- •А кадемия управления при Президенте Республики Беларусь
- •Курс лекций
- •Введение Лекция 1. Основы математической логики
- •Высказывания и логические связки
- •Контрольные вопросы к теме:
- •Элементарная математика Лекция 2. Элементы теории множеств.
- •Основные понятия.
- •Основные операции над множествами
- •Отображения.
- •Отношения эквивалентности и упорядоченности
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 3. Числовые множества.
- •Основные понятия
- •Соединения. Бином Ньютона.
- •Комплексные числа
- •Операции над комплексными числами
- •Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа.
- •Контрольные вопросы к теме
- •Аналитическая геометрия
- •Лекция 4. Векторы
- •Основные понятия
- •Линейные операции над векторами
- •Проекция вектора на ось
- •Линейная зависимость векторов
- •Базис. Координаты вектора в базисе
- •Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении
- •Направляющие косинусы
- •Скалярное произведение
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 5. Прямая
- •Основные понятия
- •Взаимное расположение прямых
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 6. Плоскость
- •Основные понятия
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Взаимное расположение плоскостей
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 7. Кривые второго порядка
- •Гипербола
- •Парабола
- •Исследование на плоскости уравнения второй степени
- •Контрольные вопросы к теме
- •Линейная алгебра Лекция 8. Понятие евклидова пространства.
- •– Мерные векторы
- •Коллинеарные векторы
- •Размерность и базис векторного пространства
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 9. Матрицы
- •Основные понятия
- •Операции над матрицами
- •Определитель матрицы
- •Ранг матрицы
- •Обратная матрица
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 10. *Понятие линейного оператора*
- •Переход к новому базису
- •Линейное преобразование переменных
- •Собственные значения и собственные вектора матриц
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 11. Многочлены
- •Основные понятия
- •Теорема о делении с остатком.
- •Теорема Безу.
- •Контрольные вопросы к теме
- •Понятие квадратичной формы.
- •Канонический базис квадратичной формы
- •Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы
- •Канонический базис Якоби квадратичной формы .
- •Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы
- •Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда , ,…, .
- •Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда , ,…, .
- •Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы положительны.
- •Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы отрицательны
- •Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы положительны.
- •Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы четного порядка положительны, а главные миноры матрицы нечетного порядка отрицательны.
- •Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка.
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 13. Системы линейных уравнений
- •Основные понятия
- •Критерий совместности системы линейных уравнений
- •Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- •Метод Гаусса
- •Однородные системы уравнений.
- •Разрешенные системы линейных уравнений
- •Можно построить решение системы уравнений, у которого значения свободных переменных будут равны соответственно ;
- •Если у решений и системы уравнений значения свободных переменных совпадают, то и сами решения совпадают.
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 14. *Основы линейного программирования*
- •Линейное программирование
- •Задача линейного программирования
- •Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме.
- •Множества допустимых решений
- •Опорное решение задачи линейного программирования, его взаимосвязь с угловыми точками.
- •Симплекс-метод с естественным базисом.
- •Симплексный метод с искусственным базисом (м-метод).
- •Теория двойственности.
- •Теоремы двойственности
- •Контрольные вопросы к теме
- •Экзаменационные вопросы
- •Литература
Контрольные вопросы к теме
Понятие евклидова пространства.
Линейная зависимость и линейная независимость векторов.
Понятия размерности и базиса линейного пространства.
Линейное преобразование векторов.
Лекция 9. Матрицы
Основные понятия, включенные в систему тренинг- тестирования:
матрица; элемент матрицы; размер матрицы; строка; столбец; квадратная матрица; главная диагональ; побочная диагональ; диагональная матрица; скалярная матрица; единичная матрица; нулевая матрица; сумма матриц; произведение матриц; согласованные матрицы; транспонирование матриц; определитель матрицы; минор; алгебраическое дополнение; линейная зависимость; линейная комбинация; ранг матрицы; окаймляющий минор; элементарные преобразования матрицы; обратная матрица.
Основные понятия
Прямоугольная таблица
|
(9.1) |
состоящая из строк и столбцов, называется матрицей размера или -матрицей.
Матрицу (9.1) будем обозначать или . Числа называются элементами матрицы, индекс обозначает номер строки, а индекс ‑ номер столбца, на пересечении которых расположен элемент.
Если , то матрица (9.1) называется квадратной матрицей порядка .
В квадратной матрице -го порядка диагональ, состоящая из элементов называется главной диагональю, состоящая из элементов ‑ побочной диагональю.
Квадратная матрица
называется диагональной. Если в диагональной матрице все диагональные элементы равны, т.е. , то такая матрица называется скалярной. Скалярная матрица, у которой называется единичной и обозначается буквой . Например, единичная матрица третьего порядка:
.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается через 0.
Матрицы и называются равными, если их размеры одинаковы и элементы этих матриц, стоящие на одинаковых местах, равны.
Операции над матрицами
Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица того же размера с элементами, равными суммам соответствующих элементов слагаемых матриц, т.е. .
Сложение матриц обладает следующими свойствами:
Коммутативность, т.е. .
Ассоциативность, т.е. .
Для любых двух матриц и одинакового размера существует единственная матрица такая, что . Матрица обозначается и называется разностью матриц и . Уравнение имеет решение , получающаяся при этом матрица называется противоположной и обозначается .
Произведением матрицы на число называется матрица, все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы , умноженным на число .
Умножение матрицы на действительное число обладает следующими свойствами:
;
;
;
(ассоциативность);
(дистрибутивность);
(дистрибутивность);
Матрица называется согласованной с матрицей , если число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . В этом случае произведением матрицы на матрицу называется матрица , где , т.е. элемент, стоящий в -той строке и -том столбце матрицы произведения равен сумме произведений элементов -той строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы .
Свойства умножения:
Если матрица согласована с матрицей , а матрица согласована с матрицей , то ‑ ассоциативность умножения
‑ свойство дистрибутивности.
Умножение матриц не коммутативно, т.е., как правило, .
Транспонированием матрицы называется операция замены местами строк и столбцов с сохранением порядка их следования, т.е. -я строка матрицы становится -тым столбцом транспонированной матрицы. Матрица, транспонированная к матрице обозначается .
Свойства транспонирования: