22. Идеальное дифференцирующее звено
Уравнение идеального дифференцирующего звена
y(t) = kx′(t), (3.15)
т.е. изменение
выходной координаты пропорционально
скорости изменения входной координаты.
В операторной форме уравнение имеет
вид
откуда
передаточная функция
(3.16)
Частотные характеристики, графики которых представлены на рис. 3.5:
АФХ W(iω) = kωi = keiπ/2; (3.17)
АЧХ M(ω) = kω; (3.18)
ФЧХ φ(ω) = π/2. (3.19)
Рис. 3.5 Частотные характеристики идеального дифференцирующего звена:
а - АЧХ; б - ФЧХ; в - АФХ
Таким образом, АЧХ прямо пропорциональна частоте, а ФЧХ не зависит от частоты и равна π/2. Следовательно, годограф АФХ при φ > 0 совпадает с положительной ветвью мнимой оси. Переходная функция идеального дифференцирующего звена имеет вид:
h(t) = k1'(t) = kδ(t), (3.20)
т.е. представляет собой δ-функцию с площадью, равной k.
Весовая функция представляет собой производную от δ-функции
w(t) = kδ'(t). (3.21)
В природе идеально дифференцирующих звеньев не существует, так как при ω→ ∞ M(ω) → ∞, а любой реальный объект практически фильтрует гармонические сигналы с частотой, большей частоты среза данного объекта. Неосуществимость идеального звена видна также и из переходной функции, которая равна δ-функции и из весовой функции, равной производной δ-функции.
Реальное дифференцирующее звено
Встречаются звенья, которые реагируют только на скорость изменения входного сигнала. Они описываются уравнениями следующего вида и называются реальными дифференцирующими:
Ty(t) + y(t) = Tдx(t). (3.22)
Примером такого звена является RC-цепочка (рис. 3.6).
Рис. 3.6 RC-цепочка
Передаточная функция имеет вид:
(3.22)
Частотные характеристики, графики которых представлены на рис. 3.7.
Рис. 3.7 Частотные характеристики реального дифференцирующего звена:
а - АЧХ; б - ФЧХ; в - АФХ
АФХ 
(3.23)
АЧХ 
(3.24)
ФЧХ 
(3.25)
У реального
дифференцирующего звена при увеличении
частоты амплитудно-частотная характеристика
возрастает, но ее верхний предел ограничен
величиной
Фазочастотная
характеристика при увеличении частоты
уменьшается от
до
нуля. Для положительных частот W(iω)
представляет
собой полуокружность диаметром
с центром в точке
.
Для доказательства запишем W(iω)
в прямоугольных
координатах
Полученные значения
Rе(ω)
и Im(ω)
подставим в уравнение окружности радиуса
с центром в точке
:
или
Раскрывая скобки, получаем тождество, которое и доказывает, что АФХ действительно представляет собой полуокружность.
Используя взаимосвязь динамических характеристик, получаем уравнение переходной функции в операторной форме:
Применив обратное преобразование Лапласа к последнему выражению, получаем уравнение переходной функции во временной области:
(3.26)
Весовая функция находится как производная от переходной функции
(3.27)
Графики переходных характеристик изображены на рис. 3.8.
а)
Рис. 3.8 Переходные характеристики реального дифференцирующего звена:
а — переходная функция; б — весовая функция
На рис. 3.8а для сравнения показаны переходные функции идеального 1 и реального 2 дифференцирующих звеньев. В силу инерции реальных звеньев изменение выходной координаты - переходной функции происходит постепенно, а не скачком, как в случае идеального звена. Для того, чтобы приблизить свойства реального звена к свойствам идеального, необходимо одновременно увеличивать коэффициенты передачи Тд и уменьшать постоянную времени Т так, чтобы их произведение ТдТ оставалось постоянным.