Особое внимание обратите на то, чтобы разность уровней h1 при накачивании во всех пяти опытах была одинакова. Результаты опытов запишите в таблицу 19.1. Определите комнатную температуру воздуха и атмосферное давление. Эти данные в единицах СИ запишите в табл. 8.7.

Обработка результатов измерений

1.По формулам (8.33) и (8.34) вычислите изменение энтропии для каждого опыта.

2.Рассчитайте средние значения ∆SI →II и ∆SIII →IV .

Таблица 8.6

Экспериментальныерезультаты

Разность уровней жидкости

Изменение энтропии, Дж/К

Номер

в коленах манометра, м

при охлаждении

при нагревании

опыта

h1

h2

h3

∆S

I →II

∆

∆S

III

→

IV

∆S

III →IV

SI →II

1

…

5

Таблица 8.7

Параметрыустановкииусловияэксперимента

Атмосферное	Объем бал-	Комнатная	Ускорение сво-	Плотность маномет-
давление	лона с воз-	температура	бодного падения	рической жидкости ρ,
ρо, Па	духом	То, К	g, м/с2	кг/м3
	Vо, м3
		Контрольные вопросы

1.Какие процессы называют обратимыми и необратимыми?

2.Что такое энтропия? Какова связь между энтропией и вероятностью состояния?

3.Как изменяется энтропия в обратимых и необратимых процессах?

4.Сформулируйте второе начало термодинамики. В чем заключается статистический смысл второго начала термодинамики?

5.Что называется приведенным количеством теплоты?

161

Глава 9. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА

9.1. Тепловое движение молекул

Статистическая физика имеет дело с равновесными состояниями и с обратимыми процессами. Наука, изучающая процессы, возникающие при нарушениях равновесия, носит название физической кинетики.

Непрерывный и хаотичный характер теплового движения молекул приводит к ряду явлений, называемых процессами переноса, когда макроскопически из одной части системы в другую переносятся масса, энергия или импульс. Явления переноса носят необратимый характер.

Но прежде чем рассматривать явления переноса, надо иметь некоторые количественные оценки самого теплового движения. Так как все изменения в системе происходят в результате столкновений, то необходимо определить, сколь часто они происходят и от чего зависят.

Вероятность столкновений молекул определяется их поперечным сечением взаимодействия. Налетающая молекула считается точечной, а мо- лекулы–мишени имеют такие размеры, что их сечения в направлении перпендикулярном скорости налетающей молекулы равны σ. Это не геометрическая площадь, а такая площадь, попадая в которую налетающая молекула изменяет направление своего движения (рис. 9.1а).

Рис. 9.1

Пусть налетающая молекула попадает на площадь S некоторого объема, в котором расположены молекулы–мишени (рис. 9.1б). В слое толщиной dx число молекул равно nSdx (n – концентрация молекул), их суммарная площадь сечения dS=σnSdx , а вероятность попадания в них налетающей молекулы равна

	dp =	dS	=σndx	(9.1)
		S

Молекулы газа, находясь в тепловом движении, непрерывно сталкиваются друг с другом. Термин "столкновение" в данном случае не следует трактовать как процесс соударения твердых шаров. Под столкновением молекул подразумевают процесс взаимодействия между ними, в результате

162

которого изменяется направление движения молекул. Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул,

называется эффективным диаметром молекулы D. Величина σ =π D2 , называется эффективным сечением молекулы. Эффективный диаметр молекул зависит от их энергии, а, следовательно, и от температуры.

Вероятность столкновения dp и поперечное сечение взаимодействия σ могут быть определены из эксперимента. Молекулярный пучок, проходя через газ, ослабляется (рис. 9.2). Ослабление его на dI на расстоянии dx пропорционально вероятности столкновения, так как столкнувшаяся молекула выбывает из пучка. Поэтому dI = –Idp , или

dI = −Iσ n dx.

Рис. 9.2. Рассеяние молекулярного пучка на молекулах газа
Решая это уравнение, получим
	ln	I			= −σ n L,					(9.2)
		I0
откуда					1		I
	σ =					ln		.		(9.3)
				nL			I0

Из уравнения (9.2) найдем интенсивность пучка на расстоянии L от плоскости, где интенсивность была Io (рис. 9.2)

−	L
I = I0e	λ ,		(9.4)

где произведение σ . n обозначено через 1/<λ>. Переходя от интенсивности к числу молекул в пучке, получаем

−	L
	λ
N = N0e		,	(9.5)

где N – число молекул (из N0 ), прошедших расстояние L без столкновений. Величины σ и n в формуле (9.1) не зависят от координаты x, поэтому вероятность попадания в молекулу пропорциональна пройденному пути.

163

При некоторой длине пробега <λ> вероятность столкновения становится равной единице

σ n λ =1.

Из последнего выражения находим среднюю длину свободного пробега молекул – среднее расстояние, которое проходят молекулы между двумя последовательными столкновениями,

λ =	1 .	(9.6)
	σ n

Этот результат приближенный, так как при его получении не учтено движение молекулы–мишени. Точный расчет, проведенный Максвеллом с учетом распределения молекул по скоростям, дает следующий результат

λ =	1 .	(9.7)
	2 σ n

Имея в распоряжении среднюю скорость теплового движения молекул <V>, можно определить среднее время между столкновениями молекул <τ > и среднее число столкновений одной молекулы за 1 секунду – <ν> :

τ =	λ	,	<ν >=	1	=	V	= 2 σ n V .
	V			τ		λ

Посмотрим, с величинами какого порядка мы имеем здесь дело.

Пример. Концентрация молекул азота при нормальных условиях n = 2.7·1025 м–3, эффективное сечение рассеяния σ = 3.8.10–19 м2, средняя скорость теплового движения <V> = 454 м/с. Найти среднюю длину свободного пробега <λ>, среднее время между столкновениями <τ > и число

столкновений одной молекулы за 1 с < ν >.

< λ > = 6.7.10–8 м, < τ > = 1.5. 10–10 с, < ν > = 6.7. 109 с–1.

Средние скорости теплового движения молекул при нормальных условиях находятся в интервале от 425 м/с для O2 до 1700 м/с для H2. В то же время для распространения запаха от одной части комнаты до другой (4÷5 м) в отсутствие конвекционных потоков требуется от нескольких десятков минут до часа. Этот факт вначале кажется парадоксальным. Но, если обратить внимание, что средняя длина свободного пробега молекулы около 10–7 м, а затем молекула меняет направление своего движения, то малые скорости диффузии уже не кажутся столь необычными.

Чтобы эти факты стали более наглядными, рассмотрим явление, которое можно наблюдать: броуновское движение. Оно было открыто шотландским ботаником Броуном (1827 г.) и заключается в том, что мельчайшие частицы, взвешенные в жидкости, находятся в непрерывном и беспорядочном движении, которое никогда не прекращается. В закрытой кювете Броун наблюдал его несколько лет.

164

Было установлено, что броуновское движение тем интенсивнее, чем меньше вязкость жидкости и размеры броуновских частиц. Оно также увеличивается с повышением температуры, но не зависит от формы частиц, вещества и его плотности. Движение броуновских частиц полностью хаотично и две расположенные близко частицы движутся независимо. Поэтому их движение нельзя объяснить какими–либо конвекционными потоками.

Каждая броуновская частица окружена большим числом молекул жидкости, которые сталкиваются с ней. Удары этих молекул никогда не уравновешиваются, в результате чего в каждый момент времени равнодействующая этих толчков меняет свое направление. Поэтому направления скоростей броуновских частиц в такой же мере беспорядочны, как и у самих молекул.

Кинетическую энергию броуновской частицы можно описать формулой, полученной при рассмотрении кинетического толкования температуры

Wk =	M U 2	=	3 kT.	(9.8)
	2		2

Если бы можно было измерить мгновенную скорость частицы, эта формула решила бы все проблемы. Однако попытки таких измерений неизменно приводили к противоречивым результатам.

Если определить скорость U по положениям частицы через промежуток времени τ U=(x2–x1)/τ), то полученная таким образом кинетическая энергия оказывается в 105 раз меньше энергии, определяемой температурой согласно (9.5). С чем это связано, прояснилось после кропотливых опытов французского физика Ж. Перрена. Наблюдая броуновскую частицу в микроскоп, он отмечал ее положение через каждые 30 с. Соединив полученные точки прямыми, он получил замысловатую ломаную линию (рис. 9.3).

Рис. 9.3. Траектория броуновской частицы: н – начальное, к – конечное положение частицы

Однако, если наблюдать положения частицы через промежутки времени в 100 раз меньшие (0,3 с), фиксируя их положения с помощью кинокамеры, то каждый прямолинейный промежуток заменится ломаной кри-

165

вой столь же сложной, как и весь рисунок. Отсюда ясно, насколько безнадежна попытка измерить мгновенную скорость броуновской частицы. Проверка молекулярно–кинетического объяснения броуновского движения стала возможна после того, как Эйнштейн разработал математическую теорию броуновского движения. В полученную им формулу мгновенная скорость частицы не входит. Вместо нее входит длина прямолинейного отрезка, соединяющего положения частицы в начальный и конечный моменты времени,

L2 =	kT	t,	(9.9)
	πη r

где r – радиус броуновской частицы; k – постоянная Больцмана; η – коэффициент динамической вязкости.

Уменьшая размер броуновских частиц, мы увеличиваем интенсивность (а тем самым и скорость) их движения и, в пределе, переходим к движению отдельных молекул. Сам характер беспорядочного движения при этом сохраняется.

9.2.Диффузия, внутреннее трение, теплопроводность

1.Диффузия. Взаимное проникновение молекул одного газа в среду другого газа называется взаимной или концентрационной диффузией.

Дифференциальное уравнение диффузии (уравнение Фика) имеет вид:

jn = −	1 n V	λ	dn	= −D	dn	,	( 9.10)
	3		dx		dx

здесь jn – число молекул, пересекающих единичную площадку за единицу времени; D=1/3 n<V><λ> – коэффициент диффузии.

2. Внутреннее трение. Пусть в газе движется какое–либо тело с некоторой скоростью v. Часть молекул, ударяющихся о поверхность тела, "прилипают" к ней – адсорбируются, а через некоторое время "отлипают" от поверхности. Если бы столкновения молекул с поверхностью рассматривались как упругие, изменялась бы лишь нормальная компонента скорости молекулы. При адсорбции с последующим испарением молекулы и твердое тело обмениваются и тангенциальными к поверхности твердого тела компонентами скорости. Таким образом, в процессе многочисленных столкновений с молекулами газа, твердое тело передает часть своего количества движения. Газ при этом будет ускоряться, на границе с твердым телом на него будет действовать суммарная средняя сила F в направлении движения. По третьему закону Ньютона на тело со стороны газа будет действовать сила – F, замедляющая его движение – сила трения. Такая же сила будет действовать и между двумя слоями жидкости, движущимися по какой–либо причине с различными скоростями. Это явление носит назва-

ние внутреннего трения или вязкости газа.

166

Ламинарным называется такой режим течения вязкой жидкости (или газа), при котором отсутствует перемешивание между соседними слоями жидкости (газа). Ламинарное течение жидкости происходит при относительно небольших скоростях. При увеличении скорости течения оно переходит в турбулентное (вихревое), где жидкость перемешивается в процессе течения. Пусть при ламинарном течении жидкости отдельные ее слои движутся с разными скоростями. Вследствие теплового движения, молекулы из более быстрого слоя переходят в более медленный, и наоборот. Движение более быстрого слоя при этом замедляется, что воспринимается как торможение или действие "сил трения". Уравнение, определяющее силу внутреннего трения в жидкости (9.10) получено Ньютоном.

f = −	1	n m0 V	λ	dU	= −η	dU	,	( 9.11)
	3			dx		dx

Здесь f – сила, действующая на единицу поверхности слоя в направлении, противоположном движению; m0U – импульс, переносимый молекулами из более быстрого слоя в соседний слой движущейся жидкости; U – скорость направленного движения молекул слоя; η – коэффициент внутреннего трения (динамическая вязкость)

η =	1	ρ ν λ .	( 9.12)
	3

Здесь ρ – плотность жидкости.

3. Теплопроводность. Если в разных частях системы установилась различная температура, а, следовательно, и разная энергия теплового движения молекул, то в направлении участка с меньшей температурой будет происходить перенос тепловой энергии, подчиняющийся закону, описываемому дифференциальным уравнением теплопроводности (уравнение Фурье)

1

dT

1

dT

dT

jQ = −

3

cV n m0

V

λ

dx

= −

3 cV ρ V

λ

dx

= −K

dx

. ( 9.13)

В этом уравнении: jQ –тепловой поток, количество тепла протекающее через единичную площадку, перпендикулярную потоку за единицу времени; cV – удельная теплоемкость системы; ρ – ее плотность;K – коэффициент теплопроводности.

Лабораторная работа № 20

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ВЯЗКОСТИ, СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА И ЭФФЕКТИВНОГО ДИАМЕТРА МОЛЕКУЛЫ ВОЗДУХА

Цель работы

Изучение явления внутреннего трения в газе, экспериментальное определение динамической вязкости воздуха, и, на ее основе, вычисление

167

средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекулы воздуха.

Содержание работы

Динамическую вязкость можно найти из формулы Пуазейля, определяющей объем ∆V газа, прошедшего за время ∆τ через поперечное сечение трубы радиусом r и длиной l в зависимости от разности давлений ∆P на ее концах

	∆V =	π r	4∆P	∆τ .	(9.14)
		8ηl

Необходимо сразу заметить, что формула Пуазейля получена для несжимаемой жидкости, но при малых перепадах давления ∆P она применима и для газов. Из (9.14) получаем выражение для определения динамической вязкости η

	η =	πr4	∆P			.
		8l (∆V		∆τ)			(9.15)

Для вычисления средней длины свободного пробега молекулы <λ> воспользуемся соотношением (9.12), определяющим динамическую вязкость через параметры теплового движения молекул Тогда

λ =	3η .	(9.16)
	ρ ν

Плотность определим из уравнения газового состояния

ρ = PMRT ,

где М – молярная масса; R – универсальная газовая постоянная; Т – температура газа,

Среднюю арифметическую скорость теплового движения молекул можно определить по формуле

v = 8πRTM .

Подставив эти значения в (9.16), получим

λ =	3η	πRT .	(9.17)
	P	8M

Считая теперь <λ> известной величиной, эффективный диаметр молекулы dэф определим из формулы (9.7)

λ =	1	=	1	,	(9.18)
	2 nσ		2 π n d 2
	168

Отсюда

	dэф =	1	.	(9.19)
		2π n λ

Концентрацию молекул найдем из уравнения состояния идеального газа

PVm = RT = NA kT,

где NA – число Авогадро; k – постоянная Больцмана. Разделив обе части равенства на молярный объем Vm , получим

	P =	N A		kT = n kT ,
		V
		m			P
	и выразим отсюда n:	n =				.
					kT

Подставив значение концентрации в (9.19), получим окончательное выражение для эффективного диаметра молекулы

	d	эф	=	kT	.	(9.20)
				2πP λ

Описание лабораторной установки

Для определения расхода воздуха ∆V/∆τ и разности давлений ∆P в работе используется капиллярный вискозиметр, принципиальная схема которого показана на рисунке 9.4. Воздух с помощью компрессора (на схеме он не показан) прогоняется через ротаметр (вид расходометра) Рт и капилляр

Кп.

Рис. 9.4

Ротаметр представляет собой стеклянную трубку, внутренний диаметр которой постепенно увеличивается от нижней части к верхней. В трубке находится металлический шарик Шр. При движении воздуха через трубку снизу вверх шарик располагается тем выше, чем больше воздуха проходит через трубку в единицу времени (чем больше расход воздуха ∆V/∆τ). Ротаметр проградуирован в литрах на час (л/ч).

169