6.2. Теорема Умова-Пойнтинга в комплексной, форме записи

Теорема Умова-Пойнтинга тоже может быть сформулирована и доказана для комплексных изображений векторов поля.

По аналогии с выражением комплексной мощности, применяемой в теории цепей: , можно ввести понятие комплексного вектора Пойнтинга:.

Вычислим поток вектора , входящий через произвольную поверхностьs, ограничивающую объем:

.

Применяя правило векторного анализа

и подставляя в правую часть полученного выражения значения ииз уравнений Максвелла в комплексной форме записи, т. е. и , получим

. (6.12)

Рассмотрим каждый из интегралов в правой части (6.12). Первый интеграл представляет собой активные потери в проводниках P_T, выражаемые по закону Джоуля-Ленца. Второй интегралпредставляет собой комплексную мощность (изображение производной по времени от энергии), связанную с электрическим полем. Третий интегралпредставляет собой комплексную мощность, связанную с переменным магнитным полем.

Ввиду того что для линейных сред ,и, а также учитывая, чтои, имеем

.

Подставляя в эту формулу значения ии выделяя действительную и мнимую части, получим

.

Анализируя полученное выражение, можно утверждать, что поток комплексного вектора Пойнтинга, входящий через замкнутую поверхность, равен комплексной мощности, входящей внутрь данной поверхности:

. (6.13)

Причем необратимые подери энергии в объеме состоят из тепловых потерь в проводнике (), потерь в диэлектрике () и магнитных потерь ().

6.3. Вопросы для самопроверки

1. О чем говорит наличие мнимой части в комплексной диэлектрической проницаемости вещества и комплексной магнитной проницаемости?

2. Приведите систему уравнений Максвелла в комплексной форме.

3. Дайте характеристику правой части теоремы Умова-Пойтинга. Какие из этих членов всегда положительны?

Глава 7. Электромагнитные волны

7.1. Волновое уравнение

Пусть в некоторой области пространства нет частиц, способных переносить заряды (=0 и) и поляризоваться (и). Назовем такую среду пустым пространством или вакуумом.

Систему уравнений Максвелла для пустого пространства можно записать в очень стройной симметричной форме:

(7.1)

Известно, что основные уравнения поля можно записать через электродинамические потенциалы и. Для области пространства, где нет свободных зарядов (=0), можно принять=0. Можно показать, что такой выбор скалярного потенциала не противоречит системе (7.1), но накладывает дополнительное условие на дивергенцию векторного потенциала

, (7.2)

вытекающее из уравнения «калибровки» .

Выбор =0 удобен тем, что при этом уравнение для скалярного потенциалаобращается в тождество, а уравнение для векторного потенциала можно записать в такой форме:

, (7.3)

где - скорость света.

Уравнения такой структуры называются волновыми, а их решения волнами.

Если найдено решение для вектора , то нетрудно найти напряженность электрического и магнитного поля.

Из выражений и, учитывая, что=0 и=1, получим

и. (7.4)

В некоторых случаях удобнее искать решения уравнений, непосредственно записанных для векторов и. Такие уравнения можно получить из (7.1), исключив один из неизвестных векторов. Например, если вычислить ротор левой и правой части второго уравнения, получим

rotилиgrad .

К левой части применено известное правило векторного анализа (rot),aв правой - сделана подстановка значенияиз второго уравнения системы (7.1). Учитывая, что, после элементарных преобразований получим

. (7.5)

Совершенно аналогично можно получить

. (7.6)

В заключение отметим, что электромагнитные волны не могут существовать, если векторы поля не изменяются во времени. Это следует из системы (7.1). Если производные по времени равны нулю, то поле не будет иметь ни вихрей, ни истоков, т. е. тождественно будет равно нулю.