18. Комплексное переменное

Элементы теории функции комплексного переменного.

Комплексным числом называется число, определяемое соотношением z = a + ib, где а и b — соответственно действительная и мнимая части числа. Такая форма записи комплексного числа называется алгебраической. На комплексной плоскости, в координатах Rе (действительная часть) и Im (мнимая часть), комплексное число геометрически представляется вектором (рис. 4.1); оно может быть изображено также в полярных координатах М (модуль) и φ (фаза) и записано в показательной форме: где М- длина вектора, соединяющего начало координат с точкой z; φ - угол между положительной ветвью действительной оси и вектором z, причем положительным направлением считается направление отсчета против часовой стрелки.

Третья форма записи комплексного числа - тригонометрическая, так как

Все составляющие комплексного числа связаны между собой следующими соотношениями:

При вычислении фазы (аргумента) числа необходимо учитывать, в каком квадранте находится точка z. Ниже приводятся формулы, по которым вычисление фазы φ сводится к определению острого угла, равного (рис. 2.7)

I квадрант:

II квадрант:

III квадрант: ;

IV квадрант:

Рис. 2.7 Определение фазы в зависимости от расположения

Для упрощения операций над комплексными числами полезно знать, что

Над комплексными числами проводят те же арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление), что и над действительными. Сложение и вычитание более удобно проводить над комплексными числами, записанными в алгебраической форме:

z₃ = z₁ ± z₂ = (a₁ ± ib₁) ± (a₂ ± ib₂) = (a₁ ± a₂) ± i(b₂ ± b₁),

а умножение и деление над числами, записанными в показательной форме:

Если аргумент функции - комплексное число, то функция является функцией комплексного переменного. Например, функция W(s), s = α + iω.

Таким образом, можно сказать, что функцией комплексного переменного называется некоторый оператор (правило), согласно которому точке одной плоскости комплексного переменного ставится в соответствие точка другой плоскости комплексного переменного (рис. 2.8).

Рис. 2.8 К определению функции комплексной переменной

19. Частотные характеристики

Важную роль при описании линейных систем играют частотные характеристики, характеризующие реакцию объекта (системы) на гармонический сигнал.

Основной частотной характеристикой является амплитудно-фазовая характеристика.

Амплитудно-фазовая характеристика является комплексной функцией, поэтому она может быть, как и любая комплексная функция, представлена в показательной форме

(2.15)

и в алгебраической форме

W(iω) = Re(ω) + Im(iω). (2.16)

Модуль М(iω) в показательной форме записи АФХ называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а фаза или аргумент φ(ω) называется фазочастотной характеристикой (ФЧХ).

Действительная часть амплитудно-фазовой характеристики Rе(ω) называется вещественной частотной характеристикой (ВЧХ).

Мнимая часть амплитудно-фазовой характеристики Im(ω) называется мнимой частотной характеристикой (МЧХ).

Между всеми частотными характеристиками существует связь (рис. 2.2). Зная одни из них, можно определить другие, т.е.

(2.17)

(2.18)

Re(ω) = M(ω)cos φ(ω), (2.19)

Im(ω) = M(ω)sin φ(ω). (2.20)

Связь преобразований Лапласа и Фурье

Как известно, любая линейная стационарная система автоматического управления описывается обыкновенным дифференциальным уравнением, которое в операторной форме имеет вид

(a_nsⁿ + a_n−1sⁿ⁻¹ + ... + a₁s + a₀)y(s) = (b_ms^m + b_m−1s^m−1 + ... +b₁s+b₀)x(s), (2.21)

где -преобразование Лапласа функции y(t).

Преобразование Фурье функции y(t) определяется выражением , причем должны выполняться условия, что y(t) = 0 при t < 0 и существует.

Сравнивая преобразования Лапласа и Фурье, видно, что формально оно может быть получено из преобразования Лапласа простой заменой s на iω, но из-за второго условия преобразование Фурье выполняется для более ограниченного класса функций. Заменяя в уравнении (2.21) s на iω, получаем:

откуда

(2.22)

Проводя анализ выражения (2.22), можно записать, что

и сделать вывод: амплитудно-частотная характеристика является четной функцией; фазочастотная характеристика φ(ω) = φ_ч(ω) - φ_зн(ω) - нечетной функцией; вещественная частотная характеристика Re(ω) - четной функцией; мнимая частотная характеристика Im(ω) - нечетной функцией (рис. 2.9 и 2.10).

Рис. 2.9 Свойство четности частотных характеристик:

а-АЧХ; б-ВЧХ

Рис. 2.10 Свойство нечетности частотных характеристик:

а-ФЧХ;б-МЧХ

Амплитудно-фазовая характеристика также может рассматриваться как изображение Фурье от весовой функции:

(2.23)

Так как то из (2.23) могут быть получены формулы для определения вещественной и мнимой характеристик:

и, следовательно,

(2.24)

(2.25)

Из последних формул следует, что

Re(ω) = Re(−ω), Im(ω) = −Im(−ω), (2.26)

а это свидетельствует о том, что афх при отрицательных частотах является зеркальным отображением афх для положительных частот относительно вещественной оси (рис. 2.11).

При практических расчетах обычно ограничиваются построением АФХ только для положительных частот. Используя формулу обратного преобразования Фурье, можно по АФХ получить весовую характеристику: (2.27)