3.2. Запись системы уравнений Максвелла через скалярный электрический и векторный магнитный потенциалы

Полученное в предыдущем параграфе уравнение (3.10), по существу, является результатом совместного решения первого и четвертого уравнений Максвелла, записанных через векторный магнитный потенциал. Ранее из второго уравнения (1.17) и первого (3.12) было получено: . Решая это уравнение совместно с третьим уравнением из (1.17)и учитывая (3.12), получим

.

Последнее уравнение, совместно с (3.10), образует систему двух дифференциальных уравнений второго порядка:

, (3.13)

,

которая совершенно эквивалентна исходной системе уравнений Максвелла (1.17). Удобство такой записи состоит в том, что переменные здесь разделились, причем каждое из уравнений содержит только одну переменную. Правые части этих уравнений представляют источники, побуждающие электромагнитное поле - токи и заряды.

3.3. Классификация электромагнитных полей

При изучении электромагнитных полей, можно различить несколько групп задач, характеризующихся некоторыми общими для этих групп условиями. Рассмотрим эти группы задач.

1. Статические поля (электростатика, магнитостатика). В эту группу задач входят те задачи, в которых отсутствуют изменения во времени () и электрические токи (J=0). Для этих задач система уравнений Максвелла (1.17) принимает вид

,, (3.14)

,.

Легко видеть, что левая и правая группы уравнений не связаны друг с другом и могут решаться самостоятельно. Левая группа уравнений определяет круг задач магнитостатики, а правая - электростатики.

2. Стационарные поля (поля постоянных токов). Эта группа полей характеризуется только отсутствием изменений во времени (). В этом случае уже существует связь между магнитным и электрическим полем (). Поэтому, если не задана плотность тока, систему уравнений Максвелла нельзя представить в виде двух независимых групп уравнений.

3. Квазистационарные поля поля. К этому кругу задач условимся относить те задачи, для которых токи проводимости во много раз превышают токи смещения, то есть .

Здесь уже существует тесная связь между электрическими и магнитными полями. Эти задачи характеризуются единым электромагнитным полем. К ним относятся задачи, описывающие поле в проводящих средах на умеренно низких частотах, когда еще токами смещения можно пренебречь по сравнению с токами проводимости.

4. Общий случай. Этот случай описывается полной системой уравнений Максвелла (1.17) и характеризуется наличием как токов проводимости, так и токов смещения. Здесь рассматриваются вопросы излучения и распространения электромагнитных волн.

Две последние группы задач очень схожи друг с другом, так что порой бывает трудно отнести рассматриваемый вопрос к той или иной группе.

3.4. Вопросы для самопроверки

1. Каков смысл введения векторного потенциала.

2. Дайте определение скалярного электрического потенциала. Укажите его связь с векторным магнитным потенциалом.

3. Приведите систему уравнений Максвелла, записанных через скалярный электрический и векторный магнитный потенциалы.

Глава 4. Статические поля

4.1. Основные уравнения электростатического поля

В соответствии с классификацией электромагнитных полей, приведенной в предыдущей главе, электростатическим полем мы называем такой частный случай электромагнитного поля, когда отсутствуют какие-либо временные изменения и токи. Система уравнений Максвелла для электростатики в дифференциальной и интегральной формах имеет вид:

1. ,, (4.1)

2. ,.

Эта система уравнений дополняется уравнением, связывающим вектора , иили для линейных сред.

Электростатическое поле является потенциальным. Условие потенциальности в дифференциальной и интегральной формах представлено уравнениями 1 системы (4.1). Связь электрического скалярного потенциала с напряженностью электрического поля дается уравнениями:

; (4.2)

; (4.3)

(4.4)

При помощи электрического потенциала может быть записано дифференциальное уравнение - уравнение Пуассона, связывающее потенциал с источниками электростатического поля - зарядами.

Для линейных сред из уравнений

,

.

Получим

div. (4.5)

Области пространства, в которых отсутствуют объемные заряды, описываются уравнением Лапласа

div. (4.6)

Для того чтобы решать уравнения Пуассона и Лапласа, необходимо знать граничные условия.

Одним из граничных условий является условие для скалярного потенциала. Будем считать, что в уравнении (4.4) точка а относится к первой среде, а точкаb- ко второй. Ввиду того, что при конечном значениистремится к нулю, то для поверхности раздела справедливо. Поскольку при получениииспользовалось граничное условиеE_at=E_bt, то они являются эквивалентными, то есть их нельзя использовать одновременно как разные граничные условия.

Таким образом, граничными дли электростатики являются условия:

E_1t=E_2t,D_ln=D_2n=q_s,P_1n-P_2n=-q_{s связ},. (4.7)