6,7. Преобразование Лапласа. Свойства
Основным математическим аппаратом, который используют в теории автоматического управления, является операционный метод, в основе которого лежит функциональное преобразование Лапласа.
Прямым преобразованием Лапласа называется преобразование функции x(t) переменной t в функцию х(s) другой переменной s при помощи оператора, определяемого соотношением
, (3.1)
где x(t) – оригинал функции; x(s) – изображение по Лапласу функции x(t); s – комплексная переменная s = α + iω.
Обратное преобразование Лапласа, позволяющее по изображению найти оригинал, определяется соотношением
(3.2)
где с – абсцисса сходимости функции x(s).
Широкое применение преобразования Лапласа обусловлено тем, что изображение некоторых функций оказывается проще их оригиналов и ряд операций, таких как интегрирование, дифференцирование над изображениями проще, чем соответствующие операции над оригиналами.
Преобразование Лапласа обладает разнообразными свойствами.
1 Свойство линейности: для любых действительных или комплексных постоянных А и В линейной комбинации оригиналов соответствует линейная комбинация изображений
Ax1(t) + Bx2(t) Ax1(s) + Bx2(s), (3.3)
где x1(t) x1(s); x2(t) x2(s).
2. Свойство подобия: умножение аргумента оригинала на любое постоянное положительное число λ приводит к делению аргумента изображения x(s) на то же число λ:
(3.4)
3. Свойство затухания: умножение оригинала на функцию eat, где а — любое действительное или комплексное число, влечет за собой смещение независимой переменной s:
eatx(t) x(s – a). (3.5)
4. Свойство запаздывания: для любого постоянного τ > 0
x(t – ) e-stx(s). (3.6)
5. Свойство дифференцирования по параметру: если при любом значении r оригиналу x(t, r) соответствует изображение х(s, r), то
. (3.7)
6. Свойство дифференцирования оригинала: если x(t) – x(s), то
x(t) sx(s) – x(0), (3.8)
т.е. дифференцирование оригинала сводится к умножению на s его изображения и вычитанию х(0), если х(0) = 0, то x(t) sx(t). Применяя преобразование необходимое количество раз, получают
x(n)(t) s(n)x(s) – s(n-1)x(0) – … – x(0). (3.9)
Если x(0) = sx(0) = … = s(n-1)x(0), то
x(n)(t) s(n)x(s), (3.10)
т.е. при нулевых начальных значениях n-кратное дифференцирование оригинала сводится к умножению на sn его изображения.
7. Свойство интегрирования оригинала: интегрирование оригинала в пределах от 0 до t приводит к делению изображения на s:
. (3.11)
8 Свойство дифференцирования изображения: дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на (−t):
−tx(t) x(s). (3.12)
9
Свойство интегрирования изображения:
интегрированию изображения в пределах
от s
до
∞ соответствует деление оригинала на
t,
т.е.
если интеграл
сходится,
то
. (3.13)
10. Свойство умножения изображения: если x(t) x(s), y(t) y(s), то свертке функций
(3.14)
соответствует произведение изображений
x(t)y(t) x(s)y(s). (3.15)
11. Свойство умножения оригиналов: произведению оригиналов соответствует свертка изображений
, (3.16)
где γ = Re z.
12. Свойства предельных значений:
; (3.17)
. (3.18)