стоположение и скорость частицы в каждый момент времени. Однако в действительности это не так, Квантовая механика гораздо глубже вскрывает истинное поведение микрочастиц. Она лишь не определяет того, чего нет на самом деле. В применении к микрочастицам понятия определенного местоположения и траектории, как мы уже отмечали, вообще теряют смысл.

7.3. Уравнение Шредингера.

Свет, как уже отмечалось ранее, обладает волновыми свойствами; в качестве примера волновых явлений можно привести такие, как дифракция и интерференция. Было также показано, что свету присущи и корпускулярные свойства. Доказательством этого может служить тот факт, что световая энергия переносится в виде дискретных малых порций энергии hv. Согласно специальной теории относительности каждому фотону следует приписать эффективную массу, равную hv/c2, и импульс, равный h/λ = hν/c. Дальнейшие эксперименты с пучками света очень слабой интенсивности с целью обнаружения эффектов, вызванных отдельными фотонами, а также с очень узкими пучками лучей для исследования вопроса о возможном расплывании фотона при его движении в пучке подтвердили правильность созданной модели фотона. Было установлено, что фотон не расплывается, сохраняя сколь угодно долго свои размеры. Эти эксперименты завершились открытием А.Комптона, который показал, что фотоны рентгеновских лучей рассеиваются электронами, при этом фотоны ведут себя как упругие частицы малых размеров с эффективной массой hv/c2 и импульсом hν/c. Вывод о двойственной природе света был, таким образом, подтвержден экспериментально и лег в основу современной физики, и в частности квантовой электродинамики.

Правомерно теперь поставить такой вопрос: если определенное количество излучаемой энергии (фотон) обладает свойствами, характерными для материальной частицы, то, когда движется частица (например, электрон), будут ли ей присуши свойства, связанные с «частотой» и, следовательно, с «длиной волны»? Ответ на этот вопрос может быть только положительным, и это было доказано в

180

1927 г. экспериментом Дэвиссона—Джермера, в котором при отражении потока быстро движущихся электронов от поверхности кристалла наблюдалась дифракционная картина.

Новая система взглядов утвердилась в физике в первые десятилетия XX в., особенно после успеха теории Бора, который применил гипотезу Планка для объяснения строения атомов. Однако теория Бора поставила перед физиками ряд еще более трудноразрешимых загадок. Например, удовлетворительно объяснив наличие энергетических уровней у атома водорода, теория Бора потерпела неудачу при попытке построить энергетические уровни нейтрального атома гелия.

Гипотеза де Бройля, связавшая электрон, который обладает импульсом p, с волновым процессом (λ = h/p), была затем с успехом применена для интерпретации энергетических состояний электронов в атомах. Новая концепция была сформулирована в предположении, что конечные и дискретные энергетические состояния атома связаны с дебройлевской длиной волны электронов в атоме.

Для таких стационарных состояний электронные волны замыкаются в «стационарное» или «неподвижное» волновое кольцо вокруг ядра. Позднее было экспериментально доказано существование волн де Бройля для фотонов, нейтронов и атомов. В настоящее время мы ассоциируем волны де Бройля с любыми движущимися частицами и материальными объектами. Корпускулярно-волновой дуализм, рассмотренный нами на примере частиц и излучения, как казалось первоначально, неизбежно должен был привести к неразрешимому конфликту. Однако этого не случилось, и теперь мы рассматриваем эту двойственность просто как проявление свойств материи. Кванты, введенные Планком, представляют собой дискретные порции энергии, определяемые уравнением :

E=hν.

Многим показалось невероятным также предположение Бора о том, что энергетические уровни всех веществ характеризуются общими закономерностями, в частном случае каждому фотону сопоставляется электромагнитная волна, при этом амплитуда электромагнитного поля задается функцией ΨE (x, t). Электромагнитное поле является источником информации о таких конкретных

181

величинах, как импульс и энергия фотона. В общем случае с любой частицей, будь то фотон или электрон, ассоциируется волновое поле, амплитуда которого задается функцией Ψ(x, t), известной как волновая функция. Волновое поле служит источником информации о таких величинах, как импульс и энергия частиц, например электронов или α-частиц. Частота и длина волны, ассоциированные с волновым полем, определяются соответственно из соотношений ν = E/h и λ, = h/p.

7.3.1. Волновые функции

Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды волны. Следовательно, интенсивность волнового поля, ассоцииро-

ванного с частицей, пропорциональна квадрату амплитуды ψ(х, t). Поскольку волновая функция может быть комплексной (т. е. мо-

жет содержать комплексные числа вида a + ib, где i = −1 , интенсивность пропорциональна

Ψ(x,t)		2 = Ψ*Ψ ,	(7.21)

где Ψ* — функция, комплексно-сопряженная Ψ.

Каков же физический смысл волновой функции? Какие характеристики, описывающие поведение материальных частиц, могут быть найдены с помощью волновой функции?

Волновая функция должна описывать, вообще говоря, местоположение частицы в пространстве-времени, поскольку частица вероятнее всего находится в той области, где интенсивность поля велика. Макс Борн дал следующее определение: волновая функция имеет вероятностную интерпретацию и квадрат ее модуля |Ψ|2 пропорционален вероятности (на единицу длины) нахождения частицы в данной точке пространства в данный момент времени. Вероятность, что частица находится в пределах элемента длины dx, равна:

P = Ψ*Ψ∙dx.

(7.22)

Применяя правило нормировки, получаем выражение

∞∫Ψ*Ψdx =1,	(7.23)
∞

182

так как вероятность нахождения частицы во всем пространстве должна быть равна 1 (это характеризует полную достоверность).

В более общем случае Ψ = Ψ(х, у, z, t) и Ψ*∙Ψ dxdydz есть вероятность обнаружения частицы в элементе объема dv = dxdydz и

∞∫ ∞∫ ∞∫ Ψ*Ψdv =1.

−∞ −∞ −∞

Из соотношений неопределенностей следует, что необходимо отказаться от детерминистских принципов, применяемых в классической физике. Действительно, поскольку местоположение и скорость частицы не могут быть измерены одновременно с абсолютной точностью, нельзя предсказать точно ее будущее. Следовательно, в квантовой механике мы не можем говорить о траектории частицы. Единственное, что мы сделаем, - это оценим плотность вероятности Ψ*Ψ нахождения частицы в данной точке в данный момент времени.

7.3.2. Уравнение Шрёдингера

В развитие идеи де Бройля о волновых свойствах вещества Шрёдингер получил в 1926 г. свое знаменитое уравнение. Оно позволяет найти волновые функции частиц, движущихся в различных силовых полях. Уравнение выглядит следующим образом:

	−		∆Ψ +U Ψ = i	∂Ψ .	(7.24)
		2m
				∂t

Здесь m — масса частицы, i — мнимая единица, U — потенциальная энергия частицы, — оператор Лапласа, результат действия которого на некоторую функцию представляет собой сумму вторых частных производных по координатам:

∆Ψ = ∂∂2xΨ2 + ∂∂2yΨ2 + ∂∂2zΨ2 .

Из уравнения (7.20) следует, что вид волновой функции определяется функцией U, т. е. в конечном счете характером сил, действующих на частицу.

Уравнение Шрёдингера является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. Оно не может быть выведено из

183

других соотношений. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого доказывается тем, что все вытекающие из него следствия самым точным образом согласуются с опытными фактами.

Шрёдингер установил свое уравнение, исходя из оптикомеханической аналогии. Эта аналогия заключается в сходстве уравнений, описывающих ход световых лучей, с уравнениями, определяющими траектории частиц в классической механике.

Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно (т. е. постоянно во времени), то функция U не зависит явно от t. В этом случае решение уравнения Шрёдингера распадается на два множителя, один из которых зависит только от координат, дру- гой—только от времени:

Ψ(х, у, z, t) = ψ(х, у, z) exp[-i(E/h)∙t]. (7.25)

Здесь E — полная энергия частицы, которая в случае стационарного поля остается постоянной. Чтобы убедиться в справедливости выражения (7.21), подставим его в уравнение (7.20). В результате получим соотношение

	−	2	∆ψ +Uψ = Eψ	(7.26)
		2m

Уравнение (7.22) называется уравнением Шрёдингера для стационарных состояний. В дальнейшем мы будем иметь дело только с этим уравнением и для краткости будем называть его просто уравнением Шрёдингера. Уравнение (7.26) часто пишут в виде

∆ψ +	2m	(E −U )ψ = 0 .	(7.27)
	2

В случае стационарного силового поля волновая функция имеет

вид (7.25). Соответственно

Ψ*Ψ = exp [i(E/ħ)∙t]∙ψ∙exp [-i(E/ħ)∙t]ψ = ψ*ψ,

так что плотность вероятности равна ψ*ψ и, следовательно, от времени не зависит. По этой причине состояния, описываемые волновыми функциями вида (7.25), и были названы стационарными.

В классической механике состояние частицы (материальной точки) определяется заданием положения и скорости (или импуль-

184