Это значение называется нулевой энергией.

Существование нулевой энергии вытекает и из принципа неопределенности.

Существование нулевой энергии подтверждается экспериментами по изучению рассеяния света кристаллами при низких температурах. Оказывается, что интенсивность рассеянного света по мере понижения температуры стремится не к нулю, а к некоторому конечному значению, указывающему на то, что при абсолютном нуле колебания атомов в кристаллической решетке не прекращаются.

Квантовая механика позволяет вычислить вероятности различных переходов квантовой системы из одного состояния в другое. Подобные вычисления показывают, что для гармонического осциллятора возможны лишь переходы между соседними уровнями. При таких переходах квантовое число n изменяется на единицу:

n = ±1. (7.56)

Условия, накладываемые на изменения квантовых чисел при переходах системы из одного состояния в другое, называются правилами отбора. Таким образом, для гармонического осциллятора существует правило отбора, выражаемое формулой (7.56).

Из правила (7.56) вытекает, что энергия гармонического осциллятора может изменяться только порциями ћω. Этот результат, получающийся естественным образом в квантовой механике, совпадает с тем весьма чужеродным для классической физики предположением, которое пришлось сделать Планку, чтобы вычислить испускательную способность абсолютно черного тела. Отметим, что Планк предполагал, что энергия гармонического осциллятора может быть лишь целой кратной ћω. В действительности же имеется еще нулевая энергия, существование которой было установлено только после создания квантовой механики.

7.3.8. Атом водорода

Простейшим атомом является атом водорода. Он состоит из ядра с массой, равной примерно 1840 массам электрона, и зарядом + e (это ядро представляет собой элементарную частицу, называемую протоном) и движущегося вокруг ядра электрона. Строго го-

200

воря, ядро и электрон движутся вокруг их центра масс. Однако в связи с тем, что масса ядра на три порядка больше массы электрона, в первом приближении ядро можно считать неподвижным.

Спектр излучения атомарного водорода состоит из отдельных спектральных линий. Очевидно, что линии располагаются в определенном порядке. Расстояние между линиями закономерно убывает по мере перехода от более длинных волн к более коротким.

Частоты всех линий спектра водородного атома можно представить одной формулой:

	1			1
ω = R			−				,	(7.57)
		2		n	2
m

где m имеет значение 1 для серии Лаймана, 2 — для серии Бальмера и т. д. При заданном m число n принимает все целочисленные значения, начиная с m + 1, Выражение (7.57) называют обобщенной формулой Бальмера.

При возрастании n частота линии в каждой серии стремится к предельному значению R/m2, которое называется границей серии.

Отметим, что формула (7.57) вытекает из теории Бора. Перейдем к квантовомеханической задаче об атоме водорода.

Потенциальная энергия электрона в этом атоме равна

U = − 1 e2 ,

4πε0 r

(r — расстояние электрона от ядра). Следовательно, уравнение Шрёдингера имеет вид

∆ψ +	2me		E +	1	e2	ψ = 0 .	(7.58)
		2		4πε0	r

Поле, в котором движется электрон, является центральносимметричным. Поэтому целесообразно взять выражение оператора Лапласа в сферической системе координат r, υ, φ. Соответственно и решения уравнения, т. е. функции ψ, получатся в этих координатах.

Оказывается, что решения уравнения (7.58) удовлетворяют стандартным условиям в следующих случаях:

201

1)при любых положительных значениях энергии E;

2)при дискретных отрицательных значениях энергии, равных

	1	2	m e4		1
En = −			e	2			(n = 1, 2, 3, ......).	(7.59)
	4πε0				n	2
			2

Случай E > 0 соответствует электрону, пролетающему вблизи ядра и удаляющемуся снова на бесконечность. Случай E < 0 соответствует электрону, связанному с ядром.

Подставив в (7.59) значения констант и приняв n=1, получим значение энергии основного состояния (т. е. состояния с наименьшей энергией) водородного атома:

	2 0,911 10		−30		1,602			10		−19	4
											)
E1 = −(9 109 )					(							= –2,18∙10–18 Дж =
	(						−34	)	2
	2 1,055					10
= –13,6 эВ.	(7.60)

Такая же по модулю положительная энергия представляет собой в атомной физике внесистемную единицу энергии, получившую название ридберг (Р);

1 Р = 13,6 эВ.

(7.61)

Собственные функции уравнения (7.58) содержат три целочис-

ленных параметра n, и m:
ψ = ψn m(r, υ, φ).	(7.62)

Параметр n, называемый главным квантовым числом, совпадает с номером уровня энергии (см. формулу (7.59)). Параметры и m

представляют собой азимутальное и магнитное квантовые числа, определяющие по формулам (7.51) модуль момента импульса и проекцию момента на некоторое направление z.

Решения, удовлетворяющие стандартным условиям, получаются лишь для значений , не превышающих n-1. Следовательно, при

данном n квантовое число может принимать n различных значений:

= 0, 1, 2, ..., n - 1.

202

При данном квантовое число m может принимать 2 + 1 различных значений:

m = - , - + 1, ..., - 1, 0, +1, ..., - 1, .

(см. формулы (7.51)).

Согласно (7.59) энергия электрона зависит только от главного квантового числа n. Следовательно, каждому собственному значению энергии En (кроме E1) соответствует несколько собственных

функций ψn m, отличающихся значениями квантовых чисел и m.

Это означает, что атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях.

В табл. приведены состояния, соответствующие первым трем энергетическим уровням.

Уровень	Волновая	Значение			Уровень	Волновая	Значение
энергии	функция				энергии	функция
En	ψn m	n		m	En	ψn m	n		m
E1	ψ100	1	0	0		ψ300	3	0	0
						ψ31 -1	3	1	–1
						ψ310	3	1	0
	ψ200	2	0	0		ψ31 +1	3	1	+1
	ψ21 -1	2	1	–1 E3		ψ32 -2	3	2	-2
E2	ψ210	2	1	0		ψ32 -1	3	2	–1
	ψ21 +1	2	1	+1		ψ320	3	2	0
						ψ32 +1	3	2	+1
						ψ32 +2	3	2	+2

Состояния с одинаковой энергией называются вырожденными, а число различных состояний с каким-либо значением энергии называется кратностью вырождения соответствующего энергетического уровня. Кратность вырождения уровней водорода легко вы-

числить, исходя из возможных значений для и m. Каждому из n

значений квантового числа соответствует 2 + 1 значений кван-

тового числа m. Следовательно, число различных состояний, соответствующих данному n, равно

203

n−1

∑(2 +1)= n2 .

=1

Таким образом, кратность вырождения энергетических уровней водородного атома равна n2 (см. табл.).

Состояния с различными значениями азимутального квантового числа отличаются значениями момента импульса. В атомной физике применяются заимствованные из спектроскопии условные обозначения состояний электрона с различными . Электрон, на-

ходящийся в состоянии с = 0, называют s-электроном (соответствующее состояние — s-состоянием), с = 1 — p-электроном, с =

2 — d-электроном, с = 3 - f -электроном, затем идут g, h и т. д. уже по алфавиту. Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением квантового числа . Таким образом,

электрон в состоянии с n = 3 и = 1 обозначается символом 3р и т. д.

Поскольку всегда меньше n, возможны следующие состояния

электрона;

1s,

2s, 2p,

3s, 3p, 3d, 4s, 4p, 4d, 4f

и т. д.

Схема уровней энергии водородного атома дана на рис. Уровни, отвечающие состояниям с различными значениями квантового

числа , помещены в разных столбцах.

Испускание и поглощение света происходит при переходах электрона с одного уровня на другой. В квантовой механике дока-

зывается, что для азимутального квантового числа имеется правило отбора

=±1.

(7.63)

204