5.5. Расчет стационарных полей при помощи скалярного магнитного потенциала

При помощи векторного магнитного потенциала рассчитывается стационарное магнитное поле в области пространства, в которой имеется или отсутствует плотность тока. Если необходимо рассчитать поле только в области, не занятой плотностью тока, то для такой области rot=0. Магнитное поле является потенциальным, и, следовательно, можно использовать понятие скалярного магнитного потенциала_м, введенного при анализе магнитостатических полей —grad_м=.

Однако следует иметь в виду, что скалярный магнитный потенциал в полях, вызванных током, является неоднозначной функцией координат.

По аналогии с электростатикой можно записать:

.

Примем за нулевой потенциал точки K(_M(K)=0) и рассмотрим два пути интегрированияl₁иl₂(рис. 5.5).

Рис. 5.5. Потенциал точки К зависит от пути интегрирования

Для контура l₁по теореме Стокса имеем:

,

так как поверхность s₁не содержит областей, занятых током. С другой стороны:

.

Аналогично для контура l₂

.

Следовательно, если сделать nобходов по контуруl₂, то потенциал будет_м(K)=nI.

Чтобы исключить многозначность скалярного магнитного потенциала, на контур с током можно мысленно, натянуть поверхность и запретить путь интегрирования проводить сквозь эту поверхность. В этом случае всюду .

Рассмотрим несколько практически важных примеров расчета магнитных полей с помощью скалярного магнитного потенциала.

1. Поле контура с током

Для вычисления потенциала вне провода с током натянем на контур произвольным образом поверхность s(рис. 5.6).

Рис. 5.6. Определение потенциала контура с током

Выберем замкнутый путь интегрирования lтаким образом, чтобы он пересекал выбранную поверхность. Тогда для точек 1 и 2, которые находятся в непосредственной близости от поверхностиsс разных ее сторон. Магнитный потенциал будет отличаться на величину тока:

_М(1)-_М(2)=I=U_M.

Примем в бесконечно удаленной точке _M= 0. Таким образом, в этой задаче необходимо решить уравнение Лапласа²_M=0 с граничными условиями.: а)_M()=0; б) при переходе через поверхностьsпотенциал_Mизменяется наU_M.

Аналогичная задача решена в электростатике при расчете потенциала двойного заряженного слоя.

Поэтому сразу можно написать ответ:

, (5.19)

где - телесный угол, под которым виден контур с током из точки наблюдения;

- элемент телесного угла.

Для вычисления напряженности поля требуется определить градиент:

. (5.20)

2. Магнитный диполь

Контур площадью sс токомIдля точек наблюдения, расстояние до которых от контура много больше линейных размеров контура, является магнитным диполем.

В силу того, что линейные размеры контура значительно меньше R, то можно считать, что расстояниеRнеизменно для каждого элемента телесного углаdw. На основании сказанного, телесный угол, под которым виден диполь, можно записать:

.

Скалярный потенциал диполя согласно выражению (5.19) имеет вид

. (5.21)

Или, пользуясь понятием момента диполя , получим

. (5.22)

Сопоставляя (5.22) с формулой потенциала электрического диполя , видим полную их идентичность. Следовательно, картины поля магнитного диполя и электрического одинаковые.