолекул на стенку

Произведение LS=Vесть объем сосуда. Тогда

PV=Nm₀ (6.2)

Так как в сосуде молекулы одинаково движутся по всем осям координат, то

Поэтому

откуда:

Подставив величинув уравнение (6.2), найдем:

(6.3)

где(6.4)

выражаетсреднюю кинетическую энергию поступательного движениямолекулы.

Сравнивая уравнение (6.3) с уравнением Менделеева - Клапейрона (6.1), получим

(6.5)

Предположим, что в сосуде находится 1 моль идеального газа. Тогда, число молекулNравно числу АвогадроN_Аи уравнение (6.5) для 1 моля газа примет вид

,

откуда

(6.6)

т.е. абсолютная температура Т газа пропорциональна средней кинетической энергиипоступательного движения его молекул. ОбозначивR/N_A=k, которая является постоянной Больцмана, получим

(6.7)

k= 1,38 · 10^-23Дж/К

Подставляя формулу (6.7) в (6.3) найдем

PV=NkT

или

P = n₀ kT, (6.8)

где - число молекул в единице объема или их концентрация.

Уравнение (6.8) имеет универсальный характер, так как в него не входят величины, зависящие от природы газа, и называется основным уравнением молекулярно –кинетической теории.

Воспользуемся формулой (6.4) и определим среднюю квадратичную скорость. Так как

,

то

(6.9)

В молекулярно – кинетической теории есть и другие величины, зависящие от температуры и массы:

а) средняя арифметическая скорость поступательного движения молекулы:

(6.10)

где V₁,V₂, …,V_n– скорости отдельных молекул,N– их число;m₁-масса одной молекулы;

б) наиболее вероятная скорость:

(6.11)

С позиций молекулярно – кинетической теории абсолютный нуль температуры по шкале Кельвина соответствует такому состоянию идеального газа, когда движение молекул прекращается и давление Р = 0.