Расчет параметров уравнения регрессии

Год	Y	Z	S	Y^2	Z^2	YZ	YS	ZS
1	100	2	20	10000	4	200	2000	40
2	110	2	25	12100	4	220	2750	50
3	140	3	30	19600	9	420	4200	90
4	150	2	30	22500	4	300	4500	60
5	160	3	35	25600	9	480	5600	105
6	160	4	38	25600	16	640	6080	152
7	180	4	40	32400	16	720	7200	160
8	200	3	38	40000	9	600	7600	114
9	230	4	44	52900	16	920	10120	176
10	250	5	50	62500	25	1250	12500	250
11	260	5	55	67600	25	1300	14300	275
Сумма	1940	37	405	370800	137	7050	76850	1472
Среднее	176,3636	3,3636	36,8182	33709,09	12,4546	640,9091	6986,36	133,8182
∑(yi-ŷ)^2	∑(zi-ž)^2	∑(si-ŝ)^2	∑(yi-ŷ)(zi-ž)		∑(yi-ŷ)(si-ŝ)		∑(zi-ž)(si-ŝ)
28654,55	12,5455	1087,636	524,5451		5422,727		109,7272

Для расчета параметров а, b₁,b₂ регрессии S=а+b₁ Υ+b₂ Ζ решаем систему уравнений (5.5).

Решение системы находим методом Крамера (определителей) и получаем следующие результаты параметров:

а = 2,962; b₁ = 0,124; b₂ = 3,554.

Таким образом, эмпирическое уравнение регрессии имеет вид:

= 2,962 + 0,124· y_t + 3,554∙ z_t

Найденное уравнение позволяет рассчитать теоретические значения ŝ_t зависимой переменной и вычислить отклонения ε_i реальных значений от теоретических (табл. 7.5.3).

Таблица 7.5.3

Отклонение реальных значений от теоретических

Год	S		еi	еi^2	еi - еi-1	(еi - еi-1)^2
1	20	22,48852	-2,48852	6,19273	-	-
2	25	23,73041	1,269594	1,61187	3,75811	14,12339
3	30	31,00991	-1,00991	1,01992	-2,27950	5,19612
4	30	28,69796	1,30204	1,69523	2,31194	5,34507
5	35	33,49369	1,50631	2,26896	0,20427	0,04173
6	38	37,04753	0,95247	0,90719	-0,55384	0,30674
7	40	39,53131	0,46869	0,21967	-0,48378	0,23404
8	38	38,46125	-0,46125	0,21275	-0,92994	0,86479
9	44	45,74076	-1,74076	3,03024	-1,27951	1,63714
10	50	51,77838	-1,77838	3,16263	-0,03762	0,00141
11	55	53,02027	1,97973	3,91933	3,75811	14,12332
Сумма	405	405	≈0	24,24058	-	41,87375
Среднее	36,81818	36,81818	-	-	-	-

Проанализируем статистическую значимость параметров регрессии, предварительно рассчитав их стандартные ошибки.

Стандартная ошибка регрессии

Следовательно, дисперсии и стандартные ошибки коэффициентов таковы:

Рассчитаем соответствующие t-статистики:

Два пареметра имеют t-статистики, превышающие тройку, что является признаком их высокой статистической значимости.

Определяем 95%-е доверительные интервалы для коэффициентов:

2,9619423 – 2,306  1,8929 < а < 2,969423 + 2306  1,8929;

-1,4031 < a < 7,3270;

0,124189 – 2,306  0,0212 < b₁ < 0,124189 + 2306  0,0212;

0,0753 < b₁ < 0,1731;

3,553841 – 2,306  1,0146 < b₂ < 3,553841 + 2306  1,0146;

1,2141 < b₂ < 5,8935.

Коэффициент детерминации R² рассчитывается по формуле:

R² = 1 – 24,2408 / 1087,636 = 0,9777.

Анализ статистической значимости коэффициента детерминации R² осуществляется на основе F-статистики:

F = 0,9777 / (1 – 0,9777)  8 / 2 = 175,3732.

Для определения статистической значимости F-статистики сравним ее с соответствующей критической точкой распределения Фишера:

F_кр = F(α; m; n – m – 1) = F(0,05; 2; 8) = 4,46.

Так как F_расч = 175,3732 > F_кр = 4,46, то F - статистика, а следовательно, и коэффициент детерминации R² статистически значимы. Это означает, что совокупное влияние переменных Y и X на переменную S существенно. Этот же вывод можно было бы сделать без особых проверок только по уровню коэффициента детерминации. Он весьма близок к единице.

Статистику DW Дарбина-Уотсона вычислим по формуле:

DW = 41,87375 / 24,24058 =1,72742.

Для проверки статистической значимости DW воспользуемся таблицей критических точек Дарбина-Уотсона. При уровне значимости α = 0,05 и числе наблюдений n = 11 имеем:

d₁ = 0,658; d_u = 1,604.

Так как 1,604 < DW < 2,396 (d_u < DW < 4 – d_u ), то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется, т.е. считаем, что автокорреляция остатков отсутствует. Это является одним из подтверждений высокого качества модели.

В силу того, что коэффициент b₂ является статистически значимым, можно утверждать, что с ростом процентной ставки увеличивается объем сбережений (коэффициент b₂ имеет положительный знак). Ответ будет статистически обоснованным.