13. Определение линейной стационарной системы. Принцип суперпозиции

К линейным системам обычно относят те системы, в которых протекающие процессы являются стационарными и описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными или функционально зависящими от времени коэффициентами. Важным свойством таких систем является их соответствие принципу суперпозиции. В связи с этим определение линейной системы, как правило, дается в следующем варианте: линейными называются системы, подчиняющиеся принципу суперпозиции, который заключается в том, что реакция объекта на сумму входных сигналов ∑x_i(t) равна сумме реакций на каждый сигнал в отдельности для любых x_i(t).

Математическая запись принципа суперпозиции состоит из двух соотношений:

(1.20)

y(cx(t)) = cy(x(t)). (1.21)

Линейность статических характеристик является необходимым, но не достаточным условием линейности, так как выполнение принципа суперпозиции необходимо не только в статике, но и в динамике.

Так как большинство объектов управления являются нелинейными, то при определенных условиях нелинейные характеристики могут быть приближенно заменены линейными характеристиками, т.е. производится линеаризация нелинейных зависимостей.

Рис. 1.16 Иллюстрация эксперимента по проверке объекта

Рис. 1.17 Линеаризация нелинейной статической характеристики

Одним из наиболее распространенных способов линеаризации является разложение нелинейной функции в ряд Тейлора в окрестности заданной точки и исключение нелинейных членов разложения.

Пусть статическая характеристика описывается нелинейной n раз дифференцируемой, где n — любое натуральное число, функцией у = f(x), которую необходимо линеаризовать в окрестности точки (x₀, y₀) (рис. 1.17).

Если при максимально возможных отклонениях у и x от x₀ и у₀ f(x) мало отличается от линейной функции, то можно заменить f(x) ее приближением , определяемым с помощью ряда Тейлора:

В новой системе координат, получим линеаризованное уравнение объекта

14. Динамическое поведение линейных систем. Динамические хар-ки

Под системой в дальнейшем будет пониматься любое множество элементов (может быть отдельный элемент), образующее некоторое целостное единство безотносительно к функциям, которые они выполняют, т.е. это может быть объект, регулятор, система регулирования и т.д.

Система называется динамической, если она описывается дифференциальными, интегральными либо конечными уравнениями, зависящими от времени, и называется статической, если в ее описании отсутствует параметр времени.

Наибольший интерес представляет изучение динамического поведения линейной системы, которая в общем случае представлена на рис. 2.1.

Рис. 2.1 Структурная схема системы

Основной задачей изучения динамического поведения линейной системы является получение возможности рассчитывать выходной сигнал y(t) для любого известного входного сигнала x(t). В связи с этим необходимо располагать математическим аппаратом для исследования линейной системы (рис. 2.2).

Основными динамическими характеристиками, используемыми в теории автоматического управления, являются передаточная функция, дифференциальное уравнение, временные характеристики: переходная функция, весовая функция; частотные характеристики: амплитудно-фазовая характеристика (АФХ), расширенная амплитудно-фазовая характеристика (РАФХ), логарифмические частотные характеристики (ЛАФХ). Составляющими основных частотных характеристик являются амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), фазо-частотная характеристика (ФЧХ), вещественно-частотная характеристика (ВЧХ), мнимая частотная характеристика (МЧХ) и соответственно расширенные - РАЧХ, РФЧХ и логарифмические - ЛАЧХ, ЛВЧХ.

Рис. 2.2 Динамические характеристики

Между этими характеристиками существует связь, которую иллюстрирует схема, изображенная на рис. 2.3.

Рис. 2.3 Взаимосвязь динамических характеристик

Ряд динамических характеристик можно получить экспериментальным путем, а некоторые являются теоретическими. На практике экспериментально получают временные характеристики и частотные, точнее, АЧХ и ФЧХ, и уже на основе их записываются дифференциальное уравнение, передаточная функция, а также расширенные и логарифмические частотные характеристики. Таким образом, чтобы оценить динамическое поведение линейной системы, необходимо познакомиться со всеми динамическими характеристиками.