4.5. Поле двух заряженных цилиндров

Допустим, что на место двух любых эквипотенциальных поверхностей поля двух заряженных осей мы поместили два тонкостенных заряженных цилиндра с теми же радиусами, что и у эквипотенциалей. Поле этих цилиндров можно найти, основываясь еще на одном следствии из теоремы единственности: если две эквипотенциальные поверхности одного поля совпадают с двумя эквипотенциальными поверхностями другого поля, то поля между этими эквипотенциалями тождественны. Согласно этому следствию, поле между заданными цилиндрами будет таким же, как и между соответствующими эквипотенциальными поверхностями поля двух заряженных осей. Следовательно, для нахож­дения поля двух заряженных цилиндров нужно найти расположение и поле двух заряженных осей. Это можно сделать, воспользовавшись формулами (4.15) — (4.19). Различные варианты взаимного расположения двух заряженных ци­линдров показаны на рис. 4.13.

Рис. 4.13. Различные варианты взаимного расположения заряженных цилиндров

Кроме определения электрического поля, рассмотренный прием позволяет рассчитать емкость двух таких цилиндров на единицу длины. Рассмотрим определение этой емкости С₀на примере двух цилиндров одинакового радиусаR, расположенных параллельно друг другу на расстоянии 2ℓ в среде с диэлектрической проницаемостью ε (рис. 4.14):

где - заряд одного из цилиндров на единицу длины;

_а,_b– потенциалы положительно и отрицательно заряженных цилиндров.

Рис. 4.14. К определению емкости двух цилиндров

Из предыдущего раздела этого параграфа известно, что поле между данными цилиндрами эквивалентно полю между эквипотенциальными поверхностями, совпадающими с поверхностями цилиндров, образованными двумя заряженными осями +и -, расположенными на расстоянии 2hдруг от друга. В соответствии с (4.18), можно записать

,

где

Следовательно,

согласно (4.20), (4.21) и условию задачи имеем и, откуда.

Здесь оставлен только знак «плюс», ввиду того, что должно выполняться неравенство k₊ > 1. С учетом проделанных выкладок, получим

. (4.34)

для практически важного случая расчета ёмкости двухпроводной линии (ℓ»R) из (4.34), легко получить

.

4.6. Поле двойного электрического слоя

Двойным электрическим слоем будем называть две параллельные, разноименно заряженные поверхности площадью s, расстояние между которымиhмного меньше расстоянияRот этих плоскостей до точки А, в которой рассчитывается электрическое поле (рис. 4.15).

Рис. 4.15. К определению поля двойного электрического слоя

Электрическое поле в точке А от элемента двойного слоя, поверхность которого ds, можно рассматривать как электрическое поле, созданное диполем с зарядомq_sdsи плечомh.

Электрический момент такого диполя ; поле, созданное этим диполем в точке А, можно найти по (4.17)

. (4.35)

При достаточно малом h, по сравнению с линейными размерами поверхностей, кривизной этих поверхностей можно пренебречь и считать поле между ними однородным. Напряженность этого поля, а напряжение между плоскостями. Подставляя это выражение в (4.35),

получим

.

Проинтегрировав это выражение по поверхности sи учитывая, чтоявляется элементом телесного угла, под которым видна элементарная площадкаdsиз точки А, получим, что потенциал в точке А, создаваемый двойным электрическим слоем, равен

, (4.36)

где - телесный угол, под которым площадьsвидна из точки наблюдения А.

По существу (4.36) является решением уравнения Лапласа ²=0 для задачи с граничными условиями: 1)(R)=0; 2) при переходе через двойной электрический слой потенциал изменяется на величину Δu.