18. Математичний апарат імпульсних систем (різниця ґратчастих функцій, різницеві рівняння).
Аналогом первой производной для решетчатой функции является либо первая прямая разность:
,
либо первая обратная разность:
Аналогов второй являются вторые разности. Прямая:
и обратная:
По аналогии могут определяться и высшие разности:
.
,
где:
Очевидно, что
если
определена
только для положительных
,
то для
все
обратные разности
равны
нулю.
Аналогом интеграла непрерывной функции для решетчатой является неполная сумма:
,
и полная сумма:
.
Разностные уравнения Аналогом дифференциальных уравнений для импульсной системы является уравнение в конечных разностях или разностное уравнение (РУ):
,
Разностное уравнений может быть составлено и в прямых разностях. Если раскрыть разности, то уравнение будет иметь вид:
|
|
(1) |
где
,
Разностные уравнения легко машинизируются и для их расчета можно составлять рекуррентный алгоритм.
Учтем запаздывание
передаточной функцией звена чистого
запаздывания и вынесем теперь уже
изображение дискретной последовательности
в
уравнении (1) за скобку:
,
введем обозначение
и
перепишем уравнение:
.
Решая это уравнение, для чего его левая часть приравнивается к нулю, можно получить общее решение, т.е. переходную составляющую в виде:
.
где:
—
корни выражения в скобках; а
—
произвольные постоянные.
Вид решения левой части определяет условие устойчивости для систем, описанных с помощью разностных уравнений:
.
19. Математичний апарат імпульсних систем (z-перетворення і його основні властивості).
Для решетчатых функций времени может быть введено понятие дискретного преобразования Лапласа:
которое называется
Z-преобразованием при подстановке
,
и связывает изображение с оригиналом.
Z-преобразования
(изображения) типовых решетчатых функций
и типовых непрерывных передаточных
функций
сведены
в таблицы. Определены правила и теоремы
для математических манипуляций с ними.
20. Передатні функції імпульсного фільтра.
Рис. 7. Расчетная схема импульсной САУ
Если время
замкнутого состояния ключа мало, то
сигнал на его выходе можно заменить
последовательностью
дельта-функций,
с площадью
:
.
-
В таком случае реакция непрерывной части
—
это суперпозиция весовых функций
,
которую можно рассматривать и как
непрерывный сигнал
,
и как дискретную последовательность
. -
Импульсным фильтром считают импульсный элемент (ключ) с непрерывной частью
на
выходе. За истинный сигнал фильтра
принимают выходную последовательность
только в дискретные моменты времени
,
где n = ..., -2, -1, 0, 1, 2,... -
Задача идеального импульсного элемента (ИИЭ) в модели — сформировать для дальнейшего математического описания системы либо последовательность импульсов типа
-функций
с площадью
,
либо решетчатую функцию, в основе
которой единичная импульсная функция
с
амплитудой
. -
Задача экстраполятора — математически описать выходную последовательность реального импульсного звена (экстраполяция — это прогнозирование (синтез) сигнала между значениями решетчатой функции).
-
Коэффициент передачи квантователя (ИИЭ) обратно пропорционален периоду квантования, а коэффициент передачи экстраполятора нулевого порядка равен периоду. Таким образом общий коэффициент передачи квантующей и восстанавливающей цепи, т.е. ИЭ обычно равен единице.
Обобщенная модель импульсного элемента
Рис. 8. Обобщенная модель импульсного элемента
Приведенные весовая и передаточная функции разомкнутой импульсной системы.
Если ИИЭ выдает
решетчатую функцию, то можно ввести
понятие "приведенной весовой функции"
—
.
Это отношение выходного сигнала
к
значению единственной дискреты
поданной
на вход экстраполятора.
Если ИИЭ выдает
последовательность типа
функций,
то для непрерывной части совместно с
экстраполятором можно вывести понятие
приведенной непрерывной передаточной
функции:
,
при этом
.
Дискретная передаточная функция САУ
Знание
приведенной решетчатой весовой функции
позволяет
найти реакцию импульсного фильтра на
входную величину произвольного вида —
.
Рассмотрим реакции на отдельные значения
входной величины в дискретные моменты
времени:
-
на
-
на
-
на
Следовательно реакция на всю входную последовательность будет равна:
;
Здесь первоначально
изменен порядок суммирования (свертка),
а затем учли запаздывание оператором
запаздывания
.
Если устремить n к бесконечности, то,
очевидно, что сомножитель для
есть
дискретная передаточная функция:
.
И поскольку она является Z-преобразованием приведенной решетчатой весовой функции, то ее можно представить как Z-преобразование от обратного преобразования Лапласа приведенной передаточной функции экстраполятора и непрерывной части:
.
Часто для краткости
записи знак операции
опускают
записывая:
.