γэкс. = CP = M ( v )2 ,

CV RT

8.Сравните экспериментально полученные значения показателя адиа-

баты для воздуха с теоретическим значением γтеор., считая молекулы воздуха двухатомным газом (7.22).

9.Результаты расчетов занесите в табл. 7.2.

Таблица 7.2

Отсчеты по шкале, соот-

Сред-

ветствующие макси-

ние

∆x ,

λ,

v,

Час-

мальному смещению

значе

∆x

v

Т

γэкс

γтеор.

тота,

луча на осциллографе,

ния

мм

мм

м

м/с

м/

К .

Гц

мм

отсче

с

При

перемещении

тов

поршня,

xi ,

влево

вправо

влево

мм

ν1

…

ν2

…

ν3

…

Контрольные вопросы

1.Поясните образование стоячей волны.

2.Получите уравнение стоячей волны.

3.На каком расстоянии друг от друга находятся соседние пучности стоячей вол-

ны?

4.Как связана скорость распространения волны с частотой и длиной волны?

5.Как определяется длина волны в данной работе?

6.Почему процесс распространения звуковой волны является адиабатическим?

7.Какие значения может принимать величина γ =CP CV в зависимости от числа

степеней свободы молекулы?

8. Как определяется энергия, переносимая волной?

141

Глава 8. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

Термодинамической системой называется некоторая совокупность тел, обменивающихся энергией как между собой, так и с другими телами, внешними по отношению, к этой системе. Состояние системы определяется значениями всех величин, характеризующих физические свойства сис-

темы и называемых ее термодинамическими параметрами.

Важнейшими параметрами состояния химически однородной системы являются объем V, давление Р и температура Т. Между этими тремя основными параметрами состояния существует связь, называемая уравне-

нием состояния: f(P,V,T) = 0.

Состояние, в котором хотя бы один из параметров не имеет определенного значения, называется неравновесным. Состояние термодинамической системы будет равновесным, если все параметры состояния будут иметь определенные значения, не изменяющиеся с течением времени.

Термодинамические системы, которые не обмениваются с внешней средой ни веществом, ни энергией называются изолированными (или замк-

нутыми).

Термодинамическим процессом называется переход системы из одного состояния в другое. Бесконечно медленный процесс оказывается состоящим из последовательных равновесных состояний. Такой процесс называется равновесным (или квазистатическим). Бесконечно медленный процесс считается абстракцией. Практически можно считать квазистатическим процесс, протекающий настолько медленно, что отклонения значений параметров состояния от равновесных пренебрежимо малы.

При изменении направления равновесного процесса (например, замена сжатия газа расширением) система будет проходить через те же равновесные состояния, что и при прямом ходе, но в обратной последовательности. Поэтому равновесные процессы называют также обратимыми.

Зная уравнение состояния для вещества, и используя законы термодинамики, можно изучать его свойства в различных агрегатных состояниях. Простейшей моделью газообразного состояния является идеальный газ. Идеальным называется газ, в котором отсутствуют силы межмолекулярного взаимодействия. Молекулы такого газа ведут себя как абсолютно упругие шарики. Их размерами можно пренебречь, а взаимодействие между ними сводится к случайным упругим столкновениям.

Многочисленные опыты показали, что реальные газы при не слишком низких температурах и достаточно малых давлениях по своим свойствам близки к идеальным газам. Так, например, водород и гелий уже при атмосферном давлении и комнатной температуре ведут себя практически как идеальные газы.

Опытным путем было установлено, что при обычных условиях (то есть при комнатной температуре и атмосферном давлении) параметры со-

142

стояния таких газов, как кислород и азот, довольно хорошо подчиняются уравнению

PV	= b ,	(8.1)
T

где b – константа, пропорциональная массе газа.

Для разреженных газов количество вещества которых ν моль, уравнение состояния имеет вид:

PV =νRT ,

(8.2)

где R – молярная газовая постоянная.

Процессы, которые происходят в газах, подчиняются одному из ос-

новных законов природы – закону сохранения и превращения энергии. Вы-

ражением этого закона является первое начало термодинамики. В достаточно общей форме оно может быть сформулировано так: изменение полной энергии ∆W системы при переходе ее из одного состояния в другое равно сумме совершенной над системой работы А' и сообщенного ей коли-

чества теплоты: ∆W = A' + Q. Если вместо совершенной над системой работы А' ввести равную ей по величине, но противоположную по знаку работу А, совершаемую системой над внешними телами (А' = –А), и положить, что ∆W = ∆U, то получим:

Q =∆U + A

(8.3)

где ∆U – изменение внутренней энергии системы. Отсюда вытекает сле-

дующая формулировка первого начала термодинамики: количество теплоты, сообщенное системе, расходуется на увеличение ее внутренней энергии и на совершение системой работы против внешних сил.

Количеством теплоты называется энергия, передаваемая от одного тела к другому в процессе теплообмена. Очень важным является случай, когда газ или пар в результате некоторого процесса возвращается в перво-

начальное состояние, то есть ∆U = 0, а это значит,	что
A = Q ,	(8.4)

то есть работа равна подведенному извне количеству теплоты. Тогда можно сформулировать первый закон термодинамики следующим образом:

нельзя построить периодически действующий двигатель, который совершал бы работу без подвода энергии извне или совершал бы работу, большую, чем количество сообщенной ему извне энергии (вечный двигатель первого рода невозможен).

Среди процессов, которые могут происходить в газах, наиболее часто приходится иметь дело с изопроцессами. Так называют процессы в газах, при которых один из трех параметров состояния сохраняется постоянным.

Такими процессами могут быть: изобарический, изохорический, изотермический.

143

Изохорическим процессом называется такой процесс, при котором система переходит из одного состояния в другое при неизменном объеме

(V = const) (рис. 8.1).

Изобарическим называется процесс, когда система переходит из одного состояния в другое при постоянном давлении (Р = const).

Изотермическим называется процесс, когда система переходит из одного состояния в другое при постоянной температуре (T = const).

Адиабатическим называется такой процесс, когда система переходит из одного состояния в другое без теплообмена с внешними по отношению к этой системе телами. Практически адиабатный процесс всегда происходит при достаточно быстром расширении или сжатии газа. Условие адиабатичности будет выполнено, если процесс протекает так быстро, что теплообмен между газом и внешней средой не успевает произойти.

Из рисунка 8.1 видно, что адиабата идет круче, чем изотерма. Объясняется это тем, что при адиабатном сжатии увеличение давления газа обусловлено не только уменьшением его объема, как при изотермическом сжатии, но и повышением температуры. При адиабатном расширении газа его температура понижается, и поэтому давление газа падает быстрее, чем при изотермическом расширении.

Рисунок 8.1

Адиабатический процесс происходит при полной термодинамической изолированности системы, то есть этот процесс протекает за счет изменения внутренней энергии системы.

Внутренней энергией газа U в первом приближении можно назвать кинетическую и потенциальную энергию его молекул. Известно, что средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа:

U =	i	kT ,	(8.5)
2

144

где i – число степеней свободы молекулы; k = 1,38 . 10–23 Дж/К – постоянная Больцмана; Т – абсолютная температура.

Числом степеней свободы тела i называется число независимых координат, которые необходимо задать для того, чтобы полностью определить положение тела в пространстве. Так, например, материальная точка, произвольно движущаяся в пространстве, обладает тремя степенями свободы (координаты X , Y, Z).

Молекулы одноатомного газа можно рассматривать как материальные точки на том основании, что масса такой частицы (атома) сосредоточена в ядре, размеры которого очень малы (~10–13 см). Поэтому молекула одноатомного газа может иметь лишь три степени свободы поступательного движения.

Молекулы, состоящие из двух, трех и большего числа атомов, не могут быть уподоблены материальным точкам. Молекула двухатомного газа в первом приближении представляет собой два жестко связанных атома, находящихся на некотором расстоянии друг от друга (рис. 8.2).

Такая молекула, помимо трех степеней свободы поступательного движения, имеет еще две степени свободы вращательного движения вокруг

Рис. 8.2

осей О1 – О1 и О2 – О2. Вращение вокруг третьей оси О – О рассматривать не следует, так как момент инерции атомов относительно этой оси ничтожно мал, а следовательно, ничтожно мала и кинетическая энергия молекулы, связанная с этим вращением.

Молекулы трех – и многоатомных газов (рис. 8.3) подобно абсолютно твердому телу обладают тремя степенями свободы поступательного движения и тремя степенями свободы вращательного движения. От числа степеней свободы, которыми могут обладать молекулы газа, зависит их теплоемкость

Рис. 8.3

Опыт показывает, что на каждую степень свободы поступательного движения молекулы газа приходится одинаковая кинетическая энергия, равная

W '=1 kT .	(8.6)
2

В идеальном газе нет сил взаимодействия между молекулами, а следовательно, равна нулю их взаимная потенциальная энергия. Поэтому для

145

одного моля идеального газа внутренняя энергия будет равна сумме кинетических энергий N молекул:

	i			i
U =		N A kT	=		RT ,	(8.7)
	2			2
где Т – абсолютная температура газа;			R – универсальная газовая постоян-

ная; Na – число Авогадро.

Теплоемкостью называется величина, равная количеству теплоты, которое нужно сообщить веществу, чтобы повысить его температуру на один кельвин.

Удельной теплоемкостью называется физическая величина, численно равная количеству теплоты, которое надо сообщить единице массы этого вещества для увеличения ее температуры на один кельвин. Кроме того, часто пользуются молярной (мольной) теплоемкостью, которая, в отличие от удельной теплоемкости, отнесена не к одному килограмму, а к одному молю вещества.

Очевидно, что

С = с М,

где С – молярная теплоемкость; М – молекулярная масса вещества; с – удельная теплоемкость.

У газа различают теплоемкость при постоянном объеме Сv и теплоемкость при постоянном давлении Сp.

При постоянном объеме работа внешних сил равна нулю, и все сообщаемое газу извне количество теплоты идет целиком на увеличение его внутренней энергии U. Отсюда молярная теплоемкость газа при постоянном объеме Сv численно равна изменению внутренней энергии одного моля газа ∆U при повышении его температуры на 1К:

∆U =	i	R (T +1) −	i	RT =	i	R.	(8.8)
2		2		2

Таким образом, молярная теплоемкость газа при постоянном объеме

C	=	i	R,	(8.9)
v	2

удельная теплоемкость при постоянном объеме

c	=	i		R	.	(8.10)
v		2 M

При нагревании газа при постоянном давлении газ расширяется, сообщаемое ему извне количество теплоты идет не только на увеличение его внутренней энергии U, но и на совершение работы А против внешних сил.

Следовательно, теплоемкость газа при постоянном давлении больше теплоемкости при постоянном объеме на величину работы А, которую совершает один моль газа при расширении, происходящем в результате повышения его температуры на 1К при постоянном давлении Р:

146

Можно показать, что для моля газа работа А = R, тогда

С	p	= C	+R =	i +2	R.	(8.11)
		v
			2

Пользуясь соотношением между удельными и молярными теплоемкостями, находим для удельной теплоемкости:

C p =	i +2		R	.	(8.12)
2			M

Непосредственное измерение удельных и молярных теплоемкостей затруднительно, так как теплоемкость газа составит ничтожную долю теплоемкости сосуда, в котором находится газ, и поэтому измерение будет чрезвычайно неточно.

Проще измерить отношение величин Сp/Сv :

	γ =	Сp	=	i +2	.	(8.13)
		Cv		i

Это отношение зависит только от числа степеней свободы молекул, из которых состоит газ.

Лабораторная работа № 17

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ УДЕЛЬНЫХ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ГАЗОВ

Цель работы

Целью настоящей работы является определение отношения удельных теплоемкостей воздуха при постоянном давлении и при постоянном объеме.

Описание лабораторной установки

Установка состоит из стеклянного баллона 1 (рис. 8.4), соединенного резиновым шлангом 2 с манометром, прикрепленным к стойке со шкалой 3. Вторая стеклянная трубка соединена резиновой трубкой с ручным насосом 4. Кран 5 (см. рисунок на лабораторном столе) позволяет соединять баллон с насосом (положение "а") или атмосферой (положение "б"), либо отсоединить от того и другого одновременно (положение "в").

Методика эксперимента

Пусть первоначально в сосуде было атмосферное давление. С помощью насоса 4 накачаем в сосуд небольшое количество воздуха и закроем кран 5. Так как нагнетание воздуха производится быстро, то можно считать, что теплообмен с окружающей средой не успевает произойти, и этот процесс будет приблизительно адиабатическим.

Давление воздуха в сосуде и температура вначале повысятся. Затем давление воздуха внутри сосуда станет уменьшаться вследствие того, что

147

нагретый воздух будет охлаждаться из–за теплопередачи через стенки сосуда. Уменьшение давления прекратится, когда температура воздуха внутри сосуда сравняется с температурой окружающего воздуха, при этом в манометре установится окончательная разность уровней жидкости h1 .

Рис. 8.4 Схема лабораторной установки

Обозначим через T1 абсолютную температуру окружающего воздуха и через P1 – давление воздуха внутри сосуда, соответствующее показанию манометра h1 . Очевидно, что

P1 = Pо + ρgh1,

(8.14)

где Pо – атмосферное давление, ρ – плотность манометрической жидкости, g – ускорение свободного падения.

Два параметра T1 и P1 характеризуют состояние воздуха, которое мы назовем первым состоянием (1 состояние: T1 , P1).

Если теперь быстро откроем кран 5, то воздух в сосуде будет расширяться адиабатически, пока давление его не сравняется с атмосферным Pо, при этом он охладится до температуры Т2 – это будет вторым состоянием воздуха (2 состояние: T2, Pо).

Если затем сразу же снова закрыть кран 5, то давление внутри сосуда начнет возрастать вследствие того, что охладившийся при расширении воздух в сосуде снова станет нагреваться. Возрастание давления прекратится, когда температура воздуха в сосуде сравняется с внешней температурой Т1 – это будет третьим состоянием воздуха (3 состояние: Т1, P2).

Обозначим давление воздуха в сосуде в этот момент через P2 и соот-

ветствующее показание манометра через hz .	Очевидно, что
P2 = Pо + ρghz .	(8.15)
Так как переход от второго к третьему состоянию произошел без из-
менения объема, то мы вправе применить здесь закон Гей–Люссака:
P2/Т1 = Pо/T2	(8.16)

148

К процессу адиабатического расширения, то есть к переходу из первого состояния во второе, может быть применен закон Пуассона, который удобно написать в следующей форме:

P	γ –1 / Т	γ = P γ –1	/ T γ	(8.17)
1	2	о

где γ – отношение удельных теплоемкостей газа при постоянном давлении и при постоянном объеме cp/cv. Подставляя сюда значение P1 из уравнения (8.14) и переставляя члены, получим:

P

+ ρgh

γ −1

T

γ

ρgh

γ −1

T −T

γ

o

1

=

1

,

или

1+

1

= 1+

1 2

.

P

P

T

T

o

2

o

2

ρgh

T −T

Так как

1

и

1

2

––

величины малые по сравнению с еди-

P

T

o

2

ницей, то, разлагая оба двучлена по биному Ньютона и ограничиваясь членами первого порядка малости, получим:

1+(γ −1)				ρgh1		=1+γ			T1 − T2	,
									T
					P
откуда					o			2
	T1−T2
Pо			=		γ −1		ρgh1	.		(8.18)
	T2				γ

Выражение, стоящее в левой части уравнения, есть h2; действительно, подставив в уравнение (8.15) из уравнения (8.16) и разрешив его относительно h2, получим:

h	= P	T1	−T2	.	(8.19)
2	о	ρgT2

Следовательно, разделив (8.18) на (8.19), можно написать:

h	= h γ	−1 .	(8.20)
2	1	γ

Соотношение (8.20) используется в данной работе для определения показателя адиабаты.

Порядок выполнения работы

1.Повернуть кран 5 так, чтобы установить сообщение баллона 1 только с насосом.

2.Осторожно действуя насосом 4, быстро накачать воздух в сосуд 1. Когда разность уровней в манометре достигнет 30–35 делений шкалы, закрыть кран 5.

3.После того, как давление установится, то есть температура внутри сосуда станет равна температуре окружающей среды, а показание мано-

149

метра перестанет изменяться, произвести отсчет h1 по разности уровней жидкости в обоих коленах манометра.

4.Быстро открыть кран 5, установив сообщение сосуда с атмосферой. Как только уровни жидкости в манометре сравняются, так же быстро закрыть кран.

5.Когда давление установится, произвести второй отсчет h2.

6.Опыт повторить 10 раз.

7.Результаты измерений занести в таблицу 8.1.

Обработка результатов

1.По формуле (8.20) рассчитайте для каждого опыта значение показателя адиабаты γ. Результаты расчета занесите в таблицу.

2.Рассчитайте среднее значение из 10 значений, используя метод Стьюдента, и доверительный интервал для 95% доверительной вероятности. Результат занесите в табл. 8.1

Таблица 8.1

№		Показания манометра			γ
опыта
		h1, делений		h2, делений
1
2
3
…
10
	Среднее из 10 значений < γ > ± ∆ γ
			Контрольные вопросы

1.Дайте определения удельной и молярной теплоемкостей вещества.

2.Чем различаются молярная и удельная теплоемкости? Какая связь между ни-

ми?

3.Как выражается молярная теплоемкость при постоянном давлении?

4.Как выражается молярная теплоемкость при постоянном объеме?

5.Как выражается удельная теплоемкость при постоянном давлении?

6.Как выражается удельная теплоемкость при постоянном объеме?

7.Что называется числом степеней свободы молекул газа и от чего оно зависит?

8.Как зависит средняя кинетическая энергия молекулы газа от числа степеней свободы?

9.Выведите уравнение Майера.

10.Дайте определения изотермического, изобарического и изохорического про-

цессов.

11.Какой процесс называется адиабатическим? Выведите формулу работы газа при адиабатическом процессе.

150