Тапсырма 2. Сандық интегралдау әдісі

Жұмыс мақсаты – сандық интегралдау әдісін зерттеу, практикалық есептерді шешуде қолдану инженерлік есептеулер үшін қолдану.

Көптеген қарапайым функциялардың интегралдары қарапайым функциялар арқылы көрсетілмейді. Сонымен қатар, интегралдауға қажетті функция тек формула емес басқа да түрде берілуі мүмкін. Интегралдар жақсылап зерттелген және күрделі «арнайы» функциялар арқылы көрсетілуі мүмкін, мысалы, қателіктер функциясы, интегралдық синус және интегралдық косинус. Кез-келген әдіспен, әсіресе кестелік түрде берілген функциялардан алынатын интегралдауда қолданылатын әмбебап әдістердің бірі сандық интегралдау әдісі. Егер интегралданатын функцияның интегралдау интервалындағы кейбір нүктелеріндегі мәндері белгілі болса, онда сандық интегралдау формулалары ол интегралдың жуықтаған мәнін береді.

Сандық интегралдаудың келесі әдістері қарастырылады

1. Ауданды тіктөртбұрыштарға бөлу арқылы жуықтап есептеу.

мұнда n – бөлінген кесінділердің саны; y_{0 б}y_1,… y_n – функцияның кесінді соңдарындағы мәні.

2. Ауданды трапецияларға бөлу арқылы жуықтап есептеу.

I=f(x)dx=(y₀+2y₁+_…+2y_n-1+y_n),

мұнда n- бөлінген кесінділердің сан; y_{0 ,} y_1, y_n – функцияның кесінді соңдарындағы мәні.

3. Симпсон әдісі.

I=f(x)dx=(y₀+4y₁₊2y₂+_…+4y _2n-1+y _2n),

мұнда 2n- бөлінген кесінділердің сан; y_{0 ,} y_1, y _2n – функцияның кесінді соңдарындағы мәні.

Симпсон әдісін нүктелер саны жұп болса және абсцисса өсі бойынша нүктелер бірдей ара қашықтықта, яғни интервал тұрақты болса ғана қолдануға болады. Интегралдау қадамы көршілес екі интервалдан тұрады.

Трапециия формуласын қолданғанда қателік реті h² болады, Симпсон формуласы үшін – h⁴, мұнда h – интервал – берілген екі нүктенің арақашықтығы. Интервалды h кішірейткенде дәлдік жоғарылайды.

Әдістер 0-ден дейінгі интервалында у=соs(х) функциясын сипаттайтын мәліметтер мысалында көрсетіледі.

соs(х)dx=sin( )-sin(0)=1 (2.1)

Есептеу процесін келесі этаптарға бөлуге болады:

1. Мәліметтерді енгізу;

2. Бір тіктөртбұрыштың немесе трапецияның ауданын есептеу үшін формула енгізу;

3. Формуланы барлық интервалдарға көшіру (оның саны мәліметтер нүктесінің санына тең болмауы мүмкін екеніне көңіл аударыңыз).

4. Бөлшектеуден пайда болған фигуралардың ауданының қосындысын есептеу.

2.1 Тіктөртбұрыштарға бөлу арқылы интегралды есептеу

Электронды кестеге х-тің онбір мәнін енгізіп, осы нүктелердегі у мәнін есептеу керек.

S_тт бағанына әрбір тіктөртбұрыштың ауданын есептейтін формуланы енгізу керек; тіктөртбұрыштың биіктігі интервалдың сол жағындағы функцияның мәніне тең. Суммарлық ауданды есептеу қажет.

Тура осыған ұқсас тіктөртбұрыштың биіктігі интервалдардың оң жағындағы функцияның мәніне тең болған кездегі интегралды табыңыз. Интегралдың табылған мәндерін салыстырыңыздар.

Кесте 2.1

2.2 Трапецияларға бөлу арқылы интегралды есептеу

Бір трапецияның ауданын табу үшін формуланы енгізу:

Трапецияның ауданын келесі формуламен өрнектеледі

Sтрап=(у_о+у_с)*(х_о-х_с)/2;

у-тің есептеліп қойған мәндерін қолданып әрбір трапецияның ауданыны есептеу керек. Трапецияның суммарлық ауданды есептеу қажет. Табылған үш нәтижені салыстырыңыздар.

Мысал: С++ тілінде орындалған сандық интегралдау

Float f(float x) //интеграл астындағы өрнеукті есептеу

{float c;

c=cos(x);

return c;}

float integ(float a,float b, int n) // интегралды есептеу

{float s,h;

int i;

h=(b-a)/n;

s=(f(a)+f(b))/2;

for(i=1;i<n;i++)

s=s+f(a+h*i);

return s*h;}

void main() //бас функция

{float a,b,i;

int n=10;

i=integ(0, 1.57,n);

cout<<”integral value=”<<i<<endl;}