Граничные условия для тангенциальных составляющих векторов магнитного поля.

В этом случае ход рассуждений и рисунок остаются такими же, как и в предыдущем случае. Запишем первое уравнение Максвелла в интегральной форме (1.16) для изображенного на рис. 1.4 контура

, (1.31)

где - плотность полного тока на площадиs=lh, ограниченного контуром интегрирования.

При h0, очевидно,s0, а следовательно, стремится к нулю и интеграл, стоящий в правой части (1.31), так как для физических задач величинапринимает конечные значения. Поэтому приh0 уравнение (1.31) принимает вид

H_1t=H_2t(1.32)

то есть на границе раздела тангенциальные составляющие напряженности магнитного поля равны между собой.

1.6. Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение электрического и магнитного поля.

2. Может ли электромагнитное поле существовать без непосредственной связи с электрическими зарядами.

3. Расскажите о величинах, характеризующих электрическое и магнитное поле.

4. Приведите систему уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной форме.

5. Приведите граничные условия для нормальных и тангенциальных составляющих векторов магнитного поля.

Глава 2. Энергия и энергетические преобразования в электромагнитном поле

2.1. Закон Джоуля - Ленца. Энергия электромагнитного поля

Пусть в некоторой точке пространства действует электрическое поле напряженностью . Под действием этого поля в среде происходит перемещение зарядов, т. е. протекает ток плотностью. Силы электрического поля совершают работу по перемещению зарядов. Электрическая энергия переходит в тепловую. Плотность мощности тепловых потерь в данной точке будет

.

В линейных изотропных средах, для которых справедлив закон Ома , выражение для плотности мощности запишется

или. (2.1)

Выражение (2.1) является математической записью закона Джоуля - Ленца в дифференциальной форме. Объемная плотность мощности имеет размерность (Вт/м³).

Кроме рассеяния энергии (переход электромагнитной энергии в тепло), в электромагнитном поле может происходить и накапливание энергии.

Предположим, что произошло изменение электрического поля, то есть вектор электрического смещения получил приращение . Приращение плотности энергии при этом можно определить, если задана зависимостьD=f(E) (рис. 2.1,а):

.

Рис. 2.1. Определение приращений энергии электрического (а) и магнитного (б) поля

Используя это выражение, можно определить плотность энергии электрического поля

.

Функция, стоящая под знаком интеграла, представляет собой скорость изменения энергии, в единичном объеме, т. е. плотность мощности

. (2.2)

Аналогично, при изменении индукции на (рис. 2.1, 6) произойдет приращение энергии магнитного поля на

.

Плотность мощности или скорость изменения энергии в единице объема запишется выражением

. (2.3)

Если среда изотропна и линейна, то ,и выражения для электрической и магнитной энергии можно записать:

;

.

2.2. Теорема Умова - Пойнтинга

Анализируя систему уравнений Максвелла, можно сделать выводы о распределении и распространении энергии электромагнитного поля в пространстве, а также об энергетических преобразованиях в электромагнитном поле. Этот анализ основывается на теореме Умова - Пойнтинга, соответствующей закону сохранения энергии.

Введем новый вектор, равный

(2.4)

Этот вектор называется вектором Пойнтинга и имеет размерность Вт/м².

Для этого вектора справедлива следующая теорема (теорема Умова - Пойнтинга):

поток вектора Пойнтинга, входящий внутрь замкнутой поверхности, равен сумме мощности тепловых потерь и скорости изменения энергии электромагнитного поля внутри объема, ограниченного этой поверхностью.

Математическая формулировка теоремы запишется так

, (2.5)

причем W_эм=W_э+W_м.

Доказательство теоремы основывается на уравнениях Максвелла. Запишем для произвольной точки, находящейся внутри объема

.

Видно, что если это уравнение умножим скалярно на , то в правой части получим плотность мощности тепловых потерь и мощности электрического поля

.

Аналогично, умножив второе уравнение Максвелла на , в правой части получим плотность мощности магнитного поля

.

Образовав разность, получим полную мощность электромагнитного поля

.

Применяя правило векторного анализа к левой части полученного выражения, преобразуем разность к виду

и получим дифференциальную форму записи теоремы Умова - Пойнтинга

. (2.6)

Для записи теоремы в интегральной форме проинтегрируем левую и правую части выражения (2.6) по всему объему

или, с учетом теоремы Остроградского - Гаусса, получим

.

Зная распределение вектора в пространстве, можно судить о том, как распространяется электромагнитная энергия.