Коммерциялық емес

акционерлік

қоғам

Инженерлік кибернетика кафедрасы

Есептік іс-тәжірибе

5В0702-Автоматтандыру және басқару мамандығы

бойынша оқитын студенттерге арналған

Алматы 2010

ҚҰРАСТЫРУШЫЛАР: Ешпанова М.Д., Ибрашева А.Т. Есептік іс-тәжірибе. 5В0702- Автоматтандыру және басқару мамандығы бойынша оқитын студенттерге арналған.- Алматы: АЭжБИ, 2010. - 36б.

Мұнда 5В0702- Автоматтандыру және басқару мамандығы бойынша оқитын студенттерге есептік іс-тәжірибе тапсырмаларын орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар және мысалдар келтірілген.

Пікір беруші: техн. ғыл. канд. проф. Шевяков Ю.В.

“Алматы энергетика және байланыс институтының” коммерциялық емес акционерлік қоғамының 2010 ж. баспа жоспары бойынша басылады.

©

“Алматы энергетика және байланыс институтының” ҚЕАҚ, 2010 ж.

Мазмұны

Кіріспе	3
Тапсырма 1. Қорытынды теңдеулерді жуықтап шешу	3
Тапсырма 2. Сандық интегралдау әдістері	11
Тапсырма 3. Кіші квадраттар әдісі	16
Тапсырма 4. MS Excel көмегімен дифференциалдық теңдеулерді сандық шешу әдістері	20
Тапсырма 5. Бет тұрғызу	24
Тапсырма 6. Надстройки-Поиск решения көмегімен оптималдау есептерін шешу	27
Тапсырма 7. Қарап шығу және сілтеу функциялары	33
Әдебиеттер тізімі	36

Кіріспе

Студенттердің оқу-танысу іс-тәжірибесі олардың оқу барысында алынған білімдерін практикалық еспетерді шешеуде қолдануға негізделген. Іс-тәжірибе өту барысында студенттер инженерлік есептерді сандық шешу әдістерін оқып және оларды қолдануды үйренуі керек: трансценденттік теңдеулерді шешу әдістері, сандық интегралдау әдістері, дифференциалдық теңдеулерді шешу әдістері.

Студенттер әртүрлі мысалдарды орындау кезінде MS Excel-дің математикалық, экономикалық және басқа да есептерді шешеуге арналған көптеген мүмкіндіктерін оқиды. Әдістемелік нұсқауда келтірілген тапсырмалар кестелік процессордың және программалық құралдарды құрудың жетілдірілген ортасының мүмкіндіктерін тереңдетіп меңгеруге арналған.

Іс-тәжірибе өту барысында студент әрбір орындалған тапсырма бойынша жазбаша есептеме тапсыруы керек. Есептеме құрамы келесідей:

• есептің қойылуы;

• әдістің сипаттамасы;

• программалау тілдерінің бірінде жазылған программа және (немесе) есептеу кестесі;

• программа жұмысының нәтижесі.

Әрбір жұмыстың сипаттамасы сәйкес курстан алынған орындауға арналған ақпрараттан және ұқсас есепті орындау мысалынан тұрады. Кейбір тапсырмалар MS Excel-мен қатар алгоритмдеу тілін қолдануға негізделген. Сонымен қатар әдістерді және функцияларды қолдану мысалдары келтіріледі.

Тапсырма 1. Қорытынды теңдеулерді жуықтап шешу

Жұмыс мақсаты – еспетеу математикасының инженерлік тәжірибеде көп кездесетін типтік есептерін – алгебралық және трансценденттік теңдеулерін орындауды үйрену.

Теңдеулерді сандық шешу қарастырылады

f(x)=0, (1.1)

мұнда f – берілген функция.

Егер (1.1) теңдеу келесі түрде болса:

A ₀ + A ₁ x + A ₂ x ² + . . . + A _n x ⁿ = 0

мұнда A _i –белгілі коэффициенттер.

Онда ол n-дәрежелі алгебралық теңдеу деп аталады. Барлық басқа жағдайларда (1.1) теңдеу трансценденттік теңдеу деп аталады.

(1.1) түрдегі теңдеулерді шешудің ең тиімді шешу әдістері: Ньютон әдісі, дихотомия әдісі, хордалар әдісі, қарапайым итерация әдісі.

Ньютон әдісі. Теңдеудің түбіріне кезекті жуықтау келесі формула бойынша жүреді

х_n+1=x_n-f(x_n)/f ¹(x_n).

Дихотомия әдісі (кесіндіні қақ бөлу әдісі). Әрбір итерация сайын [a,b] кесіндісі қақ бөлінеді. Келесі итерация үшін кесіндінің ұштарында f(x) функциясының әртүрлі таңбалы болатын кесінді таңдалады.

Хордалар әдісі. Кезекті жуықтау төмендегі формула бойынша жүреді

х_n+1=x_n- (x_n – x_n-1)* f (x_n)./ (f(x_n)- f(x_n-1)).

Қарапайым итерация әдісі. Кезекті жуықтау төмендегі формула бойынша жүреді

x_n= (x_n-1);

бастапқы жуық түбірді график көмегімен табуға болады. Егер түбір төңірегінде |¹(х)| <1 болса әдіс анықталған.

(1.1) теңдеудің сандық шешімін әдетте өрескел шешімді табудан – бастапқы жуықтаудан бастайды.

Мысал.

Келесі теңдеу берілген

х³-17х+12=0 (1.2)

Теңдеуді сандық әдіспен шешу алдында оны стандартты түрге келтіру керек. Екі стандартты түрін қарастырайық.

1.1-Кесте

Түрі	Мысал	Қолданылатын әдістер
Оң бөлігі 0-ге тең теңдеу 1	х^3-17х+12=0	Графикалық әдіс, хордалар әдісі, дихотомия әдісі, Поиск решения пакеті
Сол бөлігі белгісіз шамадан тұратын теңдеу 2	х^3+12 х=(х)=---------- 17	Ұяшықтағы итерация әдісі

Берілген мысалды шешу үшін келесі әдістерді қарастырамыз:

1. Теңдеу түбірін график көмегімен іздеу (бастапқы жуықтау ретінде қарастыруға болады);

2. Итерации әдісі;

3. Теңдеуді Надстройки-Поиск решения көмегімен шешу.

4. Паскаль тіліндегі программа көмегімен шешу (қақ бөлу әдісі – дихотомия).

1. Түбірді іздеу үшін графикалық әдісті қолдану

Түбірді іздеу үшін графикалық әдісті қолданғанда теңдеудің бірінші түрі ыңғайлы, оның барлық мүшелері бір бөлігінде орналасқан.

Теңдеу мына түрде жазылады

f(x)= х³-17х+12. (1.3)

Электрондық кестеге -5<=x <=5 интервалындағы х мәндерінің бағанын толтырамыз, әрбір х үшін f(x) мәні есептеледі. f(x) функциясының графигі орнатылған нүктелік диаграмма тұрғызамыз.

1.1. - Сурет

Графикте түбірлер х=0,8, х=3,7жәнех=-4,5 нүктелереінің жаныныда орналасқаны көрініп тұр. Түбірлерді графикалық әдіспен табу қарапайым, бірақ дәлдігі төмен.

Түбірлерді жоғары дәлдікпен табу үшін сандық итерациялық әдістер қолданылады. Бұл әдістерді қолдана отырып бастапқы жуық мәнді көрсету керек, ал графикалық әдіс осы жуық мәнді табу үшін өте қолайлы.

Қарапайым итерация әдісінде (тура орнына қою әдісі) – алдыңғы жолда есептелген мәнді келесі итерация үшін болжанған мән ретінде қолданады. Ол үшін 2 стандартты форманы қолдану қажет

(1.4)

Теңдеудің сол бөлігіне шығарылған айнымалы есептелетін мән деп аталады. Оны х_в деп белгілейік. Теңдеудің оң бөлігіндегі х айнымалысы болджамды мән. Ол х_п деп белгіленеді.

(1.5)

А4 ұяшығына бастапқы болжамды мән енгізіледі – х=0,8. В4 ұяшығында (1.5) формуласы бойынша есептеулер жүргізу үшін А4 ұяшығындағы болжамды мән қолданылады.

А бағанындағы әрбір жаңа болжамды мән В бағанындағы алдыңғы қадамның есептелген мәніне тең болады. Мысалы, А5 ұяшығына (=В4) формуласы енгізіледі.

Енді жаңа есептелетін мән алу үшін В4 ұяшығындағы формуланы В5 ұяшығына көшіру қажет.

Қажеттілік болса келесі итерация үшін ұяшықтар 5-нші жолдан төменгі жолға көшіріледі. С бағанындағы айырма әдістің қиылсуын бағалауға мүмкіндік береді.

Кесте 1.2

1.2. кестеден қарапайым итерация әдісі көмегімен х=0,7286 түбірін бірнеше қадам ғана жасап тез табылғаны көрінеді.

х=0,8 аумағында ¹(x)= 3*х² /17 <1 болғандықтан әдістің қиылысуына қажетті шарт орындалған.

Қарапайым итерация әдісінің артықшылығы – ол электрондық кестеде оңай іске асырылады.

Кемшілігі: кейде әдіс қиылыспайды – оның көмегімен барлық түбірлер табыла алмайды.