6.Результаты расчетов по пунктам 2–5 занесите в табл. 4.8. Сравните значения момента инерции 4J’ четырех грузов, вычисленные по формулам

(4.51) и (4.52). Сделайте вывод.

7.Укажите в выводе основные, по вашему мнению, источники погрешностей при определении моментов инерции маятника и грузов на стержнях.

Таблица 4.6

Значения параметров установки

Высота

Масса

Масса грузов

Радиус

Продольный размер

Диаметр

подъема

груза

груза

m, кг.

на стержнях

шкива

грузов на стержнях

ступицы

4m’, кг.

r , м.

l, м.

Dст, м.

h ,

м.

Таблица 4.7

Экспериментальные данные

Время движения груза

Максимальная высота подъема

Расстояние от

№

груза

ступицы до

t, с

< t >, с

h1, м

< h1 >, м

грузов L, м

1

…

…

…

5

Таблица 4.8

Результаты расчета моментов инерции маятника и грузов

на стержнях маятника

Момент

Момент

Момент инерции грузов

Положение грузов

инерции

инерции

4J’, кг м2

маятника

маятника

Из формулы

Из формулы

на стержнях

с грузами

без грузов

(3.15)

(3.16)

J, кг м2

J0, кг м2

(эксперимент)

(теория)

на максимальном

расстоянии

R1 =

посередине

R2 =

стержней

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения твердого тела. Каков физический смысл величин, входящих в закон?

2.Что называется моментом сил? Моменты каких сил действуют на крестообразный маятник при его вращении?

60

3.Что такое момент инерции твердого тела? Какими свойствами характеризуется момент инерции твердого тела? Как изменяют момент инерции крестообразного маятника в данной работе?

4.Сформулируйте и докажите теорему Штейнера. Что называется центром масс твердого тела?

5.Запишите уравнение вращательного движения маятника в проекциях на ось вращения. Поясните запись.

Лабораторная работа № 4

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПОЛЕТА ПУЛИ С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНОГО БАЛЛИСТИЧЕКОГО МАЯТНИКА

Цель работы

Изучение законов динамики поступательного и вращательного движения твердого тела. Определение на их основе скорости полета пули.

Содержание работы

Рассмотрим метод определения скорости полета пули c помощью крутильного баллистического маятника. Пусть летящая пуля испытывает абсолютно неупругий удар с неподвижным телом значительно большей массы. После удара тело с застрявшей в нем пулей начинает двигаться, причем скорость его во столько раз меньше скорости пули, во сколько раз масса пули меньше массы тела. Если теперь измерить сравнительно небольшую скорость тела, то легко можно вычислить и скорость пули. К числу таких методов относится метод крутильного баллистического маятника.

В работе для определения скорости пули используется крутильно– баллистический маятник – массивное тело со значительным моментом инерции, подвешенное на упругой нити.

При попадании пули в мишень маятника, маятник поворачивается вокруг вертикальной оси и закручивает нить. При этом на маятник со стороны нити действует момент упругих сил М, пропорциональный углу закручивания нити ϕ, имеющий такое направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия, поэтому

M = −kϕ,

(4.54)

где k – постоянная момента упругих сил.

Этим моментом упругих сил в момент удара пули в мишень можно пренебречь, так как за чрезвычайно малое время соударения маятник успевает повернуться на очень малый угол ϕ и соответственно возникает малый момент сил М. Тогда систему “маятник–пуля” можно считать замкнутой и для нее закон сохранения момента импульса будет иметь вид:

mvh=(J+mh2)ω ,

(4.55)

61

где m – масса пули; v – скорость пули; h – расстояние от оси вращения маятника до точки удара пули; mvh – момент импульса пули до удара; J – момент инерции маятника относительно вертикальной оси вращения; mh2 – момент инерции пули относительно вертикальной оси вращения маятника; ω – угловая скорость системы «маятник–пуля» непосредственно после удара.

Во время столкновения в системе действуют диссипативные силы, уменьшающие кинетическую энергию движения. Поэтому применять закон сохранения энергии в его механической форме к процессам, происходящим во время неупругого удара, нельзя. Но после того, как удар закончился, сталкивающиеся тела соединились в одно тело, законом сохранения энергии уже можно пользоваться.

После удара кинетическая энергия вращательного движения маятника переходит в энергию упругой деформации нити, и закон сохранения механической энергии, если пренебречь незначительными потерями на трение, имеет вид:

(J + mh2 )ω2 = kϕmax2 ,

2 2

гдеωmax – наибольший угол поворота маятника.

Из выражений (4.55) и (4.56), исключив сти полета пули

v2 = kϕmax2 (J +mh2) m2h2

или, так как mh2 <<J,

v2 = kϕmax2 J .

m2h2

(4.56)

ω , находим квадрат скоро-

(4.57)

(4.58)

Формула (4.58) может быть использована для расчета скорости полета пули.

Для определения скорости полета пули массой m, пробивающей мишень на расстоянии h от оси вращения маятника, в работе экспериментально определяется максимальный угол поворота маятника φ после удара пули. Для исключения из формулы (4.58) трудно поддающихся экспериментальному определению величин k и J используется то обстоятельство, что после попадания пули в мишень маятник совершает гармонические колебания с периодом, зависящим от k и J. Уравнение гармонических колебаний можно получить, воспользовавшись основным законом динамики для вращательного движения

M = Jε .

Если ввести обозначение ε =ϕ" (угловое ускорение есть вторая производная от угла поворота по времени) и учесть выражение (4.54), то последнее уравнение примет вид:

62

Jϕ"+kϕ = 0.	(4.59)
Решение этого уравнения имеет вид:
ϕ = Acosωt,	(4.60)
где А – амплитуда колебаний; ω = k / J – круговая частота.
Период колебаний определяется по формуле
T = 2π /ω = 2π k / J .	(4.61)

Если изменить момент инерции маятника относительно оси вращения путем смещения грузов 2 и 3, то в соответствии со свойством аддитивности момента инерции и теоремой Штейнера можно записать:

J1 = Jc'	+ 2Jc" + 2 m0r12 ,	(4.62)
J2 =Jc'	+2Jc" +2 m0r22,	(4.63)

где J1 и J2 – моменты инерции маятника относительно вертикальной оси вращения, когда грузы 2 и 3 расположены соответственно на расстоянии r1 и r2 от оси вращения; J'c – момент инерции маятника без грузов относительно оси, проходящей через центр инерции маятника; J"с – момент инерции одного груза относительно оси, проходящей через центр инерции этого груза; m0 – масса одного груза.

Периоды колебаний маятника, имеющего момент инерции J1 и J2,

соответственно равны			(4.64)
T1 = 2π	J1	/ k ,
T2 = 2π	J2	/ k .	(4.65)

С учетом выражений (4.61 – 4.65) скорость полета пули для случая, когда грузы 2 и 3 расположены так, что момент инерции маятника J1 и произведен выстрел пулей массой m, попавшей в мишень на расстоянии h от оси вращения, равна

	v =	4π m ϕ T (r2			−r2 )	.	(4.66)
		0	1 1	2	1
		mh	(T 2	−T 2 )
	1
		1	2		1

Аналогично для случая, когда момент инерции маятника J2 —

v2 = 4π m0ϕ2T2−(r22 −r12 ). mh2 (T22 T12 )

	(4.67)
	Все величины, входящие в формулы (4.65)
	и (4.66), определяются экспериментально.
	Описание лабораторной установки
	Баллистический маятник (рис. 4.15) вы-
	полнен в форме крестовины, подвешенной на
	тонкой проволоке 1. На крестовине расположе-	Рис. 4.15
	ны: мишень А, грузы 2, 3, 4 и зеркало 5.
	63

Грузы 2 и 3 можно свободно перемещать по горизонтальной штанге, тем самым изменяя момент инерции маятника. Груз 4 служит для уравновешивания мишени. Мишень жестко прикреплена к концу горизонтальной штанги.

Угол поворота маятника при попадании пули в мишень определяется по смещению светового "зайчика" на шкале 6, расположенной рядом с осветителем 7. Световой "зайчик" возникает при отражении луча от зеркала 5. При повороте маятника на угол φ луч поворачивается на угол 2φ.

Для устранения колебаний маятника в вертикальной плоскости к крестовине подвешен тяжелый груз 8, прикрепленный к полу. Таким образом, маятник может совершать колебания только вокруг вертикальной оси, проходящей через точку подвеса маятника.

Порядок выполнения работы, проведения измерений

иобработки их результатов

1.Включите осветитель, установите зеркало 5 и шкалу 6 так, чтобы световой "зайчик" был в левой части шкалы.

2.Сместите грузы 2 и 3 к оси вращения маятника до упора, (положение

1)и определите расстояние груза от оси вращения r1, измерив расстояние между центрами грузов и разделив его пополам.

3.Остановите маятник, если он совершает колебания. После остановки

маятника определите деление шкалы n0, на котором располагается световой "зайчик".

4.Зарядите ружье и произведите выстрел. Определите деление шкалы n, на которое переместится "зайчик" при повороте маятника на максимальный угол.

5.С помощью секундомера измерьте время t 10 полных колебаний маятника.

6.Измерьте расстояние h от пробоины в мишени до оси маятника.

7.Сместите грузы 2 и 3 на одинаковые максимально возможные рас-

стояния от оси вращения (положение 2). Определите r2, n0, n, t, h в соответствии с п. п. 3–6.

8.Все результаты измерений и данные установки, приведенные на лабораторном столе, занесите в табл. 4.9 и 4.10.

9. Рассчитайте угол для каждого опыта по формуле tgϕ =		n1−n			, где		n0 − n
		2l

– линейное смещение светового "зайчика" по шкале; l – расстояние от оси маятника до шкалы.

10.Зная время 10 полных колебаний, определите периоды T1 и Т2. По формулам (4.66) и (4.67) рассчитайте соответственно скорости пули v1 u v2.

11.Определите среднее значение скорости пули <v>.

64