Задача 2.2.

Имеются данные о затратах времени на изготовление деталей в 200 отраслях:

Таблица 2.3

Время, затраченное на изготовление 1 детали, мин.	Число деталей, штук	Сумма накопленных частот, Si
1	2	3
8-10	14	14
10-12	26	40
12-14	75	115
14-16	40	155
16-18	20	175
18-20	15	190
20-22	10	200
Итого	200	889

По приведенным данным вычислите:

1. среднее значение варьирующего признака;

2. показатели вариации: размах, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратичное отклонение, коэффициенты вариации и осцилляции;

3. моду и медиану.

Решение. задачи данного типа рекомендуется решать в табличной форме (табл. 2.4). За значение признака (х_i) принимаются середины интервалов.

Таблица 2.4

xi	fi	xifi
1	2	3	4	5	6
9	14	9 · 14 = 126	|9 - 14,1| = 5,1	5,1 · 14 = 71,4	5,1^2 · 14 = 364,14
11	26	11 · 26 = 286	|11 - 14,1| = 3,1	3,1 · 26 = 80,6	3,1^2 · 26 = 249,86
13	75	975	1,1	82,5	90,75
15	40	600	0,9	36,0	32,40
17	20	340	2,9	58,0	168,20
19	15	285	4,9	73,5	360,15
21	10	210	6,9	69,0	476,10
Итого	200	2822	24,9	471,0	1741,60

1. Определим среднее значение признака по средней арифметической взвешенной (формула (2.2):

2. Размах вариации рассчитываем как разницу между серединами первого и последнего интервалов (формула (2.16):

R = 21 - 9 = 12 мин.

Среднее линейное отклонение определяется по формуле (2.18):

Среднее квадратичное отклонение определим по формуле (2.20):

Дисперсия в данном примере определяется по формуле (2.22). данные для расчета содержатся в графах 2 и 6 табл. 2.4.

коэффициент вариации определяем, подставляя данные в формулу (2.26):

Коэффициент осцилляции (формула (2.24) в нашем примере равен:

2. Чтобы определить моду и медиану в данном интервальном ряде распределения, воспользуемся формулами (2.10) и (2.11).

Вначале определяют модальный интервал, т.е. интервал, имеющий наибольшую частоту. В данном примере модальным является интервал 12-14 минут, т.к. его частота составляет 75 единиц. Тогда нижняя граница модального интервала (х_мо) составит 12, величина модального интервала (i_мо) = 2, частота модального интервала (f_мо) = 75, частота интервала, предшествующего модальному (f_(мо-1)) = 26, частота интервала, следующего за модальным (f_(мо+1)) = 40. Следовательно, мода равна:

Для определения медианы в интервальном ряде распределения воспользуемся формулой (2.11):

(2.11)

Найдем медианный интервал. У медианного интервала сумма накопленных частот должна быть равна половине суммы всех частот ряда или превышать эту величину. В нашем примере сумма всех частот равна 200 единицам, полусумма - 100 единиц (200 : 2). В гр. 3 табл. 2.3 рассчитываются суммы накопленных частот последовательным сложением частот каждой группы. Для первой группы сумма накопленных частот - 14 единиц, для второй - 40 (14+26), для третьей - 115 (14 + 26 + 75) и т.д.

В третьей группе сумма накопленных частот превысит полусумму всех частот ряда (115 > 100), следовательно, третья группа является медианной, а медианный интервал - 12-14 мин. тогда медиана равна:

Вывод. из приведенных расчетов видно, что среднее время на изготовление 1 детали составит 14,1 мин., при этом половина рабочих затратит на изготовление 1 детали в среднем не более 13,6 мин. (М_е = 13,6), а самая многочисленная группа затратит на изготовление 1 детали в среднем 13,2 мин.

Индивидуальное время на изготовление 1 детали отклоняется от среднего времени в среднем на 2,9 мин. (σ = 2,95), что составляет 20,9% (V = 20,9). Средняя типична для совокупности, т.к. коэффициент вариации не превышает 30%.

Так как М_о < М_е < , в нашем примере наблюдается правосторонняя асимметрия.

Расчет коэффициента асимметрии по формуле (2.14) подтверждает этот вывод, т.к. имеет положительное значение.