Проверка выполнимости предпосылок мнк. Статистика Дарбин-Уотсона

Статистическая значимость параметров регрессии и близкое к единице значение коэффициента детерминации R² не гарантирует высокое качество уравнения регрессии. Поэтому следующим этапом проверки качества уравнения регрессии является определение выполнимости предпосылок МНК. Для этого рассмотрим статистику Дарбина-Уотсона.

Оценивая линейное уравнение регрессии, мы предполагаем, что реальная взаимосвязь переменных линейна, а отклонения от регрессионной прямой являются случайными, независимыми друг от друга величинами с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией. Если эти предположения не выполняются, то оценки несмещенности, эффективности, состоятельности и анализ их значимости будут неточными.

На практике для анализа коррелированности отклонений вместо коэффициента корреляции используют тесно с ним связанную статистику Дарбина-Уотсо­на DW, рассчитываемую по формуле:

(3.13)

Здесь сделано допущение, что при больших n выполняется соотношение:

(3.14)

Тогда

(3.15)

Нетрудно заметить, что если , то и DW=0. Если , то и DW=4. Во всех других случаях 0<DW<4.

При случайном поведении отклонений можно предположить, что в одной половине случаев знаки последовательных отклонений совпадают, а в другой – противоположны. Так как абсолютная величина отклонений в среднем предполагается одинаковой, то можно считать, что в половине случаев , а в другой – . Тогда

(3.16)

Таким образом, необходимым условием независимости случайных отклонений является близость к двойке значения статистики Дарбина-Уотсона. Тогда, если DW≈2, мы считаем отклонения от регрессии случайными (хотя они в действительности могут и не быть таковыми). Это означает, что построенная линейная регрессия, вероятно, отражает реальную зависимость.

Возникает вопрос, какие значения DW можно считать статистически близкими к двум?

Для ответа на этот вопрос разработаны специальные таблицы критических точек статистики Дарбина-Уотсона (Приложение 3), позволяющие при данном числе наблюдений п, количестве объясняющих переменных т и заданном уровне значимости α определять границы приемлемости (критические точки) наблюдаемой статистики DW.

Для заданных α, п, т в таблице (Приложение 3) указываются два числа: d₁ – нижняя граница и d_u – верхняя граница. Для проверки гипотезы об отсутствии автокорреляции остатков используется числовой отрезок, изображенный на рис. 3.6.1.

Выводы осуществляются по следующей схеме.

Если DW < d₁, то это свидетельствует о положительной автокорреляции остатков.

Если DW > 4 – d₁, то это свидетельствует об отрицательной автокорреляции остатков.

При d_u < DW < 4 – d_u гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков принимается.

Если d₁ < DW < d_u или 4 – d_u < DW < 4 – d₁, то гипотеза об отсутствии автокорреляции не может быть ни принята, ни отклонена.

Модели парной нелинейной регрессии

Во многих практических случаях моделирование экономических зависимостей линейными уравнениями дает вполне удовлетворительный результат и не может использоваться для анализа и прогнозирования. В силу многообразия и сложности экономических процессов ограничиться рассмотрением лишь линейных регрессионных моделей невозможно. Многие экономические зависимости не являются линейными по своей сути, и поэтому их моделирование линейными уравнениями регрессии не даст положительного результата. Например, при рассмотрении спроса у на некоторый товар от цены х данного товара в ряде случаев можно ограничиться линейным уравнением регрессии: у=а+bx, но данная модель справедлива не всегда: при эластичном спросе скорее подойдет гиперболическая модель у=а+b∙1/x. При анализе издержек у от объема выпуска х наиболее обоснованной является полиномиальная (точнее, кубическая) модель.

При рассмотрении производственных функций линейная модель является нереалистичной. В этом случае обычно используются степенные модели. Например, широкую известность имеет производственная функция Кобба-Дугласа (здесь у – объем выпуска; K и L – затарты капитала и труда соответственно; А, α и β – параметры модели).

Различают два класса нелинейных регрессий:

• регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

• регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Примером нелинейной регрессии по включаемым в нее объясняющим переменным могут служить следующие функции:

• полиномы разных степеней: y = a + b₁ x + b₂ x² + ,

y = a + b₁ x + b₂ x² + b₃ х³ + ;

• равносторонняя гипербола: у = а + + ε.

К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся функции:

• степенная: у = а х^b ε;

• показательная: у = а b^xε;

• экспоненциальная: у = е^a+bx ε.

Нелинейность по переменным устраняется путем замены переменной. Например, нелинейное уравнение после замены переменной становится линейным: .

Нелинейность по параметру часто устраняется путем логарифмического преобразования уравнения. Например, нелинейные уравнения после ло­гарифмирования сводятся к линейным степенная функция после логарифмирования становится линейной: ;