Смешанное произведение

Смешанным произведением тройки векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение . Если рассматриваемые векторы , и некомпланарны, то векторное произведение есть вектор, длина которого численно равна площади построенного на них параллелограмма. Направлен этот вектор по нормали к плоскости параллелограмма. Если этот вектор скалярно умножить на вектор , то получившееся число будет равно произведению площади основания параллелепипеда, построенного на тройке векторов , и , и его высоты, т.е. объему этого параллелепипеда.

Таким образом, смешанное произведение векторов (которое обозначается ) есть число, абсолютная величина которого выражает объем параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Знак произведение положителен, если векторы , и , образуют правую тройку векторов, т.е. вектор направлен так, что кратчайший поворот от к виден из его конца совершающимся против часовой стрелки.

Из геометрического смысла смешанного произведения непосредственно следует необходимое и достаточное условие некомпланарности векторов , и : для того, чтобы векторы , и были некомпланарными необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было отлично от нуля.

Если , и то ,

или в свернутой форме

.

Справедливы следующие свойства смешанного произведения векторов:

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей ;

2. При перестановке двух соседних множителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный .

Контрольные вопросы к теме

1. Понятие скалярной величины.

2. Понятие векторной величины.

3. Понятия единичного вектора и нулевого вектора.

4. Модуль вектора, формула расстояния между двумя точками.

5. Понятие коллинеарности векторов.

6. Понятие компланарности векторов.

7. Понятие проекции вектора на ось.

8. Линейные операции над векторами.

9. Скалярое произведение векторов.

10. Векторное произведение векторов.

11. Смешанное произведение векторов.

Лекция 5. Прямая

Основные понятия, включенные в систему тренинг-тестирования:

векторное параметрическое уравнение прямой; параметрические уравнения прямой в пространстве; канонические уравнения прямой; направляющий вектор прямой.

Основные понятия

Прямая в пространстве может быть однозначно определена, если известна точка, принадлежащая прямой, и ненулевой вектор, параллельный прямой (направляющий вектор прямой).

Пусть задана такая точка и вектор (Рис. 7.1).

Если ‑ произвольная текущая точка прямой , то вектор коллинеарен вектору и их соответствующие координаты пропорциональны.

(1)

Этим соотношениям удовлетворяют координаты любой точки прямой и только этой прямой. Равенства (1) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Обозначим радиус-вектор точки , ‑ радиус-вектор точки . Тогда

(2)

В силу коллинеарности векторов и существует число такое, что . Тогда из (2) получим векторное параметрическое уравнение прямой

(3)

В координатной форме уравнение (3) равносильно трем уравнениям

,

(4)

которые называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.

Исключая из уравнений (4) параметр , легко перейти к каноническим уравнениям прямой (1).

Обратный переход от (1) к (4) осуществляют, приравнивая каждое из трех соотношений (1) к . При этом, если знаменатель какого-либо соотношения равен нулю, то необходимо приравнять к нулю его числитель.

Пусть заданы точки и . Составим уравнение прямой, проходящей через заданные точки, пользуясь Рис. 7.1.

Очевидно, что в этом случае направляющим вектором прямой будет вектор . Используя (1), получаем искомые уравнения в виде:

(5)

Прямую в пространстве можно определить как пересечение двух плоскостей. Рассматривая совместно уравнения этих плоскостей, получим уравнение линии в общем виде:

(6)

Система двух уравнений первой степени (6) определяет прямую линию при условии, что нормальные векторы и неколлинеарны. Только в этом случае плоскости будут пересекаться. Уравнения (6) носят название общее уравнение прямой в пространстве.

Чтобы перейти от общих уравнений прямой (6) к ее каноническим уравнениям (1), нужно на прямой найти какую-нибудь точку и определить ее направляющий вектор .

Точку находят, давая произвольное значение одной из переменных , или . Решая систему (6) , получают значения оставшихся двух переменных.

Направляющий вектор параллелен линии пересечения плоскостей (6) и, следовательно, перпендикулярен обоим нормальным векторам плоскостей . Поэтому в качестве можно взять вектор ,

(7)