3. Методи лінеаризації нелінійних характеристик.

Линеаризация нелинейных характеристик путем разложения в ряд состоит в замене характеристики у =f(.х) приближенной ли­нейной зависимостью, определяемой двумя первыми членами разложения характеристики в ряд Тейлора (1.20). Пусть характеристика у =f(x) дифференцируема и входной сигнал х (t) мало отличается от некоторого среднего значения х₀, тогда зависимость у =f(х) можно заменить приближенной

Замена нелинейной зависимости у =f(х) линейной (2.131) геометрически представляет собой замену кривой у =f(х), касательной к ней в точке х₀.

Действующие в АСР внешние возмуще­ния можно представить как стационарные случайные функции x(t) с математическим ожиданием т_х и центрированной случайной составляющей:

В этом случае практически линеаризацию нелинейной характеристики целесообразно производить относительно центрированного входного случайного сигнала , т. е. за центр разложения x₀ в (2.131) взять матема­тическое ожидание т_х входного сигнала x(t). В результате получается

Таким образом, приближенная зависи­мость (2.133) линейна только относительно случайной составляющей входного сиг­нала и нелинейная относительно математиче­ского ожидания т_х , поэтому принцип супер­позиции здесь неприменим.

Гармоническая линеаризация. В целом ряде практических задач приходится рассмат­ривать воздействие на линейное звено гармо­нических колебаний

Выходной сигнал нелинейного звена так­же будет периодическим, но не гармони­ческим. В качестве примера на рис. 2.41 приведены графики сигналов у (t) на выходе нелинейных звеньев с различными характе­ристиками.

Идея гармонической линеаризации со­стоит в том, что выходные периодические колебания y(t) разлагают в ряд Фурье (1.29) и для дальнейших исследований ограничи­ваются рассмотрением лишь первых гармоник этого ряда. В этом случае нелинейная зависимость заменяется приближенной

Коэффициенты q₁ и q₂ называются гармоническими коэффициентами усиления нелинейного звена, они зависят от характе­ристики нелинейного элемента и от ампли­туды А входного синусоидального сигнала, т.е. q₁=q₁(A), q₂=q₂(A). Для типовых нелинейных характеристик формулы для вы­числения q_t (А) и q₂ (А) приведены в табл. 2.3. Для нечетных характеристик а₀ = 0, для однозначные характеристик q₂ (А) = 0. В даль­нейшем рассматриваются нечетные нелиней­ные характеристики.

Выражение (2.135) при а₀ = 0 можно пред­ставить в виде

Часто удобно входной сигнал рассматри­вать в комплексной форме:

тогда первая гармоника выходного сигнала принимает вид

Введем понятие комплексного гармони­ческого коэффициента усиления нелинейного звена

Коэффициент W_н (А) не зависит от часто­ты входных колебаний, а зависит от их амплитуды А, в этом в основном и со­стоит отличие нелинейного безинерционного звена от линейного инерционного.

Статистическая линеаризация. Метод при­ближенной замены нелинейной характеристи­ки эквивалентными в вероятностном смысле линейными зависимостями называется мето­дом статистической линеаризации. В резуль­тате такой линеаризации нелинейная зависи­мость у =f(x) заменяется приближенной

где т_х = const — математическое ожидание стационарного случайного сигнала на входе нелинейного элемента; — центрированная случайная составляющая входного сигнала x(t).

Предполагается, что выходной стацио­нарный случайный сигнал может быть пред­ставлен в виде

где т_у — математическое ожидание у (t); — центрированная случайная составляющая y(t). Коэффициент

называется статистическим коэффициентом усиления нелинейного звена по математи­ческому ожиданию. Коэффициент

называется статистическим коэффициентом усиленна нелинейного звена по центрнрован-ной случайной составляющей, где -дисперсии y(t) и х(t)

есть в тетради таблица