- •А кадемия управления при Президенте Республики Беларусь
- •Курс лекций
- •Введение Лекция 1. Основы математической логики
- •Высказывания и логические связки
- •Контрольные вопросы к теме:
- •Элементарная математика Лекция 2. Элементы теории множеств.
- •Основные понятия.
- •Основные операции над множествами
- •Отображения.
- •Отношения эквивалентности и упорядоченности
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 3. Числовые множества.
- •Основные понятия
- •Соединения. Бином Ньютона.
- •Комплексные числа
- •Операции над комплексными числами
- •Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа.
- •Контрольные вопросы к теме
- •Аналитическая геометрия
- •Лекция 4. Векторы
- •Основные понятия
- •Линейные операции над векторами
- •Проекция вектора на ось
- •Линейная зависимость векторов
- •Базис. Координаты вектора в базисе
- •Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении
- •Направляющие косинусы
- •Скалярное произведение
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 5. Прямая
- •Основные понятия
- •Взаимное расположение прямых
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 6. Плоскость
- •Основные понятия
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Взаимное расположение плоскостей
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 7. Кривые второго порядка
- •Гипербола
- •Парабола
- •Исследование на плоскости уравнения второй степени
- •Контрольные вопросы к теме
- •Линейная алгебра Лекция 8. Понятие евклидова пространства.
- •– Мерные векторы
- •Коллинеарные векторы
- •Размерность и базис векторного пространства
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 9. Матрицы
- •Основные понятия
- •Операции над матрицами
- •Определитель матрицы
- •Ранг матрицы
- •Обратная матрица
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 10. *Понятие линейного оператора*
- •Переход к новому базису
- •Линейное преобразование переменных
- •Собственные значения и собственные вектора матриц
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 11. Многочлены
- •Основные понятия
- •Теорема о делении с остатком.
- •Теорема Безу.
- •Контрольные вопросы к теме
- •Понятие квадратичной формы.
- •Канонический базис квадратичной формы
- •Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы
- •Канонический базис Якоби квадратичной формы .
- •Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы
- •Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда , ,…, .
- •Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда , ,…, .
- •Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы положительны.
- •Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы отрицательны
- •Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы положительны.
- •Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы четного порядка положительны, а главные миноры матрицы нечетного порядка отрицательны.
- •Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка.
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 13. Системы линейных уравнений
- •Основные понятия
- •Критерий совместности системы линейных уравнений
- •Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- •Метод Гаусса
- •Однородные системы уравнений.
- •Разрешенные системы линейных уравнений
- •Можно построить решение системы уравнений, у которого значения свободных переменных будут равны соответственно ;
- •Если у решений и системы уравнений значения свободных переменных совпадают, то и сами решения совпадают.
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 14. *Основы линейного программирования*
- •Линейное программирование
- •Задача линейного программирования
- •Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме.
- •Множества допустимых решений
- •Опорное решение задачи линейного программирования, его взаимосвязь с угловыми точками.
- •Симплекс-метод с естественным базисом.
- •Симплексный метод с искусственным базисом (м-метод).
- •Теория двойственности.
- •Теоремы двойственности
- •Контрольные вопросы к теме
- •Экзаменационные вопросы
- •Литература
Взаимное расположение прямых
Пусть даны две прямые:
и .
Эти прямые заданы своими точками и и направляющими векторами и . Поэтому
.
Параллельность или перпендикулярность прямых равносильна соответственно параллельности или перпендикулярности их направляющих векторов. Поэтому условие перпендикулярности прямых можно записать в виде:
или .
Условие параллельности .
Возможны четыре случая взаимного расположения прямых:
Прямые совпадают: , т.е. .
Прямые параллельны: непараллелен , но , т.е. .
Прямые пересекаются: непараллелен , но , , ‑ компланарны, т.е.
(8)
Прямые скрещиваются: , , ‑ некомпланарны, т.е. .
Условие (8) выполняется в случаях I-III и означает, что прямые лежат в одной плоскости.
Контрольные вопросы к теме
Общее уравнение прямой.
Понятие направляющего и нормального вектора прямой.
Каноническое уравнение пямой.
Векторное параметрическое уравнение прямой.
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Расчет угла между прямыми.
Условия пересечения, параллельности и перпендикулярности прямых.
Лекция 6. Плоскость
Основные понятия, включенные в систему тренинг-тестирования:
поверхность; поверхность -го порядка; общее уравнение плоскости; нормальный вектор плоскости; уравнение плоскости в отрезках; нормальное уравнение плоскости; отклонением точки от плоскости.
Основные понятия
Всякая поверхность в пространстве задается в декартовых координатах уравнением вида .
Если ‑ многочлен -й степени, то соответствующая поверхность называется алгебраической поверхностью -го порядка или просто поверхностью -го порядка.
Всякая поверхность 1-го порядка есть плоскость, т.е. всякое уравнение 1-й степени
|
(1) |
определяет плоскость. Уравнение (1) называется общим уравнением плоскости.
Вектор , координатами которого являются коэффициенты при в уравнении (1) перпендикулярен плоскости (1) по свойству 4 скалярного произведения векторов. Этот факт будет постоянно использоваться в дальнейшем. Вектор называют нормальным вектором плоскости (1).
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно вектору , имеет вид
|
(2) |
Очевидно, что уравнение (1) имеет смысл только тогда, когда хотя бы один из коэффициентов не равен нулю.
Рассмотрим частные случаи.
если , то уравнение определяет плоскость, параллельную оси , так как вектор нормали к этой плоскости перпендикулярен оси (проекция ненулевого вектора на ось равна нулю тогда, когда он перпендикулярен этой оси).
Аналогично, если , то уравнение определяет плоскость, параллельную оси .
Если . То уравнение определяет плоскость, параллельную оси .
Если , то уравнение или определяет плоскость, параллельную плоскости . В этом случае вектор нормали перпендикулярен к осям и , т.е. к плоскости .
При имеем или ‑ уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости .
Если , то уравнение или определяет плоскость, параллельную плоскости .
.
Если , то уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат, так как координаты точки удовлетворяют этому уравнению.
Если , то уравнение определяет плоскость, вектор нормали которой . Эта плоскость проходит через ось .
Аналогично, если , то уравнение определяет плоскость, проходящую через ось .
Если , то уравнение определяет плоскость, проходящую через ось .
Если , то уравнение или определяет плоскость . Аналогично, уравнения и определяют соответственно плоскости и .
Если в уравнении (1) все коэффициенты отличны от нуля, то это уравнение может быть преобразовано к уравнению плоскости в отрезках:
|
(3) |
Здесь ‑ величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат (Рис. 8.1).