- •А кадемия управления при Президенте Республики Беларусь
- •Курс лекций
- •Введение Лекция 1. Основы математической логики
- •Высказывания и логические связки
- •Контрольные вопросы к теме:
- •Элементарная математика Лекция 2. Элементы теории множеств.
- •Основные понятия.
- •Основные операции над множествами
- •Отображения.
- •Отношения эквивалентности и упорядоченности
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 3. Числовые множества.
- •Основные понятия
- •Соединения. Бином Ньютона.
- •Комплексные числа
- •Операции над комплексными числами
- •Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа.
- •Контрольные вопросы к теме
- •Аналитическая геометрия
- •Лекция 4. Векторы
- •Основные понятия
- •Линейные операции над векторами
- •Проекция вектора на ось
- •Линейная зависимость векторов
- •Базис. Координаты вектора в базисе
- •Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении
- •Направляющие косинусы
- •Скалярное произведение
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 5. Прямая
- •Основные понятия
- •Взаимное расположение прямых
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 6. Плоскость
- •Основные понятия
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Взаимное расположение плоскостей
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 7. Кривые второго порядка
- •Гипербола
- •Парабола
- •Исследование на плоскости уравнения второй степени
- •Контрольные вопросы к теме
- •Линейная алгебра Лекция 8. Понятие евклидова пространства.
- •– Мерные векторы
- •Коллинеарные векторы
- •Размерность и базис векторного пространства
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 9. Матрицы
- •Основные понятия
- •Операции над матрицами
- •Определитель матрицы
- •Ранг матрицы
- •Обратная матрица
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 10. *Понятие линейного оператора*
- •Переход к новому базису
- •Линейное преобразование переменных
- •Собственные значения и собственные вектора матриц
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 11. Многочлены
- •Основные понятия
- •Теорема о делении с остатком.
- •Теорема Безу.
- •Контрольные вопросы к теме
- •Понятие квадратичной формы.
- •Канонический базис квадратичной формы
- •Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы
- •Канонический базис Якоби квадратичной формы .
- •Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы
- •Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда , ,…, .
- •Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда , ,…, .
- •Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы положительны.
- •Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы отрицательны
- •Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы положительны.
- •Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы четного порядка положительны, а главные миноры матрицы нечетного порядка отрицательны.
- •Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка.
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 13. Системы линейных уравнений
- •Основные понятия
- •Критерий совместности системы линейных уравнений
- •Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- •Метод Гаусса
- •Однородные системы уравнений.
- •Разрешенные системы линейных уравнений
- •Можно построить решение системы уравнений, у которого значения свободных переменных будут равны соответственно ;
- •Если у решений и системы уравнений значения свободных переменных совпадают, то и сами решения совпадают.
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 14. *Основы линейного программирования*
- •Линейное программирование
- •Задача линейного программирования
- •Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме.
- •Множества допустимых решений
- •Опорное решение задачи линейного программирования, его взаимосвязь с угловыми точками.
- •Симплекс-метод с естественным базисом.
- •Симплексный метод с искусственным базисом (м-метод).
- •Теория двойственности.
- •Теоремы двойственности
- •Контрольные вопросы к теме
- •Экзаменационные вопросы
- •Литература
Исследование на плоскости уравнения второй степени
Рассмотрим уравнение
|
(7.9) |
где среди коэффициентов есть отличные от нуля, т.е. (7.9) – уравнение второй степени относительно и .
Возьмем на плоскости две прямоугольные системы координат: , которую будем называть старой, и новую, полученную из поворотом ее вокруг начала координат на угол , .
Старые координаты выражаются через новые координаты по формулам:
|
(7.10) |
Подставив выражения для и в уравнение (8), получим
|
(7.11) |
Это уравнение в системе координат задает ту же линию, что и уравнение (7. 9) в системе .
Если в уравнении (7.9) , то за счет выбора угла в (7.10) можно добиться того, что . Для этого угол надо взять таким, чтобы . Поэтому будем считать , тогда уравнение (7.11) примет вид:
|
(7.12) |
Преобразуя это уравнение и применяя параллельный перенос координатных осей, придем к уравнению
|
(7.13) |
В зависимости от знаков коэффициентов уравнения (7.13) рассмотрим следующие случаи:
, тогда уравнение (7.13) примет вид , где . это уравнение эллипса.
, то обозначив имеем . Этому уравнению не удовлетворяет ни одна точка с координатами . Следовательно, это уравнение задает пустое множество.
. Обозначая приведем уравнение (12) к виду .
Это уравнение гиперболы.
Случаи , , новых результатов не дают.
. Тогда уравнение (7.13) можно привести к виду . Это уравнение задает пару прямых , пересекающихся в начале координат.
Рассматривая далее методично все случаи, придем к выводу: уравнение вида (7.9) задает одну из следующих фигур: эллипс, гиперболу, параболу, пару пересекающихся прямых, пару параллельных прямых, прямую, точку или пустое множество.
Контрольные вопросы к теме
Понятие кривых второго порядка: эллипса, гиперболы, параболы.
Уравнение эллипса, каноническое уравнение эллипса.
Понятия фокусов эллипса; фокальных радиусов; директрисы и эксцентриситета эллипса.
Каноническое уравнение гиперболы.
Фокусы и фокальные радиусы гиперболы, асимптота гиперболы.
Каноническое уравнение параболы.
Приведение уравнения второй степени к каноническому виду.
Линейная алгебра Лекция 8. Понятие евклидова пространства.
Основные понятия, включенные в систему тренинг-тестирования:
евклидово пространство; –мерный вектор; неравенство Коши-Буняковского; коллинеарные векторы; неколлинеарные векторы; сонаправленные векторы; противоположно направленные векторы; линейная комбинация векторов; линейно зависимые векторы; линейно независимые векторы; размерность линейного пространства; базис векторного пространства.
– Мерные векторы
Декартово произведение множества действительных чисел само на себя состоит из всевозможных упорядоченных числовых пар. Это множество обозначают и его можно отождествить с плоскостью. Множество состоит из упорядоченных троек и представляет собой трехмерное пространство. Если осуществить декартово произведение на себя раз, можно получить множество всех точек -мерного пространства . Каждый элемент пространства представляет собой последовательность чисел и записывается в виде . Число называется первой координатой -мерного вектора , – второй координатой и т.д., а число – размерностью вектора . В ряде случаев в пространстве –мерных векторов также бывает возможно определить операцию скалярного произведения векторов и через операции над их координатами.
В общем случае и – это –мерные векторы, т.е. , и . Их скалярное произведение равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, т.е. . Длиной –мерного вектора называется число . Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается . Поскольку скалярный квадрат является суммой квадратов координат вектора , то его значение будет неотрицательным, причем тогда и только тогда, когда все координаты этого вектора равны нулю, т.е. вектор – нулевой.
Пространство –мерных векторов, в котором определена операция скалярного произведения, называется евклидовым пространством.
Теорема. Если и – это –мерные векторы евклидова пространства, то справедливо неравенство:
Доказательство: Рассмотрим вектор , где – любое действительное число. Поскольку , то на основании свойств скалярного произведения можно записать:
Если положить, что , то справедливо следующее:
Доказанное неравенство называется неравенством Коши-Буняковского. Причем, равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы и линейно зависимы. В общем случае, угол между векторами и можно определить как решение уравнения
.
Таким образом, в евклидовом пространстве –мерных векторов скалярное произведение любых двух векторов и равно
.
Теорема. Ненулевые –мерные векторы и равны тогда и только тогда, когда угол между этими векторами равен нулю и длины их равны.
Доказательство:
Необходимость
Достаточность
Пусть и