- •А кадемия управления при Президенте Республики Беларусь
- •Курс лекций
- •Введение Лекция 1. Основы математической логики
- •Высказывания и логические связки
- •Контрольные вопросы к теме:
- •Элементарная математика Лекция 2. Элементы теории множеств.
- •Основные понятия.
- •Основные операции над множествами
- •Отображения.
- •Отношения эквивалентности и упорядоченности
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 3. Числовые множества.
- •Основные понятия
- •Соединения. Бином Ньютона.
- •Комплексные числа
- •Операции над комплексными числами
- •Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа.
- •Контрольные вопросы к теме
- •Аналитическая геометрия
- •Лекция 4. Векторы
- •Основные понятия
- •Линейные операции над векторами
- •Проекция вектора на ось
- •Линейная зависимость векторов
- •Базис. Координаты вектора в базисе
- •Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении
- •Направляющие косинусы
- •Скалярное произведение
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 5. Прямая
- •Основные понятия
- •Взаимное расположение прямых
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 6. Плоскость
- •Основные понятия
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Взаимное расположение плоскостей
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 7. Кривые второго порядка
- •Гипербола
- •Парабола
- •Исследование на плоскости уравнения второй степени
- •Контрольные вопросы к теме
- •Линейная алгебра Лекция 8. Понятие евклидова пространства.
- •– Мерные векторы
- •Коллинеарные векторы
- •Размерность и базис векторного пространства
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 9. Матрицы
- •Основные понятия
- •Операции над матрицами
- •Определитель матрицы
- •Ранг матрицы
- •Обратная матрица
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 10. *Понятие линейного оператора*
- •Переход к новому базису
- •Линейное преобразование переменных
- •Собственные значения и собственные вектора матриц
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 11. Многочлены
- •Основные понятия
- •Теорема о делении с остатком.
- •Теорема Безу.
- •Контрольные вопросы к теме
- •Понятие квадратичной формы.
- •Канонический базис квадратичной формы
- •Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы
- •Канонический базис Якоби квадратичной формы .
- •Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы
- •Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда , ,…, .
- •Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда , ,…, .
- •Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы положительны.
- •Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы отрицательны
- •Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы положительны.
- •Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы четного порядка положительны, а главные миноры матрицы нечетного порядка отрицательны.
- •Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка.
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 13. Системы линейных уравнений
- •Основные понятия
- •Критерий совместности системы линейных уравнений
- •Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- •Метод Гаусса
- •Однородные системы уравнений.
- •Разрешенные системы линейных уравнений
- •Можно построить решение системы уравнений, у которого значения свободных переменных будут равны соответственно ;
- •Если у решений и системы уравнений значения свободных переменных совпадают, то и сами решения совпадают.
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 14. *Основы линейного программирования*
- •Линейное программирование
- •Задача линейного программирования
- •Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме.
- •Множества допустимых решений
- •Опорное решение задачи линейного программирования, его взаимосвязь с угловыми точками.
- •Симплекс-метод с естественным базисом.
- •Симплексный метод с искусственным базисом (м-метод).
- •Теория двойственности.
- •Теоремы двойственности
- •Контрольные вопросы к теме
- •Экзаменационные вопросы
- •Литература
Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы положительны.
Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы четного порядка положительны, а главные миноры матрицы нечетного порядка отрицательны.
Доказательство: Докажем первое утверждение.
Необходимость. Дано, что положительно определена. Покажем, что все угловые миноры матрицы отличны от нуля. Допустим обратное, и пусть . Тогда согласно Лемме найдется такой ненулевой вектор , что . Однако это противоречит положительной определенности квадратичной формы.
Итак, матрица удовлетворяет условию Якоби, поэтому можно построить систему векторов Якоби , которая является каноническим базисом , причем выражение –
ее канонический вид в базисе . Теперь из положительной определенности квадратичной формы и первого утверждения доказанной ранее теоремы следует, что , и значит, что .
Достаточность. Если , то угловые миноры матрицы отличны от нуля и можно построить канонический базис квадратичной формы , в котором –
канонический вид квадратичной формы . Поскольку , то положительно определена.
Аналогично доказывается второе утверждение теоремы.
Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка.
В общем случае кривая второго порядка в базисе описывается уравнением . Ее первые три слагаемые образуют квадратичную форму с матрицей
.
Задача о приведении кривой к каноническому виду сводится к задаче о приведении к каноническому виду квадратичной формы этой кривой.
Пусть и – собственные значения матрицы , а и – ортонормированные собственные векторы матрицы , соответствующие собственным значениям и .
Ортонормированные векторы и называются главными направлениями этой кривой.
Пусть является матрицей перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному базису .
Тогда ортогональное преобразование
приводит квадратичную форму к каноническому виду , а уравнение кривой – к виду в прямоугольной декартовой системе координат , оси которой направлены вдоль векторов , а начало совпадает с точкой системы координат .
Выделив в этом уравнении полные квадраты, получим , где – некоторые числа. Осуществив параллельный перенос системы координат в новое начало , получим канонический вид уравнения в системе координат . В зависимости от чисел эта кривая будет эллипсом, гиперболой, параболой, парой прямых, точкой или мнимой кривой.
Контрольные вопросы к теме
Понятие квадратичной формы.
Построение матрицы квадратичной формы.
Канонический и нормальный вид квадратичной формы.
Канонический базис квадратичной формы и приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Канонический базис Якоби.
Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.
Лекция 13. Системы линейных уравнений
Основные понятия, включенные в систему тренинг-тестирования:
система линейных уравнений; решение системы линейных уравнений; совместная система линейных уравнений; определенная система линейных уравнений; эквивалентные системы линейных уравнений; матрица системы; расширенная матрица системы линейных уравнений; теорема Кронекера-Капелли; правило Крамера; метод Гаусса; однородная система линейных уравнений; разрешенная переменная; набор разрешенных переменных; свободные переменные.