37. Устойчивость линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

Поведение системы после снятия возмущения, то есть свободное движение, описывает решение однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

a_ny⁽ⁿ⁾(t) + a_n−1y^(n–1)(t) +…+ a₁y(t) + a₀y(t) = 0 (12.3)

и заданные начальные условия.

С этим уравнением связан характеристический полином:

D(s) = a_nsⁿ + a_n–1s^n–1 +…+ a₁s + a₀. (12.4)

Предположим, что корни этого полинома различны, тогда решение

. (12.5)

Рассмотрим корни (12.5). Пусть s₁ − действительный, тогда:

а) s₁ < 0, составляющая имеет вид кривой, асимптотически приближающейся к оси абсцисс при t  ∞ (рис. 12.3а).

То есть, если все корни − действительные отрицательные, то все слагаемые и их сумма будут стремиться к нулю.

б) s₁ > 0, составляющая  ∞ при t  ∞. Тогда у  ∞ даже в том случае, когда все остальные слагаемые решения стремятся к нулю при t  ∞ (рис. 12.3б).

в) Пусть уравнение (12.5) имеет комплексно-сопряженные корни s_1,2 = i. Если α < 0, тогда решение представляет собой затухающие колебания с частотой ω (рис. 12.3в).

Если комплексно-сопряженные корни имеют отрицательную действительную часть, то составляющие решения стремятся к нулю при t  ∞.

Рис. 12.3. Изображение составляющих решения дифференциального уравнения:

а) корни действительные отрицательные; б) корни действительные положительные;

в) корни комплексно-сопряженные с отрицательной действительной частью;

г) корни комплексно-сопряженные с положительной действительной частью;

д) корни мнимые; е) нулевой корень

г) α > 0, тогда решение явля-ется колебательным процессом с нарастающей амплитудой (рис. 12.3г).

д) α = 0, то есть s_1,2 = i, тогда решение будет иметь вид незатухающих колебаний (рис. 12.3д).

е) Если уравнение (12.5) имеет нулевой корень s₁ = 0, y₁ = C, то есть решение представляет собой константу.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части. Это правило получило название признака устойчивости. Геометрическая интерпретация этого признака показана на рис. 12.4.

Отсюда формулировка признака устойчивости: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения находились в левой полуплоскости комплексной переменной s. Если хотя бы один корень лежит справа от мнимой оси, то система неустойчива. Если хотя бы один корень лежит на мнимой оси, то система находится на границе устойчивости. Если уравнение имеет пару мнимых корней, система находится на колебательной границе устойчивости, если уравнение имеет нулевой корень, система находится на апериодической границе устойчивости. Мнимая ось iω является границей устойчивости.

Рис. 12.4. Геометрическая интерпретация признака устойчивости:

а) все корни с отрицательной действительной частью;

б) часть корней имеет положительную действительную часть

38. Понятие фазового пространства

Фазовым пространством называют такое пространство, в котором прямоугольными координатами точки являются величины, определяющие мгновенное состояние системы, называемые фазовыми координатами.

Метод фазового пространства применим для линейных и нелинейных систем. Любое дифференциальное уравнение n-го порядка можно записать в виде системы из n линейных дифференциальных уравнений первого порядка, описывающей переходный процесс при наличии возмущений

(13.1)

В качестве фазовых координат выбирают выходную координату системы и ее производные. Точку фазового пространства, соответствующую состоянию системы в данный момент времени t, называют изображающей точкой. Изменение состояния системы во времени будет соответствовать движению изображающей точки в фазовом пространстве по определенной траектории, которая называется фазовой траекторией.

Каждому переходному процессу в системе соответствует своя определенная фазовая траектория в фазовом пространстве и наоборот.

Метод фазового пространства получил наибольшее распространение при исследовании систем второго порядка. Система дифференциальных уравнений (13.1) для системы второго порядка записывают в виде

(13.2)

Фазовые траектории систем второго порядка обладают свойствами.

1. В каждой точке фазовой плоскости можно провести единственную касательную к фазовой траектории. Исключение составляет начало координат: y₁ = 0, y₂ = 0, которое соответствует состоянию равновесия системы

Начало координат называют особой точкой.

2. Направление движения на траектории отмечают стрелками. Движение изображающей точки на фазовой траектории происходит по часовой стрелке вокруг начала координат.

3. В точках y₁ = 0, y₂ = 0 происходит остановка движения.

4. В системах второго порядка фазовые траектории пересекают ось абсцисс под прямым углом.

5. В верхних квадрантах координатной плоскости изображающая точка движется всегда слева направо, а в нижних − справа налево.

6. В любой точке фазовой плоскости, где переменная y₂(t) и функция f₂(y₁, y₂) не равны нулю, фазовая траектория имеет только одно определенное направление, соответствующее производной dy₂/dy₁ в данной точке, откуда следует, что фазовые траектории не пересекаются.

Начальные условия переходного процесса определяют координаты начальной точки M₀ на фазовой траектории. Совокупность фазовых траекторий, соответствующих всем возможным в данной системе начальным условиям, называют фазовым портретом системы.