3. Поле на оси кольцевого тока

Пусть по кольцу радиуса а протекает ток I и требуется рассчитать распределение индукции вдоль оси перпендикулярной плоскости контура и проходящей через его центр. Выберем систему координат так, что контур лежит в плоскости ху, а искомое распределение индукции определяется вдоль оси z. Найдем напряженность магнитного поляв произвольной точке на осиz(рис. 5.7).

Рис. 5.7. Расчет поля кольцевого тока

Для этого воспользуемся формулой (5.20). В силу симметрии вектор будет иметь только одну составляющую, направленную по оси

. (5.23)

Определим значение телесного угла , под которым виден контур из точки К в выбранной системе координат. Это значение вычисляется через площадь шарового сегмента.:=s_ceг/R², которая определяется как

s_сег=.

Искомый телесный угол равен:

. (5.24)

Подставляя значение из (5.24) в (5.23), запишем выражения дляH_z:

.

Окончательную формулу для напряженности магнитного поля получим, выразив cosиз прямоугольного треугольника и взяв производную от этого выражения:

.

После подстановки, имеем:

. (5.25)

Значение В получается из (5.25) умножением на ₀:

. (5.26)

5.6. Вычисление индуктивностей. Принцип взаимности

Приведенный анализ стационарного магнитного поля дает возможность рассчитать важный интегральный параметр электрических цепей — индуктивность. По определению индуктивность есть отношение потока, сцепленного с контуром, к току, вызывающему этот поток:

. (5.27)

(Поток обозначается двумя индексами: первый указывает, с каким контуром сцеплен поток; второй — каким током обусловливается поток.)

Пусть имеются произвольно расположенные контуры nи к (рис. 5.8), токи которых равныI_nиI_к.

Рис. 5.8. Определение индуктивностей

Определим один из потоков, а именно, поток вызванный током I_nи сцепленный с контуромI_к. По определению:

.

Как известно, векторный потенциал в какой либо точке контура ℓ_к, создаваемый токомI_nравен:

.

Подставляя это значение в формулу потока, получим

. (5.28)

Откуда непосредственно следует, что

. (5.29)

Симметричность индексов к и nв формуле (5.29) позволяет заключить, что

M_кn=M_nк. (5.30)

Выражение (5.30) формулирует принцип взаимности, очень часто значительно облегчающий расчет индуктивностей.

Следует заметить, что определение индуктивностей непосредственно по формуле (5.29) приводит к сравнительно сложным вычислениям даже в случаях геометрически простых контуров.

В целом ряде случаев, однако, удается вычислить поток, не прибегая к интегрированию по контуру. Предположим, что требуется определить амплитуду ЭДС, наведенную в двухпроводной линии, при протекании переменного тока i=I_1msintпо рамке, находящейся в плоскости, линии (рис. 5.9).

Рис. 5.9. Взаимная индуктивность рамки и двухпроводной линии

Из теории цепей известно, что

. (5.31)

Таким образом, необходимо определить взаимную индуктивность . Определение потока Ф₂₁вызванного токомI₁, достаточно сложно. Однако из принципа взаимностиM₂₁=M₁₂найдем. Для этого зададимся произвольным значением токаI₂в линии и определим Ф₁₂. По определению, так как рамка расположена симметрично относительно каждого провода, то можно определить поток, создаваемый одним проводом, и результат удвоить:

,

где — индукция, создаваемая токомI₂одного провода.

Тогда

, (5.32)

и взаимная индуктивность:

. (5.33)

Из решения этой задачи очевиден порядок расчета индуктивностей в общем случае: задаемся произвольным значением тока Iв одном из контуров, определяем создаваемую им индукцию В и, интегрируя индукцию по площади, находим поток Ф, сцепленный со вторым контуром. Если в формуле (5.27) индексы одинаковые, то индуктивность называется собственной. Следовательно, собственная индуктивность — это отношение потока, создаваемого током в контуре, к этому току:

. (5.34)