8.3 Поверхностный эффект в цилиндрических проводниках

Рассмотрим прохождение гармонического тока Iпо прямолинейному цилиндрическому проводу и определим электромагнитное поле внутри провода. Совместим осьzцилиндрической системы координат с осью провода (рис. 8.8).

Рис. 8.8. Положительные направления векторов поля

Если обратный провод бесконечно удален, то плотность тока распределена симметрично вокруг оси провода отсутствует эффект близости. Предположим, что амплитуда тока одинакова по длине провода. Тогда вектора иимеют только осевую составляющую, и, а векторнаправлен по касательной к цилиндрической поверхности.

С учетом этого, выражение (8.3) в цилиндрической системе координат примет вид:

. (8.22)

Произведя дифференцирование и, сделав замену переменных получим уравнение

, (8.23)

представляющее собой частный случай уравнения Бесселя

при n=0.

Решением этого уравнения Бесселя является суперпозиция функций Бесселя:

y=AJ_n(x)+BN_n(x),

где А и В — произвольные постоянные, J_n(x) — функция Бесселя первого рода порядкаn,N_n(x) — функция Бесселя второго рода порядкаn.

Таким образом, решение уравнения (8.23) имеет вид:

.

В силу того, что функция Бесселя второго рода в нуле обращается в бесконечность N₀()=, а напряженность электрического поля остается конечной, то должно быть В₀=0 и окончательное решение

. (8.24)

Функцию Бесселя первого рода можно представить в виде ряда:

(8.25)

Пользуясь разложением в ряд, нетрудно установить, что

. (8.26)

Решение для найдем из второго уравнения Максвелла

. (8.27)

Подставляя в (8.27) решение для и учитывая выражение (8.26) дляn=0, получим

. (8.28)

Постоянную A₀определим из граничных условий. По закону полного тока на поверхности провода приr=r₀, получим. Откуда имеем

, (8.29)

где .

Подставив это значение A₀ в выражение (8.24) и (8.28), получим выражения, описывающие электромагнитное поле в цилиндрическом проводнике:

; (8.30)

. (8.31)

Комплексы напряженности электрического и магнитного полей в медном проводе () диаметром 2r₀=0,33 мм при прохождении переменного токаI=1 мА с частотойf= 2 МГц показаны на рис. 8.9 (цифры у годографа показывают отношениеr/r₀).

Рис. 8.9. Годограф комплексов напряженности электрического и магнитного поля

Электромагнитная волна проникает внутрь провода из диэлектрика и постепенно затухает по мере проникновения. Из рассмотрения годографа вектора очевидно, что существуют точки, в которых фаза векторапротивоположна, т. е. в один и тот же момент времени ток идет в противоположных направлениях.

На рис. 8.10 показано изменение модуля напряженности поля в зависимости от r/r0 (кривая 1).

Рис. 8.10. Распределение напряженности электрического поля по сечению провода

Там же для сравнения показано изменение модуля Е для плоской шины при одинаковых параметрах (,,f). Видно, что цилиндрическая волна затухает медленнее, чем плоская. Это объясняется сокращением фронта цилиндрической волны по мере ее прохождения, т. е. при проникновении вглубь проводника часть ее энергии расходуется на потери, а оставшаяся часть распределяется на меньшей поверхности фронта, чем в случае плоской волны.

Из выражений (8.30) и (8.31) получаются простые и наглядные формулы для предельных случаев, т. е. при малых и больших частотах ω. Записав значениев виде=(1+j), где, получим следующее выражение для аргумента функции Бесселя:

 = j= (j-1)r.

При малых частотах, т. е. малых значениях ω, ограничившись первыми членами ряда (8.25), получим:

J₀()1;J₁()1/2

Подставляя эти значения в (8.30) и (8.31), для малых частот имеем:

; (8.32)

. (8.33)

Таким образом, при малых частотах поле Е и, следовательно, плотность тока равномерно распределена по сечению провода.

При высоких частотах, т. е. больших значениях аr, можно воспользоваться асимптотическим разложением функции Бесселя:

, (8.34)

причем в рассматриваемом случае , аu— действительное число. ФункциюJ₁(x) получим из соотношения:

. (8.35)

Удобно ввести новую переменную y=r₀-r, т. е. начало координат перенести на поверхность провода. Формулы (8.34) и (8.35) с принятой переменной будут иметь вид:

; (8.36)

J₁(y)=jJ₂(y). (8.37)

После подстановки (8.36) и (8.37) в общее решение (8.30) и (8.31) для больших частот получим:

; (8.38)

. (8.39)

Выражения (8.38) и (8.39) можно упростить с учетом того, что волна затухает достаточно быстро с изменением у, и можно принять . С учетом этого окончательно получим:

; (8.40)

. (8.41)

Выражения (8.40) и (8.41) описывают поле в проводе при резко выраженном поверхностном эффекте. В этом случае так же, как и для резко выраженного поверхностного эффекта, в плоской шине получим только падающую волну.