Контрольные вопросы к теме
Критерий Кронекера-Капелли.
Совместные и определенные системы линейных уравнений.
Методы решения систем линейных уравнений и условия их применимости.
Однородные системы линейных уравнений.
Свободные и разрешенные переменные.
Лекция 14. *Основы линейного программирования*
Основные понятия, включенные в систему тренинг-тестирования:
математическое программирование; система ограничений; целевая функция; задача линейного программирования; оптимальное решение; каноническая задача линейного программирования; дополнительная переменная; выпуклое множество; выпуклая линейная комбинация; замкнутое множество; угловая точка; линия уровня; опорная прямая; базисное решение; опорное решение; симплекс-метод; двойственная задача; объективно обусловленные оценки.
Линейное программирование
Исследование различных процессов, в том числе и экономических, обычно начинается с их моделирования, т.е. отражения реального процесса через математические соотношения. При этом составляются уравнения или неравенства, которые связывают различные показатели (переменные) исследуемого процесса, образуя систему ограничений. В этих процессах выделяются такие переменные, меняя которые можно получить оптимальное значение основного показателя данной системы (прибыль, доход, затраты и т.д.). Соответствующие методы, позволяющие решать указанные задачи, объединяются под общим названием «математическое программирование» или математические методы исследования операций.
Математическое программирование включает в себя такие разделы математики, как линейное, нелинейное и динамическое программирование. Сюда же относят и стохастическое программирование, теорию игр, теорию массового обслуживания, теорию управления запасами и некоторые другие.
Математическое программирование – это раздел высшей математики, посвященный решению задач, связанных с нахождением экстремумов функций нескольких переменных, при наличии ограничений на переменные.
Методами математического программирования решаются задачи о распределении ресурсов, планировании выпуска продукции, ценообразования, транспортные задачи и т.д.
Построение математической модели экономической задачи включает следующие этапы:
выбор переменных задачи;
составление системы ограничений;
выбор целевой функции.
Переменными
задачи называются величины
,
которые полностью характеризуют
экономический процесс. Их обычно
записывают в виде вектора
.
Система ограничений включает в себя систему уравнений и неравенств, которым удовлетворяют переменные задачи и которые следуют из ограниченности ресурсов или других экономических или физических условий, например, положительности переменных и т.п.
Целевой функцией называют функцию переменных задачи, которая характеризует качество выполнения задачи, и экстремум которой требуется найти.
Общая задача математического программирования формулируется следующим образом: найти экстремум целевой функции
и соответствующие ему переменные при условии, что эти переменные удовлетворяют системе ограничений
Если целевая функция и система ограничений линейны, то задача математического программирования называется задачей линейного программирования и в общем виде может быть записана следующим образом:
Данная запись означает следующее: найти экстремум целевой функции задачи и соответствующие ему переменные при условии, что эти переменные удовлетворяют системе ограничений и условиям неотрицательности.
Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования называется любой , удовлетворяющий системе ограничений и условиям неотрицательности. Множество допустимых решений(планов) задачи образует область допустимых решений.
Оптимальным решением (планом) задачи линейного программирования называется такое допустимое решение задачи, при котором целевая функция достигает экстремума.