3.2.5.4 Полное и частичное уравновешивание результирующей

силы инерции

1-ая задача уравновешивания решала вопрос об уравновешивании силы инерции отдельной массы, центр тяжести которой был уже известен.

2-ая задача решает вопрос об уравновешивании силы инерции всего механизма, когда центр тяжести его не известен. Следовательно, чтобы решить 2-ую задачу, необходимо вначале определить центр тяжести механизма.

1 Определение общего центра тяжести механизма

Результирующая сила инерции, как и любая другая сила инерции, рассчитывается по формуле

F_и = m_∑a_S,

где m_∑ – масса всего механизма (суммирующая масса всех звеньев),a_S– ускорение центра тяжести всего механизма. Поэтому, чтобы определитьF_инеобходимо научиться находить общий центр масс механизма - точкуS.

Рассмотрим на примере. Задан плоский рычажный механизм, состоящий из nзвеньев (рисунок 3.32). Обозначим: длины звеньев ℓ₁ = ℓ_ОА, ℓ₂ = ℓ_АВ,…, ℓ_n = ℓ_EF(м); расстояния до центров массa₁ = ℓ_ОS1,a₂ = ℓ_АS2,…,a_n = ℓ_ЕSn(м); массы звеньевm₁,m₂,…,m_n.(кг)Определить: r_S - радиус-вектор (м), определяющий положение центра тяжести механизма. Массы звеньев сосредоточены в центрах масс.

Любая система сил, приложенных к твердому телу, приводится к одной силе, приложенной в произвольно выбранной точке, и к одной паре сил. Вектор этой результирующей силы равен главному вектору сил инерции данной системы сил, а момент пары равен главному моменту. Для определения главного вектора сил инерции плоского механизма достаточно так подобрать массы механизма, чтобы общий центр масс (тяжести) оставался неподвижным.

Рисунок 3.32 - Определение общего центра тяжести механизма

Если считать массу всего звена сосредоточенной в центре тяжести S, то ее статический момент относительно точкиОравен сумме статических моментов масс звеньев, т.е.:

m_∑r_S =Σm_ir_i,m_∑r_S =m₁r₁+ m₂r₂ +…+ m_nr_n, (3.91)

где r_S - радиус-вектор, определяющий положение центра тяжести механизма;m_∑ = m₁+ m₂ +…+ m_n - масса всего механизма;r₁, r₂, …, r_n– радиус-вектор центра масс каждого звена ( расстояние от точкиОдо точекS₁, S₂,…, S_n).

Уравнение (3.91) носит название уравнения статического момента и представляет собой произведение массы на расстояние.

Выразим из уравнения (3.91) расстояние r_S:

r_S = (m₁r₁ + m₂r₂ +…+ m_nr_n)/m_∑. (3.92)

Если механизм вытянуть в одну линию, то векторы r₁,r₂,…,r_nмогут быть представлены как суммы векторов:

r₁= a_1, r₂ =ℓ₁+ a₂, r₃ = ℓ₁ + ℓ₂ + a₃,…, r_n= ℓ₁+ℓ₂+…+ℓ_n-1+ a_n. (3.93)

Подставим формулы (3.93) в уравнение (3.92):

r_S = [m₁а₁+m₂(ℓ₁+а₂)+…+m_n(ℓ₁+ℓ₂+…+ℓ_n-1+а _n)]/m_∑.

Открываем скобки и группируем члены:

r_S=[m₁а₁+(m₂+m₃+…+m_n)ℓ₁]/m_∑+ [m₂а₂+(m₃ +m₄+…+m_n)ℓ₂]/m_∑+

+…+ [m_n-1a_n-1+ m_nℓ_n-1]/m + [m_na_n]/m_∑. (3.94)

Определим радиус-вектор каждого звена в отдельности.

Рассмотрим 1-ое звено. В точке О сосредоточена масса всех предшествующих звеньев. В точке S₁ сосредоточена масса 1-го звена m₁. В точке А сосредоточена масса всех последующих звеньев

m_А = m₂ + m₃ +…+ m_n.

Т.к. до точки Озвеньев нет, тоm₀ = 0. При таком раскладе масс центр тяжестиS₁сместиться в точкуН₁. Назовемточку Н₁ фиктивным центром масс (главной точкой).Составим уравнение статического момента относительно точкиО:

h₁m_∑=m₁а₁+(m₂ +m₃ +…+m_n)ℓ₁.

Или, выразив h₁

h₁=[m₁а₁+(m₂ + m₃ +…+ m_n)ℓ₁]/m_∑, (3.95,а)

где m_∑=m₁+m₂ +…+m_n.

Рассмотрим 2-ое звено. В точкеАсосредоточена масса предшествующих звеньев, т.е.m₁. В точкеS₂ сосредоточена масса 2-го звена, т.е.m₂. В точке Всосредоточены массы всех последующих звеньевm₃+m₄ +…+m_n.

После такого сосредоточения масс центр тяжести сместится в точку Н₂ (фиктивный центр масс или главная точка). Составим уравнение статического момента 2-го звена относительно точки А:

h₂m_∑=m₂а₂+(m₃+m₄ +…+m_n)ℓ₂.

Выразим h₂:

h₂ = [m₂а₂ + (m₃ + m₄ +…+ m_n)ℓ₂]/m_∑. (3.95,б)

Для остальных звеньев, кроме последнего, уравнение статического момента записывается аналогично.

Рассмотрим последнее звено. В точкеЕсосредоточена масса всех предшествующих звеньев:

(m₁ +m₂ +…+m_n-1).

В точке S_nсосредоточена массаn-го звена. В точкеFсосредоточена масса последующих звеньев. Т.к. после точкиFзвеньев нет, то массаm_F = 0.

При таком сосредоточении масс центр тяжести сместится и окажется между точками EиS_n. Составим уравнение статического момента относительно точкиG:

m_∑h_n =m_nа_n;

Выразим h_n:

h_n = m_nа_n/m_∑. (3.95,в)

Запишем формулы (3.95, а, б, в) вместе:

h₁=[m₁а₁+(m₂+m₃+…+m_n)ℓ₁]/m_∑,

h₂=[m₂а₂+(m₃+m₄+…+m_n)ℓ₂]/m_∑, (3.95,а,б,в)

h_n=m_nа_n/m_∑.

Сравнивая эти формулы с выражением (3.94), можно заметить, что оно состоит из суммы формул (3.95, а, б, в), т.е.

. (3.96)

Вектора , определяющие положение фиктивного центра масс (главной точки) называются главными векторами сил инерции звеньев.

Вектор – величина постоянная (т.к. массаmи длина ℓ постоянные величины), но направление его будет меняться в зависимости от положения звеньев. Как видно из рисунка 3.32, ℓ.

Формула (3.96) гласит: чтобы определить положение общего центра масс механизма, нужно геометрически, пользуясь правилом сложения векторов, сложить главные вектора сил инерции.

В точке Sсосредоточена масса всего механизма. К ней приложены все силы, действующие на механизм. Чтобы система находилась в равновесии, нужно определить результирующую силу инерции по формуле:

F_и = - m_∑a_S,

где a_S - ускорение центра масс (определяется методом планов).

Задача 1. Определить общий центр масс коромыслового механизма

Исходные данные.Длины звеньев вм: ℓ₁= ℓ_ОА, ℓ₂=ℓ_АВ, ℓ₃= ℓ_ВС; расстояния до центров масс вм:a₁ =ℓ_ОS1,a₂ = ℓ_АS2,a₃ =ℓ_ВS3; массы звеньев вкг:m₁,m₂,m₃. Массы звеньев сосредоточены в центрах масс.

Определить.r_S - радиус-вектор, определяющий положение центра тяжести механизма.

Решение.Рассчитываем масштабный коэффициент длины μ_ℓ = ℓ_ОА/ОА и изображаем схему механизма (см. главу 2, §2.1, 2.2, 2.3).

По формулам (3.95а,б,в) определим величины главных векторов сил инерции

h₁= [m₁а₁+(m₂+m₃)ℓ₁]/m_∑

h₂=[m₂а₂+(m₃)ℓ₂]/m_∑ (3.97)

h₃=m₃а₃/m_∑,

где m_∑ = m₁ + m₂ + m₃.

Рассчитаем чертежные величины главных векторов сил инерции

[h₁]=h₁/μ_ℓ; [h₂]=h₂/μ_ℓ; [h₃]=h₃/μ_ℓ.

Радиус-вектор положения центра масс определяется по формуле (3.96):

.

Уравнение векторное, поэтому решаем его, применяя правила сложения векторов. Из точки Она схеме механизма (рисунок 3.33) проводим векторh₁ℓ_ОАдлиной [h₁]. К концу этого вектора прибавляем векторh₂ℓ_АВдлиной [h₂], а затем векторh₃ℓ_ВСдлиной [h₃]. Конец вектораh₃даст точкуS– центр масс механизма. Соединим точку Sс точкойО– получим чертежное значение вектораr_S.

Рисунок 3.33 - Определение центра масс коромыслового механизма

Действительное значение радиус-вектора положения центра масс определиться по формуле:

r_S = [r_S]μ_ℓ= (м),

где [r_S] - чертежное значение радиус-вектора, замеренное с чертежа в мм.

Задача 2. Определить общий центр масс кривошипно-ползунного механизма

Исходные данные.Длины звеньев вм: ℓ₁=ℓ_ОА, ℓ₂=ℓ_АВ; расстояния до центров масс вм:a₁=ℓ_ОS1,a₂=ℓ_АS2,a₃=ℓ_ВS3; массы звеньев вкг:m₁,m₂,m₃. Массы звеньев сосредоточены в центрах масс.

Определить.r_S - радиус-вектор, определяющий положение центра тяжести механизма.

Решение.Аналогично предыдущей задаче вычисляем масштабный коэффициент длины μ_ℓи вычерчиваем схему механизма (рисунок 3.34). Вычисляем главные вектора сил инерции по формулам (3.95а,б,в):

h₁=[m₁а₁+(m₂+m₃)ℓ₁]/m_∑,

h₂= [m₂а₂+(m₃)ℓ₂]/m_∑,

h₃=m₃а₃/m_∑,

где m_∑ =m₁+m₂+m₃.

Рисунок 3.34 - Определение центра масс кривошипно-ползунного механизма

Вычисляем чертежные значения главных векторов сил инерции: [h₁]=h₁/μ_ℓ, [h₂]=h₂/μ_ℓ, [h₃]=h₃/μ_ℓ. Внимание! Если центр масс S₃ ползуна совпадает с точкой В, то а₃=0 и h₃=0.Радиус-вектор общего центра масс определиться из векторного уравнения (3.96)

.

Из построения определиться чертежное значение r_S, а по формулеr_S = [r_S]μ_ℓ, действительное значение радиус-вектора вм.